Question IV. Résoudre les deux questions
Si, de la première équation élevée au carré,
x^+ ^xy + y'=64,
18A LIVKE m. — CHAP. 11.
on retranche la seconde, il vient
*ixy =. 3o, d'où
Xy = l5.
On connaît la somme 8 des deux inconnues, et leur produit 1 5 ; la question est ramenée à la question II ; les inconnues sont les racines de T équation du second degré
w'— Su -\- 15 = o.
151, Question V. Résoudre les deux équations
(a) xy=!iS,
Si à la première équation on ajoute la seconde multipliée par 2, il vient
ou
on déduit de là
(3) X -{- y =:-±: II.
Si de la première équation on retranche la seconde multipliée par 2 , il vient de même
ou
(ar — y)«=9; on déduit de là
On connaît ainsi la somme et la différence des deux inconnues; il est aisé de trouver ces deux inconnues; les équations (3) et (4) , ajoutées ou retranchées, donnent
±: 11 db3 dt iMp3 x= , y = .
11 en résulte les quatre systèmes
ÉQUATIONS DU SECOND DëGRÈ. 185
qui, en réalité, se réduisent à deux systèmes de valeurs égales et de signes contraires.
152, Question VL Trouver quatre nombres en proportion, connaissant la somme des extrêmes 21, celle des moyens 19, et la somme des carrés des quatre termes 442.
Appelons a:, y, z, ^ les quatre nombres cherchés. Nous avons les quatre équations
(1) f = i ou xt = yz,
(a) X + t = ai,
Nous connaissons la somme des deux inconnues a: et I, et aussi celle des deux inconnues y et z; la question serait résolue si nous connaissions leur produit commun xt ou yz. Élevons les équations (2) et (5) au carré, ajoutons-les et r^anchons l'équation (4) , il vient
2Xt + ay^ = 36o.
ou
xt =i yz = 90.
Les deux inconnues x et t seront données par F équation du
second degré
«' — 2iti-|- 90 = o,
qui a pour racines 6 et 1 5, et les deux inconnues y et z par Téquation du second degré
qui a pour racines 9 et 10. Les nombres cherchés sont donc
186 LIVRE m. — CHAP. II.
153. Question VIL Partager une droite donnée en moyenne et extrême raison.
On sait que partager une droite AB en moyenne et extrême raison, c'est partager cette droite en deux parties AM et BM , telles que la plus grande AM soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière AB et la plus petite BM.
Si donc on appelle a la longueur de la droite AB , et a; celle de la plus grande partie AM , la longueur de l'autre partie sera a — a?, et Ton aura les rapports égaux
qui conduisent à l'équation du second degré
x'^'\- ax — a' = o, d'où l'on tire
La première racine
est positive et moindre que a (car /5 étant plus petit
que 3, v^ — 1 est plus petit que a). Elle répond direc-tement à la question proposée et donne la plus grande partie AM de la droite AB partagée en moyenne et extrême raison. Il est aisé de déduire de cette formule la construction géométrique connue. Si au point B on élève une per-
pendiculaire BG égale à la moitié de AB^ ThypotéEuse AG
sera égale à 1 /a^+ 7-- Si, du point G comme centre, avec GB pour rayon, on décrit un cercle, la longueur AD
sera égale à AG — GD, c'est-à-dire à 1 A
ce sera précisément la racine x\ Il suflSt maintenant de prendre sur AB une longueur AM égale à AD, La sec<mde racine
est négative et ne répond pas à la question. Gependant il est facile de lui donner une interprétation géométrique. Il suflTit pour cela de modifier T énoncé du problème de la manière suivante : Sur la droite indéfinie AB, trouver un point tel que sa distance au point A soit moyenne proportiounelle entre la longueur AB et sa distance au point B. La question ainsi posée admet deux solutions; caf, outre le point M que nous venons de déterminer, il existe vers la gauche un point M' tel que la distance M'A est moyenne proportionnelle entre AB et M'B; à cette seconde solution correspond la racine négative x'' qui, devant être portée en sens inverse de la première, c'est-à-dire de droite à gauche, donne la longueur AM'.
On construira cette seconde solution de la même manière que la première; la longueur Al^, étant égale à
/ /»^ /i AC + GE, c'est-à-dire à V /a^ + y + 7^ est précisément
la valeitf absolue de x" ; on prendra donc AM' = AE.
154. Question VIII. Trouver les côtés d'un triangle rectangle^ connaissant la hauteur et la différeuce des côtés de ï angle droit.
188 M VUE m. — CHAP. il.
Appelons j; et y les deux côtés de l'angle droit, a leur différence donnée, z l'hypoténuse et h la hauteur. On a les trois équations
xy = hz.
On obtient la seconde en écrivant que le carré de l'hypoténuse égale à la somme des carrés des deux côtés de l'angle -droit ; la troisième , en remarquant que le double de 1^ surface du triangle égale le produit des deux côtés de l'angle droit, ou le produit de l'hypoténuse par la hauteur.
Il est facile d'éliminer a? et y entre ces trois équations. Si dans la première élevée au carré ,
(4) J?» + y* — aary = «S
on remplace x^ + y' par z* et xy par hz, on a l'équation du second degré à une inconnue
(5) z' — aAz — a* = o,
dont les radnes sont réelles et de signes contraires.
= Ad= sjh} + a\
Les côtés du triangle étant nécessairement des nombres positifs, on prendra la racine positive
(6) z = A+ sjh^+a\
Une fois l'hypoténuse z connue, on obtiendra aisément oîety. A l'équation (4), ajoutons l'équation (3) multipliée par 4 9 il vient
on
(7) x+ y= V^û* + ^hz.
Cette équation donne la somme des deux côtés de l'angle droit; comme on connaît déjà leur différence, des deux côtés sont connus.
Application, a = i", fc = 2",4* La formule (6) doQoe 5 = 5; la formule (7) donne a? + y = 7 ; comme on a déjà X — y= i,il eq résulte aj=4» y = 3.
155. Question IX. Trouver la profondeur à un pnits, m y laissant tomber une pierre^ et notant le temps qui s* écoule entre le moment où on lâche la pierre et celui où Von entend le bruit que fait la pierre en arrivant au fond du puits.
Appelons x la profondeur du puits et t le temps que la pierre met à arriver au fond du puits. On sait que les corps en tombant parcourent des espaces proportionnels aux carrés des temps, de sorte que l'espace x parcouru par la
pierre en t secondes sera x = —, - représentant l'espace
parcouru dans la première * seconde ; on en déduit
t = t / — . D'autre part, on sait que le son se progage
uniformément avec une vitesse de 84o mètres par seconde, vitesse que nous appellerons r; ainsi le temps que met le son à remonter du fond du puits pour arriver à l'oreille est
-. Mais lé temps observé a est égal au temps que met la
pierre à arriver au fonds du puits, plus celui que le son emploie à revenir jusqu'en haut. On a donc l'équation
