IVO LIVRE III. — CBAP. II

Si Ton fait passer le terme - dans le second membre, 1 équation devient

Si Ton élève les deux membres au carré, le radical disparaît et Ton obtient T équation du second degré

ou, en développant, et multipliant par v*,*

(4) a?* — 2v f a + -) ^ 4-'^*^* = ^' On en déduit

(5) x=:v(a+^) ±^y («+^)'--«% ou, en simplifiant ,

On voit que les racines sont réelles ; elles sont positives, puisque leur somme et leup produit sont positifs.

Il est évident à priori que la question proposée admet toujours une solution et n'en admet qu'une; voici d'où proviennent les deux racines positives. L'équation du problème est l'équation (i) ou l'équation (2) ; or nous remarquons que l'équation (3), obtenue par l'élévation au carré, n'est pa3 équivalente à l'équation (2) ; car, si l'on élève au carré les deux membres de l'équation

on obtient la même équation (3). Ainsi l'équation (3) comprend, non-seulement les solutions de l'équatron (2), mais

encore celles de T équation (7). Il faut donc examiner quelle est celle des racines trouvées qui convient à la question. La première, celle qui est donnée par le signe + placé devant • le radical, ayant une valeur plus grande que av, rend négative l'expression a , et satisfait par conséquent, non à

l'équation (2), mais à l'équation (7) ; elle doit être rejetée. L'autre racine

x = .[«+-J-y^Hg + .«)]

a une valeur moindre que qv; car la valeur du radical étant

plus grande que -, la parenthèse est moindre que a ; elle

satisfait donc à l'équation (a), c'est-à-dire à l'équation du problème. Ainsi la profondeur du puits est donnée par la formule (8),