Remarque. Pour résoudre la question précédente
nous avons élevé au carré les deux membres d'une équation irrationnelle, ce qui n6us a conduit à une équation entière du second degré, qui n'est pas équivalente à l'équation proposée.
Représentons d'une manière générale par
une équation quelconque. Si l'on élève les deux membres au carré, on obtient une équation
qui outre les solutions de l'équation (1), admet celle de l'équation
192 LIVRE m. — GHAP. If.
Il est clair que, si Tune ou l'autre des équations (i) et (3) est vérifiée, Téquation (2) Test également, et que, récipro- • quement, si l'équation (2) est vérifiée, l'une ou l'autre des équations (1) et (3) est satisfaite.
Considérons, par exemple, l'équation
S l'on élève les deux membres au carré, on obtient l'équation du second degré
(a) a:' — 5ar-|-6=o,
qui admet, non-seulement les racines de l'équation (1) mais encore celles de l'équation conjuguée
(5) aî — 1= — \/3iP— 5.
Les deux racines de l'équation (2) sont a? = 2 et x = 3 ; chacune d'elles rend positif le premier membre de l'équation (i), ejles conviennent donc toutes les deux à l'équation (1) et aucune d'elles ne vérifie l'équation (3), Ici, l'équation (2) est équivalente à f équation (1). De même, si l'on voulait résoudre l'équation
qui est la même que l'équation (3), on serait encore amené à l'équation (2) ; les deux racines, rendant négatif le premier membre de l'équation (4), conviennent à l'équation conjuguée (1) ; on en conclut que l'équation proposée (4) n'admet aucune solution.
Considérons encore l'équation irrationnelle
(5) x—i=.\Jx^—'5,
qui, par l'élévation au carré, conduit à l'équation du premier degré
ip= 2. ^
Cette valeur a? = 2 , rendant positif le premier membre, convient à l'équation proposée. L'équation conjuguée
axr
X — !=■ — ^x^ — 3 ou
I — x = ^x* — 3 n'admet aucune solution.
Changement de signe du irinàme du second degré.
i 67. Reprenons l'étude du trinôme du second degré ax* + ft^ + c» dans lequel la lettre x a une valeur quelconque. On mettra d'abord ce trinôme sous la forme a(x' +P^ + î)' Si, dans la parenthèse, on ajoute et on
retranche y, afin de compléter le carré dont x' + P^ sont
les deux premiers termes (comme nous l'avons fait au n* 143), on a
Il y a trois cas principaux à considérer :
1 ** Supposons que la quantité ~ q soit négative, ou la
qu . titég — ~ positive, c'est-à-dire que les racines du
trinô e soient imaginaires. La parenthèse, étant la somme de deux quantités positives, reste toujours positive, et par conséquent le trinôme conserve le signe de son premier coefficient a, quelle que soit la valeur attribuée à x.
2' Lorsque la quantité ~ g est nulle, c'est-à-dire quand
les racines sont égales, la parenthèse est un carré parfait, et l'on a
Le trinôme conserve encore le signe de son premier coefficient o, quelle que soit la valeur de ôû; cependant le
trinôme s'aimule pour or = — ~.
3** Lorsque la quantité^ q est positive, c'est-à-dire
lorsque les racines sont réelles et inégales, le trinôme se décompose en facteurs réels du premiw degré, et Ton a (n' lâ4)
ax^'{'bx-^c:=a{x -^a/) (x — a?**);
nous appelons a?' la plus petite racine, a;" la plus grande. Quand la valeur de x est comprise entre x* et x", le facteur œ — x^ étant positif, le facteur x — x*' négatif, leur prodtdt est négatif et le trinôme a un signe contraire à celui de a* Quand la valeur de x est plus grande que a?", les deux facteurs x — x'y x — x" étant positifs, leur produit est luimôme positif et le trinôme a le même signe que a. Quand la valeur de x est plus petite que x'^ les deux facteurs étant négatifs, leur produit est positif et le trinôme a encore le signe a. En résumé, le trinôme a un signe contraire à celui de tt pour toutes les valeurs de x comprises entre les deux racines x* et x", et il a le même signe que a pour toutes les valeurs de x non comprises entre lés racines , c'est-à-dire plus grandes que la plus grande ou plus petites que la plus petite. Il change donc deux fois de signe ; une première fois quand œ passe par la racine x\ une seconde fois quand œ passe par la racine x*^^ et ces changements de signe s'opè* rent quand le trinôme s'annule.
Ainsi, lorsque les racines sont égales ou imaginaires^ le trinôme du êetond degré conserve toujours le signe de son premier coefficient a, quelle que soit la valeur attribuée à la variable x; mais quand les raci$ie$ sont réellee et inégales, le trinôme^ ayant un signe contraire à celui de a pour les valeurs
ÉQCATlOns Dt] SECOllllD 1>B6AÉ.
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i4 X comprises entre le$ deux racines^' éî le' HHênie signe que & pour toutes les valeurs de t non cotriprises' entre les racines ^ éprouve deux changemmts de signe. '
158. Remarque. D'après cek, si pour àeipc valeurs particulières attribaées à x^ le trinôme acquiert des valeurs dé signes contraires, on peut affirmer que les racines ôonf réelles et que Tune d'elles est comprise entre les deux va* letn^s attribuées à x. Soit, par exemple, le trinôme
Si l'on donne à a; les valeurs o et 3, le tiiaôme acquiert les valeurs de signes contraires -f 3 et — 1 ; on en concluti d'abord que les racines du trinôme sont régies et inégales; car, si elles étaient égales ou imaginaires» le trinôme n'é-^ prouverait pas de changement de signe; encontre la valeur 2 attribuée à ^, donnant un résultat négatif, et p^ conséquent de signe contraire au premier coefficient qui est ici égal k+ 1 , est comprise entre les deux racines x* et x" ; la valeur o qui doxme un résultat positif est inférieure à la plus petite racine a;^ il en résulte que la plus petite racine x' est comprise entre et 3, et la plus grande x" su-^. périeure à 2. Effectivement ces deux racines sont 1 et 3.
Cette remarque facilite beaucoup la discussion d'un grand nombre de problèmes. En voici un exemple.
169. Question X. Le manomètre à air, servant à indiquer la tension de la vapeur dans les machines à va* peur, se compose d'un tube recom-bé , fermé à une de ses extrémités G, et ouvert à l'autre extrémité E ; le fond du tube ADB est rempli de mercure juscju'à une certaine hauteur ; la capacité fermée AC est remplie d'air, et la vapeur, ^ s'introduisant par la branche ouverte E, exerce sa pression sur le sommet B de la colonne de mercure. On supiwse que les deux sonmaets A
ir
196 tITRE lil. — CHÂP. II.
et B de la colonne de mercure sont au même niveau quand la tension de la vapeur est égale à une atmosphère. Si a tension de la vapeur augmente, il est clair que le sommet A de la colonne de mercure s'élève en A', tandis que le sommet B s'abaisse en B'. 11 s'agit de déterminer le déplacement de la colonne de mercure pour une tension donnée de la vapeur.
Nous supposons que le tube a partout même section. Appelons a la longueur AG, a? le déplacement AA' ou BB' de la colonne de mercure. Si nous évaluons les tensions par des colonnes de mercure , la pression atmosphérique sera représentée par la hauteur h de la colonne barométrique (h = o",76o). Quand la tension de la vapeur devient égale à n atmosphères, elle exerce une pression marquée par nh au sommet B' de la colonne de mercure ; la pression est la même dans l'autre branche, en F, au même niveau, Mais la pression en F est égale au poids de la colonne de mercure FA' ou 2x, augmenté de la tension de l'air qui occupe alors l'espace A'G. Quand l'air occupait le volume AC, sa tension était égale à la pression atmosphérique h ; sous le volume A'G, cette tension devient, d'après la loi de Ma-
riotte, h . On a donc l'équation
' a — X ou
îkc' — (2a + w^)^ + (^~" i)aA = o.
Il est évident, d'après la nature de la question, que si la tension de la vapeur est plus grande qu'une atmosphère, c'est-à-dire si n > i , la colonne de mercure s'élèvera dans la branche fermée d'une quantité AA' plus petite que AC; l'inconnue x doit donc admettre une valeur positive plus petite que a* On peut aisément le vérifier sur l'équation (i) ;
car si l'on donne à x successivement les valeurs o et a, le premier membre de l'équation, ou le trinôme du second degré, prend des valeurs de signes contraires + (*»—* i) ah et — ah ; d'après ce que nous avons dit, on en conclut que les deux racines de l'équation sont réelles , et que l'une d'elles est comprise entre o et a; c'est la plus petite, puisque la valeur a, qui donne un résultat négatif, est comprise entre les deux racines; l'autre racine, étant positive et plus gi'ande que a, ne convient pas à la question. On a donc
aa + nh — v (au + «A)* -— 8 (n — i)ah
OU, en simplifiant la quantité placée sous le radical,
aa-}- nh — ^'(aa — nA)*-f-8aA (a) X = -j .
Lorsque la tension de la vapeur est moindre qu'une atmosphère, c'est-à-dire lorsque n < i , le sommet A de la colonne de mercure s'abaisse, tandis que le sonunet B s'é- Jève; l'inconnue x a dans ce cas une valeur négative. On voit en effet que l'équation admet deux racines réelles de
signes contraires, puisque le dernier terme est négatif;
fkh la sonune algébrique des racines étant égale à a H , la
racine positive est plus grande que a et ne convient pas à la question. La formule (2) donne donc la solution de la question dans tous les cas.
Ca$ où, dans T équation du second degrés le ternie constant
a une vateur très-petite,
