Supposons que, dans l'équation du second degré

ax^'{*bx '{'C^^Oy

j9% LIVRE III. — CHAP. Il,

U terme constaat c soit très**petit en valeor çtbsolue par r$p<* port au coefficient a. Nous supposeroits aussi la quantité 6'— 4ac positive afin que les racines soient réelles. Si Ton divise tous le» termes par le premier coefficient a> réqua**

tim devient

liO produit des racines étant égal J^ - , et p?ir conséquent

très-petit en valeur absolue, Tune des racines x' sera trèspetite en valeur a])solue. La somme des racines étant égale

à , l'autre racine a/' différera très-peu de . Si Ton

conçoit que la valeur absolue du terme c diminue de plus en

plus et tende vers zéro, le produit des racines tendant vers

zéro, la racine très petite x* tendra aussi vers zéro, tandis

que l'autre racine *" tendra vers la quantité fixe ~ K

Il est facile de distinguer ces deux racines sur les formules. Pour fixer les idées, supposons que le coefficient 6 ait une valeur positive; la quantité 6* — /^ac différant très-peu

de 6*, la valeur du radical y 6' — ^ac différera très-peu de la quantité positive b ; si l'on pose

x' t=t . . ■■ii.i I ' — ■ ■ ■ .

On volt que la racine af est très-petite en valeur absolue et

que la racine x" diffère très-peu de .

Dans ce qui précède, nous avons supposé le terme e trèspetit par rapport au coefficient a ; si les deux coefficients 6

ÉQUATIONS DU SECOND DEGIIÉ. l99

et c étaient tous deux très-petits par rapport à a, le produit des racines étant très-petit ainsi que leur somme, il est clair que les deux racines seraient très^pétites en valeur absolue. Si les deux coefficients 6 et o tendaient vers zéro, les deux racines tendraient simultanément vers zéro.

Cas où le coefficient du premier tenrie a une valeur

trè$'pelite.

161. Examinons ce qui a lieu, lorsque, dans Téquation du second degré

(i) e?a?' + Jx + ^==o,

le {Hremier coefficient a est trôs-.petit en valeur absolue par rapport à c. Nous supposerons encore la quantité 6' «— l^aç positive, afin que les racines soient réelles. Le produit des

racmes - étant très-grand en valeur absolue, Tune des racines est très -grande en valeur absolue; mais on ne voit pas ce que devient l'autre racine. On reconnaît mieux les propriétés des racines en transformant l'équation.

Si l'on pose a? =: ~, en prenant y comme nouvelle inconnue, l'équation (i) devient

le terme constant a étant très-petit çn valeur absolue par rappart au coefficient c, on sait que Tune des racines y' de l'équation (2) est très-p€^ite en val^r absolue, et que

l'autre racine y" diffère très-peu de • Les deux valeurs

de x^ qui vérifient l'équation proposée, sont aî'= -7, a?"=--; la première est très-grande en valeur absolue, la seconde dif-

200 LIVRE ni. — CHAP. n.

fère très-peu de — j. Si Ton imagine que le coefficient a

diminue de plus en plus et tende vers zéro, puisque y' tend va's zéro, la première racine oi augmentera indéfiniment en

valeur absolue, l'autre racine a?" tendra vers la quantité — ^.

On arrive aux mêmes conséquences à l'aide des formules. Supposons encore le coefficient h positif, et désignons par a?' et Q[}' les deux racines

— h — V ^* — [\ac ,

"" Ta '

Le coefficient a étant très-petit, la quantité 6' — t^at différera très-peu de 6*, et v/6* — t^ac de 6; le numérateur de x* sera à peu près égal à — 26. Le dénominateur 2a étant trèspetit, le quotient sera très-grand, et la racine oi aura une valeur très-grande, abstraction faite du signe. On voit ainsi que, lorsque le coefficient a diminue et tend vers zéro, cette racine croît indéfiniment en valeur absolue.

L'autre racine a:" conserve au contraire une valeur finie

et tend vers la valeur — ~, quand a tend vers zéro. On

remarque d'abord que le numérateur, étant à peu près égal à — 6 + 6, a une valeur plus petite. Cette racine est donc le quotient de deux quantités très-petites, et elle se

présente sous la forme -, quand a tend vers zéro. Afin

de reconnaître sa valeur, nous transformerons cette expression en multipliant son numérateur et son dénominateur par — h — sjh^ — 4«c , ce qui donne

^. (-^+ v/6^^^) (- 6- siV^^c)

ÉQUATIOIIS DU SECOND DEGAÉ. 201

Au num^ateur, la première parenthèse étant la sooune des deux quantités — 6 et ^6* — l\ac , la seconde la différence de ces deux n^mes quantités, le produit des deux parenthèses égale la différence des carrés, et Ton a

Si Ton supprime maintenant le facteur commun 2a, qui rend les deux termes de la fraction très-petits, il vient

ar* = —

L'expression mise sous cette forme, toute difSculté disparaît; le dénominateur différant très-peu de 2&, la valeur

de x" est à peu près égale à — j-, et, quand a tend vers zéro,

cette radne tend elle-même vers la valeur finie — r-

Au reste, lorsque a tend vers zéro, Téquation du second degré se réduit à une équation du premier degré

La racine a?" = — j- est précisément la solution de cette

équation du premier degré. L'autre racine x\ devenant infinie, disparaît.

Si les deux coefficients a et 6 étaient très-petits en valeur absolue par rapport à c, les deux racines de l'équation (a) étant très petites en valeur absolue, les deux racines de l'équation (1) seraient très-grandes.

* Calcul numérique des racines quand Vun des coefficients c ou a est très-petit.