Nous avons dit que lorsque, dans l'équation
202 LIVRE IIÏ. — CHAF, H.
le terme eorniu c est très-petit en valeur absolue par rap-* port' au coefficient a, Tune des racines est très*pettte en valeur absolue. Nous indiquerons un moyen rapide de calculer approximativement cette racine. En faisant passer les termes ax* + c dans le second membre, nous mettrons l'équation sous la, forme
si l'on pose, pour abréger, cette équation devient
(i) j:=:a + pa?».
D'après l'hypothèse faite, la quantité a est très-petite en valeur absolue, et le coefficient p, sans étte pedt, n'est pas très-grand. Le secopd terme ^' a une valeur frèspetite relativement i celle de a; ; car le rapport de ce terme à X est égal à la quantité très-petite ^x ; si donc on néglige ce terme, on a une première valeur approchée de l'inconnue
Si maintenant, dans le second membre de Téquation (i), on remplace x par sa valeur approchée a, on obtient une seconde valeur
beaucoup plus approchée que la première^ Ordinairement, dans la pratique, cette seconde valeur e9t suffisamment approchée. Cependant, si Ton veut une approximation encore plus grande, on la substituera dans le second membre de Téquation (i), ce qui donnera une troisième valeur encore plus approchée, et ainsi de suite.
i 63, liC^ud, ànm Ydqaatàm
le premier coefficient a est très-petit en valeur absolue par rapport à c, nous savons que Tune des racines est trèsgrande en valeur absolue, tandis que l'autre conserve une videur finie* On peut calculer ai^roximativement celte seconde racine par la méthode indiquée précôdemment En effet, si Ton met l'équation sous la forme
X =z — - — T ar',
ou
(i) a?=:a-f.pa:%
on remarque que le coefficient ^ est trèç-petit en valeur absolue et que la quantité a n'est pas très-grande. Le se* cond terme ^a?' a une valeur très-petite relativement à celto de 0? ; car le rapport de px' à a? est ^a?, quantité très-petite* Si donc on néglige ce second terme, on aura une prenûèrQ valeur approchée de l'inconnue
Si maintenant, dans le second membre de l'équaticm (iX on remplace x par sa valeur approchée «, on obtiendra une seconde valeur
X, = a -^ pa*,
beaucoup plus approchée que la première^ et ainsi de suite. Cette méthode est connue sous le nom de méthode des approocimations successives. On l'emploie fréquemment en astronomie. Quelques exemples en feront bien comprendre l'usage.
Exemples%
I* Soit l'équation
204 LIVRE m. — CHAP. II.
Le terme connu ayant une valeur très-petite, Tune des racines est très-petite en valeur absolue, l'autre voisine de — I . Pour calculer la première racine , nous éciirons l'équation sous la forme
Négligeant le second terme qui a une valeur très-petite relativement hxy nous avons une première valeur
approchée par excès. Substituant dans le second membre
cette première valeur approchée, nous aurons une seconde
valeur
ar, =0,001 — 0,000001 =0,000999,
approchée par défaut. En remplaçant dans le second membre X par cette seconde valeur approchée a?,, on aurait ime troisième valeur approchée par excès, et ainsi de suite. Nous bornant à la seconde approximation, nous prendrons pour valeur de la racine cherchée
La somme des racines étant égale à — 1 , l'autre racine a pour valeur approchée — 1 ,000999.
a* Soit l'équation
o,ooiar' -f a? — 1=0.
Le coefficient de x* étant très-petit, l'une des racines est
très-grande en valeur absolue, tandis que l'autre diffère
peu de I. Pour calculer celle-ci, nous écrirons l'équation
sous la forme
j:= I — o,ooix*.
Négligeant le second terme, qui a une valeur très-petite relativement à x^ nous avons la première valeur
approchée par excès. Substituant dans le second membre cette première valeur approchée , nous avons la seconde
valeur
ar= 1 — 0,001=0,999
approchée par défaut, et ainsi de suite.
Nous arrêtant à la seconde approximation , nous prendrons pour valeur de la racine cherchée x = 0,999.
L'équation admet une autre racine, très-grande en valeur absolue. La somme des deux racines étant égale à
, c'est-à-dire à — 1000, nous aurons pour valeur
approchée de cette seconde racine
S"" Soit l'équation
o,o3a:* — 5a: -{- 7 = o, ou
Première valeur approchée par défaut
Seconde valeur aussi approchée par défaut
a?, = 1,4-}- 0,006x1^ =1,41176, ou, plus simplement a; = 1 ,4 1 s.
La somme des racines étant égale à — = ou à 166,667, la
plus grande racine est approximativement 1 65, 255.
4'» Nous avons vu que la profondeur d'un puits déterminée par la chute d'une pierre (n* i55), est donnée par la plus petite racine de l'équation
d'où
X a' , 1 ar'
hi) 'hr
206 LIVRE m. — CHAP. II.
La vitesse c du son est de 34o mètres par seconde, la
constante g est égale à 9,8088. Ordinairement la quantité -
est uno fraction asseî petite; car les puits les plus profonds dépassent rarement too mètres, le second t&naie du second memlure sera donc très-*petit par rapport au premier terme. En le négligeait» on aura une première Valeur a{>prochée
On obtiendra ensuite des valeurs de plus en plus rapprochées par la méthode des approximations succestÎYes.
Supposons, par exemple, qu'il se soit écoulé 5 secondes entre le moment où on a lâché la pierre et celui où le bruit est arrivé à Toreille. On trouvera, pour la première valeur
approchée
X si5
On remplacera ensuite - par cette valeur dans le second
membre de Inéquation , et Ton aura pour seconde valeur approchée
tfoù
a:=io7'">6.
5* Soit l'équation
que Ton écrira sous la forme x = o,o5 .
. La petite racine a pour première valeur approchée
pour seconde Valeur approchée
X =3: o,o5 — û,ooii5 = 0,04875.
