CHAPITRE IIL

DES QUEStlONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM QUI PEUVEfCT SE KÊSOUDRE PAR LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ.

16&. Lorsqu'une grandeur variable, après avoir aug-* mente pendant un certain temps , diminue ensuite , ^e passe par une valeur plus grande que les valeurs voisines, celles qui précèdent et celles qui suivent immédiatement ; on dit qu'elle passe par un maximum.

Au contraire, lorsqu'une grandeur variable, après avoir diminué pendant un certain temps, augmente ensuite, elle passe par une valeur plus petite que les valeurs voisinesi celles qui précèdent et celles qui suivent immédiatement ; on dit dans ce cas qu'elle passe par un minimum.

Considérons, par exemple, la section par tm plan ver* tical d'un terrain accidenté, et supposons que Ton i^aesure

les hauteurs des afférents points de cette courbe au-dessus du plan horizontal GH. Le sommet A d'une colline sera un maximum, le fond B d'une vallée un minimum. Si l'on parcourt cette ligne dans le sens KL, après s'être élevé jusqu'au point A, on descendra ensuite de A vers B ; la hau-

208 mSOÊ LIVRE 111. — GHÂP« 111.

teur AA' du point A est plus grande que celle des points voisins, d'un côté ou de l'autre; c'est un maximum. En continuant le mouvement, on descendra jusqu'au point B pour monter ensuite de B vers G ; la hauteer BB' du point B est plus petite que celle des points voisins, d'un côté ou de l'autre; c'est un minimum. On trouve ensuite un nouveau maximum CC, etc.

Nous étudierons quelques questions simples qui peuvent être résolues par des polynômes ou des équations du second degré.

165. Question I. Étudier la variation du produit de deux nombres dont la somme est constante.

Première méthode. Appelons a la somme donnée, a? l'un des nombres variables ; l'autre sera a — x et le produit x aura pour valeur

yz=.x{a — x).

Faisons varier a? de o à a; quand a? = o, le produit y est nul ; quand x atteint la valeur a, le produit redevient nul. Ainsi la quantité y est partie de zéro pour revenir à zéro ; dans l'intervalle elle a pris une série de valeurs positives finies; elle a augmenté d'abord pour diminuer ensuite; elle a donc passé par un maximum.

Pour étudier la variation de ce produit, nous l'écrirons sous la forme suivante

La quantité y est la différence de deux quantités positives, Tune fixe, l'autre variable; elle atteint sa plus grande valeur

ou son maximum —, quand le terme à retrancher ( ■ oc\

est nul, c'est-à-dire lorsque a: = - , et alors l'autre partie

MAXUIÂ ET MJINIIIA. 209

a — â? est aussi égale à -. Ainsi, le produit de deux facteurs^ dont la somme est cçnstante^ est maximum, quand ces deux facteurs sont égaux entre eux.

Il est facile de suivre les variations qu'éprouve le produit y quand x varie de o à a. Quand x croît d'une manière

continue de o à -, le terme à retrancher l xj diminuant de plus en plus, la quisintité y augmente d'une ma-

nière continue de zéro à la valeur maximum -7- ; quand x

dépasse - et varie de - à a, le terme à retrancher I x)

Onix j augmentant de plus en plus, y diminue au

a' contraire de -7- à zéro. Si Ton fait croître x au delà de a,

l'autre partie a — x devient négative et croît en valeur

absolue, leur produit x{a — x) devient négatif et croît aussi en valeur absolue ; donc la valeur relative de y diminue indéfmiment. Il en est de même si l'on donne à x des valeurs négatives.

A cette question abstraite correspond la question géométrique suivante : Étudier la variation de la surface d'un rectangle dont le périmètre est donné. Car si l'on appelle 2a le périmètre donné, x la base, a — x étant la hauteur, la surface sera représentée par le produit x {a — x) de deux facteurs dont la somme est constante. Nous avons vu que ce produit acquiert sa valeur maximum quand les deux facteurs sont égaux entre eux ; ainsi, de tous les rectangles de même périmètre, le plus grand est le carré.

Il est aisé de suivre la variation du rectangle : quand

a; = 0, la hauteur est égale à a et le rectangle se réduit

à une ligne droite de longueur a; l'aire est nulle. Si l'on

240 LIVRE III. — GflAP. III.

fsôt croître la baâe «? dô a à -, Faire augmente progressif

vement de o à la valeur maxinîum -7-. La base x conti-

nuaht à croître de - à â, Taîre diminue de cette valeur

maximum à ; à la fin, quand a? = a, la hauteur étant

nulle, le rectangle se réduit de nouveau à une ligne droite,

et Taire redevient nulle. Dans cette questioii géométrique,

la variable x ne peut ni dépasser a ni prendre des valeurs

négatives.

A la même question se rattache encore cet autre problème

dé géométrie: Étudier la variation de ta surface d'un

triangle de base et de périmètre constants. Si Ton appelle ^p

il * e périmètre donné, a le côté constant, b et c leà deux côtés

variables, on sait que la surface du triangle est exprimée

par la formule

s/pip—à)(p — à)(p-'C).

Nous pouvoiiâ faire abstràctiofl dès deux factèufs ctinstântâ p; p — *a ëi conSdérer seulement les deux fectèurs variaMèé p — 6, p — c, dont la somme 2p — b — c où û est tôristàftte. Sî Ton répréseiite par x le premier factettr, le second étant a — x, on a à considérer le produit dÉ {a-^x); d'ailleurs à varie de o à a; le produit acquiert sa valeur maxiriium quand les deux facteurs sofit égaux entre èui ; il s'ensuit que le triangle maximum est le triangle isocèle. Plus les deux côtés variables ^iiTèf-ent entre eux, plus là surface du triangle est petite;

166. Deuxième méihode. On peut traiter la questwn précédente par une autre méthode dont nous nous servirons par la suite; proposons-nous d'abord la question suivante: Part€tger le nombre a en deux parties dont le produit 9oil

MÂXIMA £T MimiiA« 2ll

égal à une ^dntitè donnée m. Si Y on déBigimtes Amx parties par ar et y, on a les deux é(|uafionFt

xy ==. tw.

On connaît la somme et le produit des deux inconnues x

et y; par conséquent ces deux Inconnues sont les deux racines de r équation du second degré

w* — aw-j-m=io.

Ainsi les valeurs de a? et de y sont données par la formule

rttoe des racines est la valeur de x^ l'autre celle de yé

La question n'est possible que si les racines sont réelles ; il faut donc que la quantité placée sous le radical soit poai-

tive, c'est-à-dire que le produit m soit moindre que y.

D'autre part, on peut donner à m une valeur quelconque

lôoindre que -7- ; car à une telle valeur ôofrelspôndëtt deux

racines réelles, c'est-à-diré un niode de partagé qiii la fournit. Ainsi le produit m prend toutes les valeurs plus petites

a' que -7-, et n'en prend aucune plus grande; sa valeur la plus

grande, ou son maximum, est -7-. Mais, lorsque m=:— , le

radical est nul et les deux racines sofit égales ; le produit acquiert donc sa valeur maximum, quand on partage le nombre a en deux parties égales.

167; Question II. Étudier la variation de la sotntne des carrés dé deux nomûreê doni la sofnme est conMdnte,

212 LIVRE m. — CHAP. ni.

Première méthode. Appelons a la somme domiée, x l'un des nombres variables, l'autre sera a — x et la somme y de leurs carrés sera représentée par

Cette expression peut être mise sous la forme suivante

La quantité y est la somme de deux quantités positives,

l'une fixe, l'autre variable. Si l'on fait croître a? de à -,

a* le terme variable diminuant, y diminue de a* à — ; a; con-

tinuant à croître de - à a, le terme variable 2 (oc )

augmentant, y augmtente de — à a*. Ainsi, la quantité y

diminue d'abord pour augmenter ensuite; elle passe donc

par un minimum. Ce minimum — a lieu pour a? = -, c'est- ^ as

à dire quand on partage le nombre donné a en deux parties égales.

Si l'on fait croître x au delà de a, l'autre partie a — X devient négative, mais son carré reste positif, et la somme augmente indéfiniment. Il en est de même si l'on donne à x des valeurs négatives.

A cette question algébrique se rattache Yélvde de la varialion du carré inscrit dans un carré dofiné. Si sur les côtés

IIAXIMA ET MINIMÂ.

du carré donné AGBD , à partir des sommets et en tournant dans le même sens, on porte quatre longueurs égales AE, BF, GG, DH, et si Ton joint les points ainsi obtenus, on forme un carré inscrit EFGH.

Appelons a le côté du carré donné, x la longueur variable AE , Taire y du carré inscrit est représentée par l'expression

que nous avons mise sous la forme

Faisons varier a? de o à a; quand x=o, le carré inscrit coïncide avec le carré donné ABGD, Faire est égale à a* ;

X croissant do o à -, Faire du carré inscrit diminue de a' à — ; X continuant à croître de - à a. Faire croît de —

à a'; enfin, quand x devient égal à a, le carré inscrit

coïncide de nouveau avec le carré donné. Ainsi, Faire du

carré inscrit diminue d'abord de a' à — , pour augmenter

a* ensuite de — à a* ; elle passe donc par une valeur mini-

mum —, et Fon obtient ce carré minimum en joignant les

milieux des côtés du carré donné.

Si Fon prolonge indéfiniment les côtés du carré donné,

toute restrictijon disparaîtra, et i*on pourra donner à a? des Yjajijeurs positives plu3 grandes que a et aussi des valeui's »ég*tives (le carré inscrit E'F'G'H' correspond à une valeur 4P' plus grande q\m a) . De cette manière le carré inscrit

i cette môm^ quetitioa se rattache encore Yétu^ de la vfifi(iUon 4^ i^ diagQnalfi d'un rectangle dont le périmètre est cmstfmt' Car si Vpn appelle aa le périmètre donné, x la b{^, a — X h Jiauteiur, la diagonale y sera

y= slx^-\'[a — xy.

Quand aî= o, le rectangle se réduijt à unje ligçyç (Jroite dp longueur a et la diagonale est égale à a. Si Ton fait croître x

de o à -, la diagonale diminue de a à -y=; x continuant

à croître de - à a, la diagonale augmente de --= à a ; à la

fin, quand a? = a, le rectangle se réduit de nouveau à ijipe Ugœ droite et la diagonale rjedevji^nt ^gpk^ ^ ^. Ainsi

la diagonale acquiert sa valeur minimum pour a? = - , c'est-

^dire quwd le rjeotan^e est un carré.

Les deux côtés du rectangle ayant des valeurs essentiellement postoves, on ne peut pas faire croître x au delà .de a, ni lui donner (Jes vajeurs négf^t^yes ; 1;^ di^on^ a donc sa plus çrande valeur fi pour ;^= o oi^ j: ;=.a, ^*es);-^-d|r,e quand le rectangle se réduit à une ligne droite.

168. Deuxième méthode. Proposons-nous d'abord la question suiv^i^ : Partager le nor^bre a en deux p/turli^i telles que la somme de leurs carrés soit égale à m. En appelaat at ,^ y cm deux parties, on a tes deux équations

MAXIIfÂ ET MINIIIÂ. 215

IVoi^ cQ0j^^88Qn$ déjà la fiomioe des deux incobnues; si nous pouvions trouver leur produit, nous id)tiendrîons ces deux inconnues par une même équation du second degré. Or ceci est facile. En élevant au carré les deux membres de la première équation, on a

x^ -|- ^xy -|- y' = a' ;

si Tq^ en f efiraacbe la çecwde, o^. trouve

d'où