XV

Ainsi les inconnues x et y sont les deux racines de l'équation du second degré

vr — au A == o ;

elles sont données par la formule

a 4 A' ^ — ^ a±sl2,rn — a*

l'une des racines est la valeur de a?, l'autre celle de y.

Pour que la question soit possij^le, il faut que la quantité placée sous le radical soit positive, c'est-à-dire que la va-

leur de m soit plus grande que — -. D'autre part, on peut

a} donner à m une valeur quelconque plus grande que — ;

car à tme telle valeur coïre^ondent des valeurs réelles

de 0? ^t de j/. Ainsi la quantité m prend toutes les valeurs

a* plus grandes que — et n'en prend aucune plus petite ; sa va-

leur la plus petite, ou son minimum, çst — . Lorsque m ?= ,—,

iù ^ A

les deux racines sont égales ; la somme des carrés aequiert

216 LIVRE lir. — CHAP. 111.

donc sa valeur minimum, quand le nombre a est partagé en deux parties égales.

169. Question III. Les questions que nous avons traitées jusqu'à présent rentrent dans la question générale suivante: étudier la varialion du trin&me du second degré

ax* + bx + c.

Nous avons vu (157) que le trinôme du second degré, dont nous désignons la valeur par y, peut être mis sous la forme

Si, pour simplifier, on représente par A la quantité constante a Iq — y) » ®t q^® l'on pose a?= — -4-z,ona

Le binôme, mis sous cette forme, se compose de deux parties, l'une A constante, l'autre az' variable et de même signe que a. Lorsque le coefficient a est positif, la valeur de y reste constamment supériem*e à la quantité A ; elle acquiert sa plus petite valeur A, oti son minimum, quand

z= o ou X = — -. Si l'on fait croître js de — 00 à et

ensuite de o à + ^ » ïa valeur de y décroît de + 00 à A ,

pour croître ensuite de A à + 00.

Lorsque le coefiiciem a est négatif, la valeur de y reste

constamment inférieure à A ; elle acquiert sa plus grande

valeur A , ou son maximum, quand js = o ou z = — -.

Si l'on fait croître js de — 00 à o et ensuite de o à + 00, la valeur de y croît de — 00 à A, pour décroître ensuite de A à — c».

MAIIMA ET MimJMA

Question IY. Étudier la variation de la surfaee totale

du cylindre inscrit dam un cône donné.

Désignons par r le rayon OA de la base du cône, et par h sa hauteur SO ; appelons x le rayon OC de la base du cylindre inscrit, y la hauteur 06. Les triangles semblables EGA , SOA donnent la proportion

d'où

La surface totale S du cylindre a pour expression

S = aia?* + 2^^y^ et, en remplaçant y par sa valeur

S=aitx| AH X L

n y a plusieurs cas à considérer, suivant que le cône donné a une forme plus ou moins allongée, i** Supposons

d'abord la hauteur h du cône moindre que le rayon de

f ft

la base, c'est-à-dire le cône très-aplati. La quantité

étant positive, on voit que la surface augmente à mesure que X augmente ; si donc on fait croître a? de o à r, la surface ira constamment en augmentant de o à 27cr'. Au commencement, quand a; = o, le cyKndre se réduit à la ligne droite OS et la surface est nulle; à la fin, quand X = r, la hauteur étant nulle, le cylindre coïncide avec la base du cône et la surface devient égale à airr*. Entre ces deux limites, la surface va continuellement en augmentant, sans adtemative de décroissance.

218 LIVRE m. — CMkP. III.

a? Supposons mamtenaat h>r. rjexpreBsion de la surface dôvieuijli'a

S = 2Ttx I k X ,

ou -, o h—r ï hr 1

ft f

Négligeant le facteur constant positif air , nous pou-

VOUS nous borner à considérer le produit

des deux facteurs variables. La so;nme de cçs deux fecteurs est constante ; mais il ne faut pas en conclure immédiatement que le produit acquiert sa valeur maximum. quand les deux facteurs sont égaux entre eux; il faijit pour ce^a que ces deux facteurs puissent effectivement devenir égaux entre eux, ce qui rfa pas toujoy^ s lieu, comme nous allons le voir. Par une transformation que nous avons déjà faite pilusieurs fois, mettons le prpiihii^ 90U3 la lorn?^

h*r* / kr Y

Le rayon x de la base du cylindre n'est susceptible de varier gue 4ç 9 à. r* Si Ton a

c'est-à-dire h < 2r, quand x croît de o à r, la quantité

xe^ positive ,et ^imf^m s^s devenir égale à ^ro; 1^ sw* face du cylindre v^ e» ajggment*nt ço»tittHfiU§ï»eqJ d^pûp

MAXIMA ET MlNiaiA. 219

]/B codXitaenceiuiBnl; jusqu'à la fin, comme précédemmeot. Dam ice c^, 1^8 deux facteurs du produit ne deviennent pas

hr éeatix entre eux, ce qui exigerait que Ton eût a? = . . ;

1» surface ^riv^ à ^ ^^ grande valeur quand x = r^ c'GSprè.'diri^ (SWl4 }i^ ^teurs diffèrent le moins possible

br Supposons maintenant —77 r < *"» ou ft > 2r; a? va-

riant de à , — r, la surface augmente de à -jr r^;

X continuant à croître de -7^^ — r à r, la surfitce diminue de

cette valeur —77^ — r- îusqu'à la valeur extrême a-ïtr*. Ainsi

hr la surface passe par uç maximuçi pour x =

ism Qe f^9 te& deu2 facteurs du prodmt àifAnom mifSf» parlé deviennent égaux entre eux.

En résumé, si l'on fait croître a? de à r : 1° qi^iand fc < ar, la surface du cylindre inscrit va en augmentant continuellement depuis le commencement jusqu'à la fin; 2° quand /i> 2r, la surface augmente de zéro jusqu'à une certaine valeur maximum, puis diminue de ce maximum jusqu'à 2^*.

171. Question V. Étudier la variation du volume d'un cône circonscrit à une sphère donnée.

Soit AB un diamètre fixe de la sphère; menons par le point A un plan tangent à la sphère et sur le prolongement du diamètre AB prenons un point quelconque S pour sommet du cône circonscrit. Si le sommet S se rapproche 4u po^t Ç, }e pône, g'.éy^a^ 4e plu? ^n pl,us^ §j,iga?wte in-

LIVaE IlL — CHAP. m.

définiment; si, au contraire, le sommet S s'éloigne du

point B, le cône, s'allongeant de plus en plus, et ayant toujours une base plus grande qu'un grand cercle de la sphère, augmente aussi indéfiniment. Ainsi, lorsqu'on fait glisser le sommet S sur le prolongement du diamètre à partir du point B, on voit que le cône circonscrit, d'abord infiniment grand, commence par diminuer pour augmenter ensuite et redevenir indéfiniment grand, il passe donc par une valeur plus petite que toutes les autres, c'est-à-dire par un minimum. Le volume du cône a pour mesure

|7cÂC*xSA.

Appelons r le rayon de la sphère et x la distance BS. On a

SA = ar + X.

Les triangles semblables SAC , SOD donnent la proportion