AG SA^ OD"~SD
d'où l'on déduit, en remarquant que la tangente SD,
moyenne proportionnelle entre SA et SB, égale ^x{2r+x)^
sjx (ar -\- x]
aC =
Si l'on remplace les quantités AC et SA par leurs valeurs, le volume du cône aura pour expression
i-irr
, (ar + xy
Proposons-nous d'abord cette question : circonscrire à la
sphère un cône de volume donné. Si, pour simplifier, nous
représentons le volume donné par ^ nr^tn^ nous aurons l'équation
qui, mise sous forme entière, devient
On en déduit
a? = 2(m — r) dz ay (m — r)* — r%
et, en simplifiant la quantité placée sous le radical,
ar=a(m — r)rh a ^m(fn — ar).
Pour que x soit réelle, il est nécessaire et il suffit que la quantité positive m soit plus grande que ar ; donc m a un minimum ar, et quand on donne à m cette valeur on trouve a; = ar. Ainsi le plus petit cône S'CE' circonscrit à la sphère a une hauteur S'A double du diamètre de la sphère ; le
volume de ce cône minimum est ■= itr' ; c'est le double du
volume de la sphère.
A toute valeur de m plus grande que ar correspondent deux valeurs de x réelles et positives ; il existe donc deux cônes ayant un même volume quelconque plus grand que le minimum ; la hauteur de l'un est plus grande que la hauteur S'A du cône minimum, celle de l'autre est plus petite. En effet, si dans le premier membre de l'équation (i) on remplace x par ar, on a un résultat négatif 8r (ar — m) ; donc l'une des racines est plus petite, l'autre plus grande que ar.
Ce qui précède montré bien que, lorsque x croît de o
à 8f , le volume du cône diroinue de l'infini à sa valeur minimum ^ 7or% et que, lorsque x coutiime à croître au delà de 2r, le volume augmente ensuite indéfiniment. 172. Question VI. Étudier la variation de la fraction
x^—ex+ 11'
dans laquelle x désigne une tariable réelle arbitraire.
Proposons-nous d* abord de trouver les valeurs de x qui rendent cette fraction égale à une quantité y. Nous aurons r équation
(y — a) X* — 6yx + i ly — 6 = o, d'où l'oa déduit
^ 5y'zfc ^9y^~ (y-^) (11.V-6J
et, ëri siiûplifiatit,
3y =b V — 2y* + ^Sy — 12
Pour que â? soit réelle, il est nécessaire et il suffit (Jue là quàïrtité placée sous le radical soit positive* Ainsi la quantité y prendra toutes les valeurs (Jui rerident positif le trinôirie
et n'en prendra pas d'autres. Le trîiiôtoe, ayant ses racines réelles, se décompose en facteurs du premier degré et B'écrit
ou
MAXIXA ET MINIKA. 223
Nous qi^elons y' \â j^us petite racine^ 9^ la pins gradde; Le triûôfiae est positif pour toutes les valeÉTr» de if comprises entre y' et y" , et il est négatif pour toutes tes autres valeurs. Ainsi, quand la variable x parcourt toute ï échelle des grandeurs, la fraction jMrdposéè y varie entre y' et y", sans jamais sortir de ces limites. La limite inférieure y' est un minimum^ la limite Supérieure y" un maximum.
Gomme sj/^h s= 6,657 * 0,001 près,' le nîinimumf dé là fraction est y' t=: 0,443» lemaximumf y*'=^ i^iSby: Lata-
ieur de x oui rend la fraction minimum est x' = . =
— 0,854; celle qui la rend maximum est a?"= —ît^ —
= 3,519. ^ toute valeur ae y comprise entre y' et y^' correspondent deux valeurs différentes de x.
Nous pouvons maintenant notts rendre compte de la variation de la fraction proposée, quand x varie d'une manière continue de — co à + c». Exapiinons d'abord ce que devient cette fraction, quand on donne à x une valeur numérique très-grande, positivé ou négative. Pour cela, nous diviserons par x* le numérateur et le dénominateur, ce qui donne
quand x est très-grand numériquement, les quantités -j, -, — ^ sont très-petites j et la fraction diffère très-peu
de la valeur 2 ; ceci nous apprend que la fraction tend vers la valeur 2 quand x augmente indéfiniment en valeur absolue. Si donc on fait croître x d'une manière continue de — co à — 0,854, la fraction proposée ira en diminuant
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de la valeur s à la valeur minimum 0,44^ ; ^ croissant ensuite de — 0,854 à 3,5 19, la fraction ira en croissant du minimum 0,44^ au maximum i3,557; x dépassant enfin 3,519 et croissant indéfiniment, lafiraction ira en diminuant du maximum 1 3,557 ^ ^^ valeur 2. Il est à remarquer que la fi^action passe deux fois par chaque valeur intermédiaire entre le minimum et le maximum ; il faut en excepter toute^ fois la valeur 2; la fi*action ne passe pas précisément deux fois par la valeur 2 ; car cette valeur doit être considérée comme la valeur limite vers laquelle tend la fi-action, quand x s'éloigne vers Tinfini positif ou vers Tinfini négatif.
