Question VIL Étudier la variation de la fraction
Si nous cherchons les valeurs de a? qui rendent la fi-action égale à y, nous avons l'équation
X* — 6yx + 7y + 5 = 0, d'où
X = 3y zt v/gy*— yy— 5.
La fraction y prendra toutes les valeurs qui rendent positif le trinôme
Ce trinôme ayant ses racines réelles (y' = — o,452, tj" == i,a3o) se décompose en facteurs réels et se met sous la forme
Il est négatif pour les valeurs de y comprises entre y' et y"; mais il est positif pour toutes les valeurs de y plus grandes
que y" ou plus petites que y'. Ainsi la fraction y admet deux séries de valeurs : l'une ^ commençant à y'^ et s'élevant à + <>^ ; l'autre commençant à y' et descendant vers — oo* La valeur y" est le minimum de la première série, elle est donnée par a? = 3y" = 3,690 ; la valeur y^ est le maximum dé la seconde série, elle est donnée par x = 3y' = — 1 ,336.
Remarquons que les mots maximum et minimum n'ont pas ici un sens absolu, mais seulement un sens relatif. La valeur y" est la plus petite de toutes celles de la première série ; mais elle est plus grande que les valeurs de la seconde série. De même, la valeur y' est la plus grande de toutes celles de la seconde série ; c'est un maximum relativement à cette seconde série.
Ainsi , la fraction proposée varie de y" à + cys et dé y' à — co; elle parcourt toute Téchelle des grandeurs, sauf la portion comprise entre y' et y". Il faut remarquer que la fraction saute brusquement de — à + cy^, quand
X passe par la valeur ^. En effet, quand x est im peu plus
petit que ~ , la fraction est négative et très-grande en va-
leur absolue; dès que x dépasse un peu ^, la fraction devient positive et très-grande.
Si Ton divise le numérateiu* et le dénominateur par x^ ce qui met la fraction sous la forme
on voit que, pour de trè3-grandes valeurs de a?, le numérateur différant très-peu de a?, et le dénominateur de G, la
fraction est à peu près égale à ^. Elle a des valeurs trèsgrandes et de même signe que x.
Il résulte de tout ce qui précède que si Ton fait croître x de*~ co à — i ,556, la fraction va en croissant de — oo au
iaaaximum — o,452 ; x continuant à croître de — i ,556 à ~, la fraction va en décroissant de — o, 45 a à — <^* Quand x passe par la valeur | , la fraction saute brusquement de
— oo à + ^^» ^ croissant ensuite de | à 5,690, la fraction
décroît de + o« au minimum 1,280; x dépassant 3,690 et croissant jusqu'à + c», la fraction va en croissant de i,a3o
17â. Question VIII. Étudier la variation de la fraction
En égalant cette fraction à y et résolvant Téquation, on trouve
Le trinôme placé sous le radical ayant ses racines imagi* ginalres, peut se mettre sous la forme d'une somme de deux carrés
il reste constamment positif, quelle que soit la valeur de y. Ainsi la quantité y peut recevoir toutes les valeurs possibles, et la fraction proposée parcourt toute l'échelle des grandeurs de — 00 à + ^^•
La fraction saute brusquement de + »=> à — c/^, quand x passe par la valeur 2. D'autre part, si l'on divise le numé-
MAXIIIA ET MUIIMA. 227
rateur et le dénominateur par a?, elle s'écrit
et devient à peu près égale à - pour de très-grandes
valeurs de x positives ou négatives. On conclut de là que, quand x varie de — oo à + 2, la fraction va en augmentant de — 00 à + 00 ; X passant par la valeur 2 , la fraction saute brusquement de -f c» à — o« ; a? variant ensuite de 2 à -f 00, la fraction croît de nouveau de — c» à -f- c», parcom^ant une seconde fois toute l'échelle des grandeurs.
D'après ce que nous avons dit, la fraction parcourt deux fois toute l'échelle des grandeurs; dans chacun de ces mouvements, elle va en augmentant continuellement sans éprouver d'alternative de décroissance; autrement elle passerait plus de deux fois par la même valeur ; ce qui ne peut pas être, puisqu à une même valeur de m ne correspondent que deux valeurs de x.
175. Question IX. Les trois dernières questions rentrwt dans l'étude de la variation de la fraction rationnelle
ax^-^- bx -^ c ^^^ a'x^+b'x + e''
Les exemples précédents montrent les circonstances principales qui peuvent se présenter ; cependant il est bon de traiter la question d'une manière générale.
Les coefficients a, 6, c, a\ h\ c' étant supposés réels, à toute valeur réelle de la variable x correspond une valeur réelle de la fraction. Cherchons les valeurs de a? qui correspondent à une valeur donnée y dé de la fraction ; nous avons
228 LIVRE m. — CHAP. m.
à résoudre réquation du second degré
ax* -{- bx-{-c
ou
(a) (û'y - a)ir« + {b'y — b)x + (c'y — c) = o;
d'où Ton déduit
La quantité placée sous le radical est un polynôme du second degré en y, que nous représenterons par
(4) Ay* + By + C,
en posant, pour abréger,
A±=ô'*~4aV, C~6*— 4«(?, B=4(ac'+ca') — aô6'.
La variable x étant réelle, on pourra attribuer à y toutes les valeurs qui rendent le trinôme (4) supérieur ou égal à zéro, et aucune autre. Il y a plusieurs cas à considérer :
1* Supposons que le coefficient A ait une valeur négative. La quantité B* — 4AG ne pourra être négative ; car, si cela avait lieu, le trinôme (4), ayant ses racines imaginaires, conserverait le signe de son premier coefficient A (n" 157) , et par conséquent serait négatif pour toutes les valeurs réelles de y : à aucune valeur réelle de y ne correspondrait une valeur réelle de X, ce qui est impossible, puisqu'à toute valeur réelle de x correspond une valeur réelle de y% La quantité B* — 4AG sera donc supérieure ou égale à zéro. Si cette quantité est positive, le trinôme (4), ayant ses deux racines y' et y" réelles et inégales, sera positif pour toutes les valeurs de y comprises entre y' et y", et négatif pour toutes les autres valeurs de y. Ainsi, dans ce cas, la fraction y variera de y' à y"; la plus petite racine y' sera un minimum, la plus grande y" un maximum.
Il est fq.cile <Je le reconnaître à priori : la quantité A ou 6" — /^a'c' étant négative , le trinôme a'x^ + b'x + c' ne
s'annule pas, et par conséquent la fraction conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de x. Conune elle
diffère très-peu de la quantité finie —, pour les valeiu^ de x
très-grandes numériquement, on en conclut que cette frac-^ tion reste comprise entre deux limites.
Si la quantité B* — 4AC était nulle, le trinôme (4) , ayant ses racines égales, se mettrsdt sous la forme A (y — y')* ; il serait négatif pour toutes les valeurs de y, excepté pour y = y'; on ne pourrait attribuer que cette seule valeur à la fi*action, qui alors serait constante. Il est facile de voir que, dans ce cas, les coeflScients des termes correspondants des deux trinômes qui composent la fraction sont proportion-, nels. En effet, y ayant une valeur constante, quelle que soit la valeur de a?, Téquation du second degré (2), dont les coefficients ont des valeurs constantes, est vérifiée par une infinité de valeurs de x ; il faut donc que les trois coefficients soient nuls séparément, c'est-à-dire que l'on ait
ofy — a = o, b'y — ô = o, c'y — c=:o,
et par suite
abc
Réciproquement, quand les coefficients des trinômes ox* 4- ft^ + c'^' ^' + ^'^ + ^' sont proportionnels, la fraction a une valeur constante ; car, si l'on a-7 = 77 = -7 = fc,
k étant la valeur de ces rapports égaux, on en déduit a=^ka\ b=kb\ c = kc\ et la fraction proposée devient
230 LlVBfi IIL — GHAP. III.
On peut supprimer le facteur commun a^a;'+6'a;+c'; alors la fraction ne contient plus la variable â? et se réduit à une omstante &•
1'' Supposons maintenant que le coefficient A ait une valeur positive. Si la quantité B* — 4AC est positive, le trinôme (4) , ayant ses racines y' et y" réelles et inégales, est positif pour toutes les valeurs de y inférieures à la plus petite racine y', ou supérieures à la plus grande y", et négatif pour toutes les valeurs comprises entre les racines. La fraction y prendra donc deux séries de valeurs, allant, l'une de y' à — oo, Tautre de y" à + c»; y' est le maximum de la première série, y'' le minimum de la se^ coude série. Le dénominateur a!x* + Vx + c' a ses racines réelles et y devient infinie quand x passe par l'une de ces racines.
Si la quantité B* — ^kC est inférieure ou égale à zéro, le trinôme conserve une valeur positive pour toutes les valeurs de y. Ainsi, dans ce cas, la fraction parcourt toute l'échelle des grandeurs de — <y:>à 4-<^*
3** Considérons enfin le cas où le coefficient A est nul. La quantité placée sous le radical se réduit à un polynôme du premier degré By+ G, que Ton peut mettre sous la forme B(y — y'). Si le coefficient B est positif, la fraction y prend toutes les valeurs supérieures à la valeur y', qui est un minimum. Si le coefficient B est négatif, y prend au contraire toutes les valeurs inférieures à la valeur y', qui est un maximum.
Le coefficient B pourrait être nul en même temps que A ; le coefficient C étant supérieur ou égal à zéro, y prend toutes les valeurs possibles. Dans ce cas, Téquation (3) devient
MAXaiA ET UINIVA.
d'où l'on déduit
et Ton voit que la fraction proposée se réduit au premier degré ; cette réduction a lieu par la suppression d'un facteui* commun du premier degré»
176. Question X. Étant donnés deux cercles qui se cowpent au point A ; par a point on mène une sécante queh conque BG; étudier la variation du produit des deuxportionê AB et ÂC de cette sécante.
Étudions d*abord sur la figure la variation du produit AB X AG. Faisons tourner la sécante autour du point A de
droite à gauche ; si nous partons de la position AD où elle est tangente au grand cercle, le seg-ment AB est nul ainsi que le produit ; quand nous arrivons à la position AE où elle eat tangente au petit cercle, le segment AG s'annulant, le produit redevient nul ; dans l'intervalle le produit a donc passé par un maximum. Si nous continuons le mouvement dans le même sens pour idler de la position AE à la position AD, le produit, partant de «éro pour revenir à zéro, passe par un second maximum»
Supposons (ptô la sécante occupe la position BG ; des centres et 0', abaissons sur cette sécante les perpendiculaires OP, O'G, et du 'centre 0', menons tme parallèle (XH à h^ftftte« Appek)ns a et 6 les rayons OA, O'A des deux cercles, d la dlstaîice OC des centres, jî et y les moitiés AP, A6 dee deux segments de la sécante, i^m le produit de ces
232 LIYJIE m. — CHAP. III.
deux segments, on a la première équation
(i) ^ xy=m.
Le triangle rectangle OO'H donne
d*= cl' +01' = (a? + y)*+ (OF— O'G)»; si Ton développe les carrés, et si Ton observe que
il vient
d* = a -f 6* + am — 2 ^[a} — x*) (6* — y'), d'où
en désignant, pour abréger, par A la quantité connue — "-^ — — — . En élevant au carré, et développant, on a
û«6^ 6 V — d'y* + x*y« = (A + m)% ou
Les deux équations (i) et (2) conviennent aussi au cas où la sécante occupe la position AB' ; seulement, dans ce ^cas, le segment AC, étant porté en sens contraire, sera regardé comme négatif, ain^i que le produit ni« Dans le triangle rectangle OO'H', le côté O'H' est égal à la différence AF' — AG', ou à la somme algébrique a? + y ; le côté OH' est une somme OF + O'G', au lieu d'être une différence comme précédemment ; le signe placé devant le ri^^gal est donc changé, mais l'élévation au carré dpnne la même équation (2). Puisque, dans cette nouvelle position de la
MAXIM! ET MiNIMA. 233
sécante, le produit m est regardé comme négatii, on voit que le second maximum géométrique correspond à un minimum algébrique. Ainsi le produit m variera entre un minimum négatif et un maximum positif.
Afin de rendre l'équation (2) symétrique par rapport aux deux inconnues, nous poserons
bx = 3f, ay:=i\(,
prenant pour inconnues nouvelles 7! et y' ; les équations (1) et (2) deviennent ainsi
(3) a!y'^=zahmy
(4) ar'* + y'« = a»6* + m«— {A + m)«.
On connaît le produit des deux inconnues et la somme de leurs carrés. Si à la seconde équation on ajoute la première multipliée par ^, il vient
(a/ + y7=(a6 + m)«-(A+m)% d'où
x' + y' = ±: \J{ab—k) (a6 + A + am).
De même, si de la seconde équation on retranche la première multipliée par 2, il vient
(a/ - yj = [ob — w)« — ( A + m)% d'où
x'—'!/ = ±:\j[ab+ k)[ab — k— am).
Si Ton remplace A par sa valeur, les deux expressions précédentes deviennent
(5) a/+ 3/=: zh i v^[ti«-(a-6)«][(a+6)«-(^«+4m].
284 LITRE m. — GHAP. III.
Pour que la question soit possible, il est nécesssdre et il suffit que les deux radicaux soient réels. Nous remarquons d'abord que« puisque la distance des centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différencoi les deux quantités
(a + 6)«^d% eP— (a — *)•
sont positives ; en représentant, pour abréger, par p et g ces deux quantités positives, on a
Le premier radical est réel, si l^m est plus grand que ^--p, le second, si l^m est plus petit que q. Donc le produit des deux segments de la sécante varie du minimum — p au maximum + î- Si Ton fait 4m = ç, on aa?' — y'= o, et par smte hx =ay,
ûd CL
OU - = ^; les deux segments AB et AG étant proportion-
nels aux rayons, les deux triangles OAB, O'AG sont semblables, les rayons OA, O'G sont parallèles, et par conséquent la sécante passe par le centre de similitude externe des deux cerclas. De même, si Ton fait fyfn = — p, on a oj' + y' = ; la sécante AB' passe par le centre de similitude interne. Ainsi le produit acquiert son premier maximum, quand la sécante passe par le centre de similitude externe ; il acquiert son second maximum numérique, quand la sécante passe par le centre de similitude interne.
177. Question XL Alvéole des abeilles. Ëtant donné un prisme droit ayant pour base un hexagone régulier, prenons
IIAXIMA ET MINIMA.
sur le prolongement de l'axe O'O du prisme (fig* \) m point Fig 1. arbitraire S; par ce point et
les trois côtés du triangle équilatéral ACE, que Ton obtient en joignant deux à deux les som?mets de la base supérieure* menons trois plans ; ces plans détachent du prisme hexagonal trois tétraèdres BAGG, DCEH, FAEK, et les remplacent par le tétraèdre SAGE placé au-dessus du prisme ; nous formons ainsi le solide représenté par la figure s, qui se termine à sa partie supérieure par une sorte d'hexagone gauche, réunion des trois losanges
Fig. 2. qui aboutissent au sommet S.
Il est aisé de voir que le volume du solide ainsi formé est constant, quelle que soit la position du point S sur le prolongement de l'axe du prisme, En effet, les deux losanges SAGG, OABG (fig. i) ayant une.
diagonale commune AG, les deux autres diagonales SG et OB passent par le môme point L, milieu de AG ; les Uiangles rectangles LBG, LOS, sont égaux, et l'on a BG = OS. Il en résulte que le tétraèdre GABG détaché du prisme, et le tétraèdre ajouté BAOG, sont égaux, comme ayant leurs bases égales ABG, AOG, et aussi leurs hauteurs égales BG et OS. Ainsi la somme
236 LIVBE m. — GHAP. III.
des trois parties détachées du prisme est égale à la pyra* mide ajoutée SAC]$.
Considérons maintenant la surface du solide. Appelons a le côté A'B' de 1* hexagone régulier, I la longueur de l'arrête AA' du prisme primitif, x la distance arbitraire OS. La surface latérale du solide que nous étudions, se compo- 3ant de six trapèzes tels que AA'FG, a pour mesure
3(AA'+ GB') X A^B'= Za[2l — x).
Les trois losanges qui terminent le solide ont pour mesure
