SAC X SG

= SAC X SI^ ta 3a

Ainsi la surface totale du solide, abstraction faite de la base inférieure, a pour expression

fz\/x* + j.

Cherchons la valeur de x pour laquelle cette surface est égale à une surface donnée que, pour simplifier, nous représenterons par 5am; nous avons l'équation

A l'inspection de cette équation, on voit que le premier membre étant plus grand que x, la quantité m — 2/ est po^tive; si on la représente par m', l'équation devient

En élevant au carré, on obtient l'équation du second degré

UÂXIMA ET MINIMA. 237

(a) ax' — am 0? + "7 m ' = o.

Les racines seront réelles si la quantité positive m' satisfait à la condition

ou plus simplement

Tant que Ton a m' < — ^, le produit étant positif, les

deux racines de l'équation (2) sont positives et conviennent àl'équaUon (1); on a deux solutions du problème. Quand

on a m' = — ^, Tune des racines est nulle, l'autre positive ; on a encore deux solutions, l'une d'elles est le cylindre non

modifié. Enfin, quand on a m' > -^, l'une des racines est

positive, l'autre négative : la racine positive convient évidemment à l'équation (1); la racine négative y convient aussi ; car elle est comprise entre les deux quantités o et — m' qui, mises à la place de x dans le premier membre de l'équation (2), donnent des résultats de signes contraires. Si l'on attribue à m' sa valeur minimum — ^ on a

On conclut de là que, si l'on fait varier x de — / à -| — j— ♦

la surface va en diminuant continuellement, et qu'elle

augmente ensuite, quand x croît de -[ — ^ à + ' 5 elle

passe donc par un minimum pour x = —7—.

2S8 LIVBE m. — GHAP. IXL

Les abeilles construisent leurs cellules sur ce plan/ L'entrée de Talvéole est un hexagone régulier A'B'CD'ET (fig. 2) ; le fond est formé de la réunion de trois facettes planes inclinées de manière que la surface soit minimum.

Il y a ainsi économie de cire. Les alvéoles sont placées les unes à côté des autres en doubles rayons, les ouvertures tournées en dehors , et les fonds se touchant exactement de manière qu'il n'y ait pas d'intervalle vide entre elles et que chaque cloison serve à deux cellules voisines.

178. Question XII. Partager un nombre donné en plusieurs parties de manière que le produit de ces parties soit

maximum.

Pour fixer les idées, supposons que l'on partage le nombre donné positif a en trois parties positives a?, y, js, dont chacune peut varier de à a. Le produit, devenant nul quand l'un des facteurs est nul et conservant ime vaJemfinie positive dans cette étendue, admet évidemment un maximum ; il est aisé de reconnaître que ce maximum a lieu quand les trois facteurs sont égaux entre eux, c'est-àdire quand a? = y = s = •». En effet, supposons que deux

des facteurs, par exemple x et y, diffèrent; fixons le troisième facteur 5, et faisons varier les deux premiers facteurs X et y, dont la somme a — js est alors constante, de manière à les rendre égaux entre eux ; il est clair que nous augmenterons le produit xy et par suite le produit xyz; ainsi, tant que deux facteurs diffèrent, on peut les modifier de manière à augmenter la valeur du produit ; le produit n'arrive donc à sa valeur maximum que lorsque les trois facteurs sont égaux entre eux.

Applications : i** L'aire d'un triangle est exprimée par h

MAXIMA £T IIINIMA. 239

formule

dans laquelle a, 6, c désignent les trois côtés et ap le périmètre. Si Ton fsdt varier les côtés de manière que le périmètre reste constant, la somme des trois fkcteurs variables p — a^p — &, p— c restant constamment égale à p, leur produit sera maximum quand ces trois facteurs seront égaux entre eux, c'est-à-dire quand asr^b r=s c. Ainsi, de tous les triangles ayant même périmètre^ le plus grand est le triangle équilatérah

2** Étant données n quantités a, 6, c,.-..,., toute quantité grande que la plus petite et plus petite que la plus grande des quantités données est dite une moyenne entre ces quantités. Il est clair que la quantité

est une moyenne entre les quantités données ; on l'appelle . moyenne arilhmélique. Supposons que les quantités données soient toutes positives, Texpression

\abc.

MMi

sera aussi une moyenne entre ces quantités ; on lui a donné le nom de moyenne géométrique, 11 est aisé de démontrer que la moyenne arithmétique est plus grande que la moyenne géométrique. Nous voulons faire voir que Ton a

> \/abc.

ou, en élevant les deux membres à la puissance n,

i ■ ■■■■ ■■■ ■ .■! > aoc.

240 LIVRE III. — CIIAP. Ht.

Le premier membre est le produit de n facteurs égaux

à — î — Il — jLhi . la somme de ces facteurs est n

le second membre est un produit de n facteurs inégaux dont la somme est aussi a + & '+ <î + • • • i 1^ somme des facteurs étant la même de part et d'autre, le premier produit, dont tous les facteurs sout égaux, est plus grand que le secondé

i 79. Remarque. Dans la question précédente, nous avons supposé que les factem-s variables et positifs ne sont assujettis qu'à la condition

d'avoir une somme constante; chacun des facteurs varie de o à a, et on peut les prendre tous arbitrairement, excepté un. Dans ce cas^ nous ayons vu que le produit est maximum, quand tous les facteurs sont égaux. La même propriété subsiste quand, outre la condition d'avoir une somme constante, les facteurs variables sont assujettis à vérifier d'autres relations, pourvu, toutefois, que les nouvelles relations permettent de rendre tous les facteurs égaux entre eux. Pour fixer les idées, bornons-nous au cas de trois facteurs, et supposons que ces trois facteurs positifs soient assujettis à vérifier les deux conditions

(i) x+îr + z = a,

(a) X + ay -f" 3* = *•

Imaginons d'abord que l'on fasse abstraction de la relation (2) et que l'on donne aux trois facteurs x, y, z tous les systèmes de valeurs positives qui vérifient la relation (i) ;

IIAXIMA ET MINIMA. 2A1

a' la plus grande valeur du produit xyz sera la valeur — ,

qui a lieu quand on fait .t = y = js = -. Si, maintenant,

on tient compte de la relation (2), il faudra, parmi les systèmes de valeurs de a?, y, z qui vérifient la relation (1) , prendre seulement ceux qui vérifient en même temps la relation (2) ; le produit xyz ne passera plus par toute la série des valeurs qu'il avait précédemment, mais seulement par ime partie d'entre elles ; il est évident que le maximum de la série partielle ne pourra, dans aucun cas, surpasser le maximum de la série totale considérée précédemment ; le plus souvent même il sera moindre. Si les trois facteurs peuvent devenir égaux entre eux, ce qui a lieu quand 6=2a,

le produit acquerra la valeur maximum — ; mais si b dif--

fère de 2a, les trois facteurs ne pouvant être rendus égaux

entre eux, le produit n'atteindra pas la valeur — ; son

maximum sera plus petit que — ; dans ce cas, pour déterminer le maximum, il faut recourir à une autre méthode qui sera exposée dans le Cours de mathématiques spéciales.

180. Question XIII. Partager le nombre a en deux parties x et y telles que le produit x*" y*" soit maximum. Nous pouvons écrire ce produit sous la forme

/cm -.n

Faisons abstraction du facteur constant m** n*, et considérons seulement l'expression variable

que l'on peut écrire ainsi :

2i? LITXB HI. -t^ CHAP. III.

XX ^y y

mm n n

G'eat leprû«li4t de m + h ffKiteursfe, doot^n 9^1 égMx Ji —,

et n égaux à - ; fe. somme de totts ces fkcteurs

est constante, puisque ac + Jf = « ; d'ailleurs tous ces facteurs peuvent être rendus égaux entre eux; donc le produit acquerra sa valeur maximum, quand tous les facteurs seront égaux çntre eux, c'est-à-dire quand on aura

Ainsi il faut partager le nombre a en deux parties propor-

tonnelles aux dei*x exposants m et n.

AffUmlmms. r" Étant doBoée na&feBffie âeojurtott car»

rée ABCDi si, après avoir mené des parallèles aux quatre côtés â la même

d^nce , m «^Vô' le% {^tîtg ^Mf^ dans les angles et qu'on relève les portions rectangulaires telles que EKLF, on forme une boîte à fond carré WQYl, Appeltosp sa te oAté AB de la feuille è^ carton et x la Sstaoïee AK à laquelle oa trace les paralîèles^? la boite a picmr hbm un osttT^ èmX le côté EF est 2a — «vr ou a (a — x)\ sa hauteur est x\ le volume a pour expression

Quand x varie de o à o-, Je- vohime, qui est Httl pour â?=s£e, augmente d'abord, pour dhninuttr ensuite et redevenir nul; il passe donc par un maximum ; la somme des deux facteurs variables a — a; et x étant ^constante, ce maximum

MAXIMA ^f MINIMA. 2&3

aura lieu quand ces deux facteurs seront proportionnels aux exposants 2 et i , c'est-^-dire quand on aura

d'où

Ainsi, pour obtenir la boîte la plus grande, U faut partager le côté AB en six parties égales et mener les parallèles par les premiers points de division.

2** Quel est h plus grand des cylindres circulaires droits qui ont une surface donnée ? Appelons x le rayon de la base du cylindre et y la hauteur, désignons par 2ua' la surface totale et par V le volume ; on a

(1) x* + xt/ = a\

(2) V=:icx'y.

Si dans l'expression du volume on remplace y par sa valeur

tirée de l'équation (1), il vient

(4) V=;ira?(a*— a?«).

L'équation (3) fait voir que op peirt varier de o à a; le volume, partant de zéro pour revenir à zéro et conservant une valeur finie, passe nécessairement par un maxiI^umt Le volume aura sa plus grande valeur, quand le prodiïit x{a* — x^) ou son carré a;*(a*|-r-a;*)* sera maximum. En regardant x' comme la variable, nous avons deux facteurs variabljBs x* et a* — x^ dont la somme est constant^; Iç maximum a lieu quand ces facteurs sont proportionnels aux exposants i et 2, c'est-à-dire quand on a

244 LIVRE III. — CHAP. m,

d'où

a • aa

Ainsi, de tous les cylindres de m^me surface totale, le plus grand est celui dont la hauteur égale le diamètre de la base.

181. Remarque. Un grand nombre de questions de maximum et de minimum se correspondent deux à deux, de telle sorte qu'à un maximum dans Tune se rapporte un minimum dans l'autre. Soient w et r deux quantités variables, telles qu'à chaque valeur de u correspondent une série de valeurs de v et à chaque valeur de v ime série de valeurs de u. Appelons 6 la plus grande des valeurs de v qui correspondent à une même valeur a de ti, et V la plus grande des valeurs de v qui correspondent à une autre valeur a' de u ; si la seconde valeur a! attribuée à u est plus petite que a , nous supposons que le second maximum 6' est plus petit que le premier 6. Inversement, je dis que a est la plus petite des valeurs de u qui correspondent à la valeur 6 attribuée à v. On remarque d'abord que a est l'une de ces valeurs; d'autre part, il est impossible que u prenne une valeur a' plus petite que a ; car les valeurs de t> qui correspondent à cette valeur à! de u étant toutes égales ou inférieures à la quantité 6' qui est plus petite que 6, aucune d'elles n'est égale à 5.

De même, appelons h la plus petite des valeurs de v qui correspondent à une valeur a de ti, et 6' la plus petite des valeurs de v qui correspondent à une autre valeur a' de u ; si a! est plus grand que a, nous supposons le second minimum 6' plus grand que le premier 6. On démontrera de la même manière que, inversement, a est la plus grande des valeurs de u qui correspondent à la valeur 6 de v.

Ainsi, quand les deux quantités variables m et v ont des

MAXIMA ET MINIMÂ. 2A5

Valeurs a et 6 telles que b soit la plus petite ou la plus grande des valeurs de v qui correspondent à la valeur a de ti, A b augmente ou diminue avec a, inversement a est la plus grande ou la plus petite des valeurs de ti qui correspondent à la valeur 6 de r.

Supposons, par exemple, que ti et v désignent le périmètre et la surface d'un rectangle. Gomme il existe une infinité de rectangles ayant même périmètre, à une même valeur du périmètre u correspondent une infinité de valeurs de la surface v. De même, comme il existe une infinité de reotangles ayant la même surface, à ime même valeur de v correspondent une infinité de valeurs de w. Nous avons vu (n* 165) que, de tous les rectangles ayant même périmètre a, le plus grand est le carré ; appelons b Taire de ce carré ; il est évident, d'ailleurs, que Taire b du carré diminue avec son périmètre a. On en conclut que, inversement, de tous les rectangles qui ont même surface 6, ce carré est celui qui a le plus grand périmètre a.

Nous avons vu aussi (n* 17^) que. de tous les triangles de même périmètre, le triangle équilatéral est le plus grand. D'ailleurs Taire du triangle équilatéral diminue avec son périmètre. On en conclut que, de tous les triangles de même surface, le triangle équilatéral est celui qui a le plus grand périmètre.

Nous avons supposé, dans la démonstration du théorème précédent, que b augmente ou diminue avec a ; si 6 augmentait quand a diminue, on considérerait les quantités variables fi et -. A im maximum de u correspondrait un minimum de -, et par suite un maximum de v*

CHAPITRB IV.

JÉQU^yiONS . BÉDUQTIBLES DU, SECOND DEGRÉ.

.nrrrurm-jut

Équations bicarrées.

1Ô2. On Homme équations bicarréçs, des équatiotis. du

(|uatrième degré qui ne renferment que les puiâsances pâifes de i*inconîiue. La forme générale dp Véquatioix bicarrée est

Si Ton pose a?' = y, prenant pour > inconnue nouvdte f t Téquation se ramène à réquatien du second àe^é

OûefldôdliU

— bdis/b* — liac

y -^ r ■ il ^ 1 1 T I 11 1 1 if II, ,• ' ^ *"

îta

UÙBi Gomm0 û^tài^^y^m afmuleme»^

Chacune des valeurs de y donne pour a? deux valeurs égales et de signes contraires* Ainsi Téquation bioarrée admet quatre racines, égales deux à deux et de signes contraires.

Si Féquî^tipn (2) a ses deux racines réelles et positives,

Téquatioû bicarrée a seé quàtPé mcihe» fêèV^i Si Tune des racmes de réqfuation (2) est positive, Tautre négative» Téquation (1) adiflet deux racines réelles et deux imaginaires. Si les deux raciiEife ^ Véqùtàtàati (s) ^5bnt nëgatl'?iéë ou imaginaires, les quatre racines de Téquation (i) sont imaginaires.

Exen^les.