Question I. Résoudra les deux équations

En tirant de la première

et substituant dans la seconde, on arrive à l'équation du quatri^àse il^ré i^eàrrée

d'où Ton déduit

x = ±\/:zÈ±^=±i/:

ILes deux vateurs de âp* scmt réelles, Tûne posilàve 4» l'autre négative — 9; la valeur positive donne pour x deux racines réelles

i=zta; d'où y ===±3; la valeur négative domie deux racines imaginaires

X == ± 5î; d^où y = ^-^. = i^: at,

18A. Question ÏI. i)kérminef un c6ne cirMàti'e droU^ connaissant m tin^rfact totale ft son wt^im.

248 LIVRE m. — CHAP. IT.

Désignons par x le rayon de la base, par y le côté, et

représentons par 4«<»' la surface et par %zb^ le volume du

cône, nous avons les deux équations

(i) x^+xy = ^a\

(a) x^ vy' — j?'= 46'^.

Si, dans la seconde équation, on remplace y par sa valeur tirée de la première, on obtient l'équation

(4) ax v^4a* — 2x' = a6%

qui, par l'élévation au carré, devient l'équation bicarrée

(5) aV* — 2a*a?'-|- 2Ô*= o.

Cette équation aura deux racines réelles et positives, si

la condition 6* < — est remplie. Chacune de ces racines

vérifiant l'équation (4) et rendant le radical réel, est

moindre que a^2 , et par suite donne pour y une valeur

positive plus grande que x; on a ainsi deux solutions.

a* Quand on a 6* = —, les deux racines sont égales et Ton

Si l'on suppose que la surface totale du cône soit constante et que l'on fasse varier le volume, on voit que le volume acquerra sa valeur maximum, quand le côté du cône sera égal à trois fois le rayon de la base.

Au reste l'étude de la variation du volume se ramène à celle d'un polynôme du second degré. On a, en effet,

ÉQUATIONS BICARRÉES. 2d9

Quand x croît de o à a, et de a à ay/a , le volume augmente de zéro à sa valeur maximum pour diminuer ensuite jusqu'à zéro.

185. Question III. Dans une sphère donnée^ inscrire un cylindre ayant une surface totale donnée.

Appelons r le rayon de la sphère , x le rayon de la base du cylindre, 2y sa hauteur, et représentons la surface totale par /^Tza^. Nous aurons les deux équations

(a) aicx' + 4'^^y = 4''^«'«

Si, dans la première équation, on substitue la valeur

tirée de la seconde, on arrive à l'équation bicarrée

d'où l'on déduit

La valeur de x devant être positive, il est inutile d'écrire le signe db devant le grand radical.

Pour que l'équation (4), du second degré en a;', ait ses racines réelles, il est nécessaire que l'on ait

Il en résulte la condition

550 LIVRE IM, — CttAÏN IV.

Si cette condition est remplie, les deux valeurs de x^ sont réelles et positives^ Appelons a?'* la plus petite, a?"* la plus grande.

Si Ton substitue chacune de ces valeurs dans l'équation (3) , on aura pour y deux valeurs correspondantes y' et y". Mais la valeur de y doit aussi être positive ; il faut donc que Ton ait

Quand on remplace a?' par sa', le premier membre de Té-

quation (4) deVltent égal à 8«»X2«*— ^*), %\û^ < ~, le ré*

sultat étant négatif, la plus petite racine ce'* étant inférieure

à 2a*, donne une solution du problème; la phàs gtrande^

étant supérieure à 2 a*, ne convient pas à la question. Si

r* a* > —, les deux racines sont toutes deux, ou inférieures,

ou supérieures à 2 a' ; mais elles ne peuvent être supérieures

Aa* à 2 a*, puisque leur produit est égal à ~; donc dtes sont

inférieures à 2a% et donnent deux solutions de la question.

En résumé, pour que le problème soit possible, il faut

que la surface totale du cylindre soit plus petite que

ur*(^5 + i). Si cette surface est plus petite que 2ur% le problème admet une solution ; si la surface est plus grande que «ur% tout en étant moindre que le méudmtam, le problème admet deux solutions.

On voit par là que, lorsqu'on fait varier le rayon x du

ÉQUATIONS BICARRÉES. 251

cylindre de ô à r, la surface augmente de o au maxipaum 7ir'(v/5 + i), pour diminuer ensuite de ce maximum à 2ur*,

* Transformation des expressions de la forme y a dz y'b.

186. Les quantités irrationnelles de cette forme proviennent, comme nous l'avons vu, des équations bicarrées; il est possible quelquefois de les transformer en une somme ou en unfe difiéreûce de deUi raditaux simples, et ceci offre un eertaitt avantage eii retidant îë calcul plus simple et ^lus facile. Mais nous allons d'abord établir un principe qui nous servira.

Lorsque deux quantités incommensurables de la formn

a + v/b , les lettres a €< b désignant dèv^ quaniitts commen-^ surables^ sont égales^ les parties commensurables sont égales, ainsi que les parties incommensurables. Je dis, par exemple, que l'égalité

dans laquelle les lettres a et a' désignent des quantités commensurables quelconques, 6 et 6' des quantités commensurables non carrés parfaits, ne peut avoir lieu que si l'on a séparémenta=a', 6=6'.En effet, de l'égalité précédente, ondéduit

^b = [o:—a)-\-sJb\

et, m, élevant au carré les deux membres,

b = (a'— a)« + ô» + 2 {ô!~ a] SJV.

Si a était différent de a', on aurait

^ . 2(a'— fl) '

et la quantité ihcommensurabie ^T' serait égale à une quan-

252 LIVRE m. — GHAP. IV.

tité commensurable, ce qui est impossible. Il faut donc que Ton ait a^=a'; mais alors on a aussi b = 6'.

187. Proposons-nous maintenant de transformer l'expression \a + ^bi dans laquelle a et ( désignent des nombres positifs commensurables, en une somme de deux radicaux simples. Posons donc

Va + v/^= v/i + s/y.

Nous voulons que les deux nombres cherchés a? et y soient commensurables. En élevant les deux membres au carré, on a

En vertu du principe précédemment établi, cette égalité ne peut avoir lieu que si Ton a séparément

4xy = b.

Nous connaissons la somme et le produit des deux inconnues ; ces deux inconnues sont donc les racines de Téquartion du second degré

tl'— 0^ + 7= O,

d ou u = .

On voit que les nombres cherchés seront commensurables lorsque la quantité a* — (est un carré parfait. En désignant par k^ ce carré, on a ainsi

La transformation de l'expression \a — ^6 s'effectuera

ÉQUATIONS TRINOMES. 253

de la même manière. On posera

y a — \/Â = )Jx — Vy ; d'où l'on déduit

a — V'Âsrx+y — a v/xy, et par suite

4ary = 6.

Les valeurs de a? et de y sont donc les mêmes que précédemment. La transformation sera possible si la quantité a' — 6 est un carré parfait. En désignant par fc* ce carré, on a

Applications, i* Transformer l'expression y 7 + V^- La quantité 7' — 13 ou 36 étant égale au carré de 6, la transformation est possible et l'on aura

v/;t7s= v'?+ v¥= vr+ \/-:=^-

2* Transformer l'expression y 6 — 2 y/S. On la mettra

sous la forme y 6 — y/io , en faisant passer le facteur 2 sous le radical. La quantité 6* — 20 ou 16 étant égale au carré de 4? 1^ tran^ormation est possible et l'on aura

* Équations trinùmes.

188. Considérons une équation de la forme (1) aa:**4"*^**+^ = ®«

En posant x"^ = y, on est ramené à l'équation du second

254 LIVRE m. — CHAP. IV.

degré

(a) ay* + ôy + c = o.

Une fois les valeurs de y connues, on obtient celle de x par la formule

Il y a plusieurs cas à examiner;

1* Si m est pair, toute valeur réelle positive de y donne pour X deux valeurs réelles, égales ^ de signée ewtraireB* Mais une valeur négative de y ne dona^ ipfim » qvie des v^ leurs imaginaires ; car les puissances pw^ ^ quantités réelles, positives ou négatives, sont toujours positives. G' est ce que nous avons vu dans la résolution des équations bicarrées.

2° Si m est impair, toute valeur réelle de y donne pour x raie valeur réelle de même signe et une seule. Soit, par exemple, l'équation

x^ — igx^ — ai6 = o;

Téquation du second degré

que Ton obtient en posant x'=y, a pour racines — 8 et + 2 7; Véquâticm proposée admet les deux radnes réelles — 2 et 4-3< QMtre le& racines réelles doBt noua venons de parkrt Téquat^ aân)iet encore des radtnes imagiimired dont il aers question plus tard.

Exercices sur le Livre 111.

Question I. Trouver le pMol également ëdaifé par deux lainières sur la droite qui les joint.

Question II. Partager un trapèze ea 4wx fartteft éfoiTaleotes pfv une droite parallèle aux deux bases.

Question III. Dans un cevd^^imacEln imreetiuigle ayant une aire donnée. = Maximum de ce rectangle.

Méponse : I^ rectangle maxittiim est le carré.

BXElieiGlSi. i^

QirEsnoii IV. Timter ks eêtét A» Mtngle lifllMitow c<MfiiiKN^ \^ périmètre et hi surface.

Question V. Trouver les càkéê ëwm ttiaBgla iMAan^t, MWniiJiflHi^ Vhypoténuse et la aornoM «i^teniie «b i^atMl te kanltm m ^«li «M^ de Tangle droit.

Question YI. TrouTer les odtés d'un til«igte itiMliie^ c»inmM4A la hantenr et la somme des cMés de Taiif le drott

Question VII. Trouver les côtés d'un triangle rectangle, connaiaaMi^ \fi périmètre et la somme de HiypelémMe et de la hauteur.

Question VIII. Couper une sphère par un phm> de telle aef te que ie segment détaché ait un volume égal au cône ayant pour sommet le centre de la sphère et pour base la sectioa faite dana la sphère par le plan.

Réponse : On mènera le plan sécant à unediatance du oestie égal au ptos grand segment du rayon partagé en moyenae et eaLtiéme raisen*

QuEsrmN IX. Dana un cône drait, insetiiie «n eylisAie a^aot une suafece hrtérale donnée, ta Maiimnm d» cette avrfaee.

Réponse : La surface latérale est mai iM w n quaod la hauteur du oylladie est moitié de oelto du cône.

Question X. hvttê uu triangle isœ^ inscrire mi reetangle a^nut use guf^ ffaee donnée.

Question XI. Circonscrire à un rectangle un triangle isocèle a]Mai une surface donnée.

Question XR. déterminer un triangle itooèle connaissant les éem oôtés égaux de la suvftMe*

QuESVioN xnL Un henagene est fermé par to trifoglea ienoèlea é0MMb placés sur les côtés d'un triante équllatéral. Déterminer cet hexagone ee»naissanrf le périmètre el le surface.

QuEstKm xrv. Ofl ferme un eetogone en enlaçant sut les an^es d'im earré quatre triani^eg rectangles Hocèles égaux; déteminef cet eetegooe connaissant le périmètre et la surfece.

QuEsnoN XV. Délermhier un ascteur circulaire eomfiaiasant le périmètre et la surSaee.

QuESTioti XVL Ëtant donné un prisme droit à base canée, om, joint deux à deux les milieux des côtés de la base supérieure; par un poini pris sur le prolongement de Vaxe du prisme et les quatre côtés du carré inseiit on mène des plans qui détachent du prisme quatre tétjaèdres, et. qui le» remplacent par une pyramide à, base carrée fïaféa au-dessva du prisme» Démontrer que le volume du solide ainsi, formé est constaqt» et détjerminei: 1^ position du sommet sm^ Vaxe,. de manière que 1^ surface 9iX uue.v^çur donnée.

Question XVII. Ëtant donnés un cercle, un point A sur la circonférence, un px^tp sur lediaiuètre qui passe en A ; on joint les deux pointa fixes A et B à un point quelconque M de la circonférence ; déterminer la position du point M de manière que la ligne brisée AM -h MB ait une longueur donnée.

Question XVIII. Étant donné un vase cylindrique plein d'air, dans lequel pénètre un tube vertical ; par le tube on verse une certaine quantité d'eau ; déterminer la hauteur à laquelle s'élèvera le niveau de Feau dans le vase et dans le tube.

256 UVRE m* — CHAP. IV.

Question XIX. Déterminer les côtés d'an triangle rectangle, connaissant le périmètre et la somme des surfaces engendrées par les deux côtés de Tangle droit tournant autour de l'hypoténuse.

Question XX. Dans un demi-cercle inscrire un trapèze de périmètre donné. = Maximum de ce périmètre.

Question XXI. Circonscrire à une sphère un cône dont la base repose sur un plan diamétral et qui ait une surface donnée. = Minimum de cette surface.

Réponse : Le cône dont la surface totale est minimum est celui qui a pour section un triangle équilatéral. Cette surface minimum égale celle de la .sphère.

Question XXII. Un cercle étant inscrit dans un angle droit» mener à ce cercle une tangente telle que le triangle ainsi formé ait une surface donnée. = Minimum et maximum de cette surface.

Question XXlil. Par un point donné dans Tintérieur d'un cercle, mener deux cordes rectangulaires telles qu'en joignant leurs extrémités on forme un quadrilatère ayant une aire donnée.

Question XXIV. Avec un levier pesant de seconde espèce , on veut soulever un poids donné apppliqué à point donné. Quelle longueur faut-il donner au levier pour que la puissance soit minimum, en tenant compte du poids de levier?

Question XXV. Cône maximum inscrit dans une sphère.

Question XXVI. Triangle isocèle maximum inscrit dans un cercle.

Question XXVII. On commence à faire mouvoir le piston d'une pompe aspirante. Trouver à quelle hauteur s'élèvera l'eau dans le tuyau d'aspiration, après le premier, le second, le troisième... coup de piston.

Application numérique. La section du corps de pompe est de o,oi mètre carré, celle du tuyau d'aspiration de 0^002; la course du piston de o*^, la longueur du tuyau d'aspiration de 8 mètres. On représentera la pression atmosphérique par une colonne de i'',33o.

On trouvera pour l'élévation de l'eau, après chaque coup de piston :

mètres. mètret.

!•* coup 1,07 1,07

La pompe fonctionnera après le huitième coup de piston.

Dans une sphère mener un plan BC tel que le volume du cône ABC circonscrit soit divisé en deux parties égales par la calotte BDG. Plus généralement dans un rapport donné.