LIVRE IV

CHAPITEE PBEMIER.

Définition.

189. On appelle progression arithmétique une suite de quantités telles que la différence entre deux quantités consécutives est constante. Ces diverses quantités sont les termes de la progression. L'excès d'un terme quelconque sur le précédent se nomme raison de la progression.

La progression est croissante^ lorsque les termes vont en augmentant. Dans ce cas, la raison est positive. Ainsi la progression croissante

TÎ.5 .8 . 11 . 14. 17 . 20

a pour raison + 3.

Au contraire la progression est décroissante^ lorsque les termes vont en diminuant. Dans ce cas, la raison est négative. Ainsi la progression décroissante

a pour raison — 0.

Théorème I.

190. Dans une pràgrèssiôti arithfnétique ^ un terme de rang quelconque égale le premier plus autant de fois la raison quHl y a de termes avant lui.

Appelons a, 6, c, d, les différents termes de la progression, r la raison. D'après la définition même de la progression, le second terme égale le premier, plus la raison,

Le troisième, terme ^gàle lé èecoiïd plus là raison , et par conséquent le premier plus deux fois la raison,

Le quatrième terme égale te trmslème plus la rsdson, et par conséquent le premier plus trois fois la raison,

(t) d=c + r=ù + ûr-^rr=ta'^Zr,

et ainsi de suitei En généri^ le tern^ qui occupe le n* rang^ e€ qui par condéquent m a n-^ i avant lui» égale

Ainsi la progression arithmétique peut être mise sous la

forme

r a . a-}- r . a -^ 2r . a -{- Zr

191. Remarque. Les termes d'une progression arithmétique croissante augmentent indéfiniment de manièfe à deveïiif plus grands que toute quaniiié donnée. Ëli effet, l6 têfmê de rang n sera plus grand que la quantité donnée À, âî Toïi a

a+(n— i)r> A, ou

(n — ijr> A— a.

ety en divisant par le nombre positif r,

Ainsi, dès que le rang surpassé la quantité — h i » 1®

terme surpasse la quantité A, si grande qu'elle soit.

Considérons, par exemple, la progression croissante indéfinie

Pour avoir un terme plus grand que looo, on prendra

c'èst-à-dire

Le 334* terme est plus grand que looo.

192. Insérer entre deux quantités données un certain nombre de moyens arithmétiques. On appelle moyens arithmétiques, insérés entre deux quantités données, des quantités qui forment une progression arithmétique dont les deux quantités données sont les deux extrêmes. La question revient à trouver la raison de la progression.

Soit à insérer n moyens arithmétiques entre les deux quantités a et 6. Le terme 6 de la progression égale le premier terme a, plus autant de fois la raison qu il y a de termes avant lui, c'est-à-dire plus n -\- i foi^ la liaison. On a donc

d'où Ton déduit ^^ ^ ^

Ainsi, on obtient la raison de la progression en divisant la différence des deux quantités données par le nombre des moyens à insérer plus un.

Si, par exemple, on veut insérer 5 moyens entre les deux nombres 2 et 30, on prendra

ao — 2

et Ton formera la progression

Ta.5.8.ii.i4«i7«20.

Théorème IL

193. 5î, entre deux termes consécutifs d'une progression arithmétique^ on insère le mime nombre de moyens, les pro^ gressions partielles ainsi obtenues forment une seule et même progression.

En effet, puisqu'on insère le même nombre de moyens entre deux termes consécutifs, et que la différence de ces deux termes est constante, la raison est la même dans toutes les progressions partielles ; et comme le dernier terme de chacune d'elles est le premier de la suivante, ces progressions partielles se continuent de manière à ne former qu'une seule et même progression.

Théorème III.

19&. Dans toute ]progression arithmétique^ la somme de deux termes également distants des extrêmes est constante. Soit la progression

Je considère le second terme et Tavant-dernier; le second terme égale le premier plus la raison,

ravant-dernier égale le dernier, moins la raison,

En ajoutant ces deux égalités membre à membre, on a

On a de même, en considérant les termes e et ft,

d'où Ton déduit

e-|-A=& + *• Et ainsi de suite.

Lorsque la progression contient un nombre impair de termes, il y a au milieu un terme également distant des deux extrêmes. Deux fois ce terme égale la somme des extrêmes.

Ainsi, dans la progression

7 3.5.8. ii.i4.i7*3o^

les termes 2 et 20, 5 et 17, 8 et 1^9 donnent la même somme 22, qui est égale à deux fois le terme du milieu 11.

Théorème IV.

195. La somme des termes d'une progression arithmétique égale la moitié du produit que Von obtient en multipliant la somme des extrêmes par le nombre des termes.

Soit toujours la progression

Appelons n le nombre des termes, s la somme des termes, et écrivons cette somme au-dessous d'elle-même en ordre inverse,

s = l -f- Â: -f- fe..... -f- c -}- 6 -f- a.

262 UVBE IV. — CIHAP. I,

On voit que le§ iq^ tOTO^Sf pl^cfe i'vn ?iu-i^fi$sous dfi Ymtx^ sont également distants des extrêmes dans la progression, et que par conséquent leur somme est constante et égale à la sQtaiûe i&à axtrâmes a -f I. Si dqnc en ajoute les deux sommes terme à terme, 1^ sommç totale 25 se composera de la somme des extrêmes répétée autant de fois qu'il y a de termes dans la progression. On aura ainsi

as = (« -f* ^f

d'où

Par exemple, k somme dea termes ^e la progression

est 77.

Si Ton remplace le dernier terme l par sa valeur

on obtient cette autre formule

(4) « ps na 4- ' - ' ^ r.

Applications. 1** La somme des n premiers nombres entiers

nin-f- 1)

2° La somme des n premiers nombres impairs

est égale à n*.

Ainsi