CHAPITRE IL
Définition.
196. On appelle progression géométrique une suite de quantités telles que le rapport de deux consécutives est constant. Le rapport de chaque terme au précédent se nomme raison.
La progression est croissante, lorsque la raison est plus grande que l'unité. Ainsi la progression géométrique croissante
a pour raison 3.
La progression est décroissante, lorsque la ndson est plus petite que Tunité. Ainsi la progression géométrique décroissante
a p^ur r^ '
Théorème I.
197. Dans une progression géométrique, un terme de rang quelconque égale le premier terme mulliplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent.
Appelons a, 6, c, d,. les différents termes de la
progression, r la raison. D'après la définition même de la progression géométrique, le second terme égale le premier multiplié par la raison ,
Le troisième terme égale le second multiplié par la raison, et par conséquent le premier multiplié par la seconde puis-< sance de la raison ,
c = br = arr = ar^.
Le quatrième terme égale le troisième multiplié par la raison, et par conséquent le premier multiplié par la troisième puissance de la raison ,
d= cr= ar^r = ar^y
et ainsi de suite. En général le terme qui occupe le n* rang, et par conséquent en a n — i avant lui, égale
(i) ûr~-*.
Ainsi la progression géométrique peut être mise sous la
forme
^ a : ar : or* : ar^ : ;
les différents termes sont égaux au premier multiplié par les puissances successives de la raison.
198. Remarque I. Les termes d'une progression géométrique croissante augmentent indéfiniment.
Puisque la progression est croissante, la raison r est plus grande que l'unité, et nous pouvons la représenter par 1 4- a (a étant une quantité positive, aussi petite qu'on veut). Considérons d'abord la progression
fj i : 1 +a:(i+a)*: (i + *)'
formée par les puissances successives de la raison. Cher-
chons la différence eotre deux termes consécutif guelcon* que». Dp Ift relfittio»
(i -fa)-^ = (i+a)-X(i +«) = (! +«)* + ^(i+«)%
on déduit
le facteur (i + ^)\ 4^s le second membre, étaut jahis grand que Tunité, il en résulte que la différencp obercbée est plu» grande que a, excepté pour les deux premiers termes, dont la différence est égale à a. Ainsi, les termes de la progression géométrique, fermée par les puissances successives de la raison, sont plus grands que les termes correspondants de la progression arithmétique
•f 1 . 1 -f-a . 1 -f- aa . 1 + 5ôt,
Mais ces derniers augmentent indéfiniment, de majiière à devenir plus grands que toute quantité donnée (n^ 191) ; il en est de même à plus forte raison des premiers.
Un terme -quelconque d'une progression géométrique croissante a pour expression ad (i -f- *)* ; nous venons de démontrer que, lorsque n croît indéfiniment, (i + a)** augmente indéfiniment; le produit a (i-fa)** de cette quantité par le
premier tqrme a jouit évideurowt de 1^^ w^iue prppriété.
199. Remarque IL 1m tm^^ i)'t4m pr^rmion, g^n^fr ifique décroissante tendent vers zéro, quand on prolonge indéfiniment la progression. La raison, étant plus petite que
l'unité, peut être représenta paf ~t^ ; un tevvf^ gijelconque de la progression sera
Quand n croît indéfiniment, le dénominateur augmentant in#ûnuftwtt h fi^Qtiw, tçud yepr? 7iix%
PKOGRESSIONS GÉOUËTRIQUES. 267
200. Insérer entre deux nombres un certain nambrii de moyens géométriques. On appelle moyens géométriques, insérés entre deux nombres donnés, des nombres qui for»n^t une pr^es^iQH géométrique dont ^es nomb^*es ^onnésf sont les deux e^çtfêpies. ^^^ question rwent évideiument ^ trouver la raison de la progression.
Soit à insérer n moyens entre a et b. En appelant r la raison chçfcl^^ç, pq ^
d'où Ton tire
-yi-
Ainsi, on obni^r\t Iq^ iç%sm 4(^ îa f?rwre«wn fn ç^itra^anisi du quotient des deux nombres donnés une racine ayant pour indice le nombre de moyens ^ insérer plus un.
Théorème II.
201. St, entre deux termes consécutifs d'une progression géométrique, on insère un mêm^ nombre de ipioyens, les progressions partielles ainsi obtenues (arment un^ seule et même progression.
En effet, puisqu'on insère le même nombre de moypns entre deux termes consécutifs de la progression, et que le quotient de cça ^eux termes est conat^nt, la y aison sera la même dans toutes les progressions partielles. Et comme le dernier terme de chacune d'elles égale le premier de la suivante, ces progressions partielles se continuent de manière à ne former qu'une seule et même progression.
Théorème IIL
?Q2. Planai (ai((e prog^rmi^^ gé,ométriq^e, If y^TQiuH da deux termes cgalf^ç^t #^^<§ ^^^ pxtvèmies es^ ççnsfant.
Soit la progression
Je considère le second terme et Tavant -dernier; le second terme égale le premier multiplié par la raison,
l'avant- dernier égale le dernier divisé par la raison,
On a donc
bk = al.
On a de même, en considérant les deux termes c et ft,
ji
r d'où l'on déduit
cA=6A, et ainsi de suite.
Lorsque la progression contient un nombre impair de termes, il y a au milieu un terme également distant des extrêmes. Le carré de ce terme égale le produit des extrêmes. Ainsi, dans la progression
fr 2 : 6 : i8 : 54 : 16a : 486 : 1458,
les termes 2 et i458, 6 et 486, 18 et 162 donnent le même produit 2916, qui est le carré du terme du milieu 54.
Théorème IV.
203. Le produit des termes d'une progression géométrique égale la racine carrée du produit des extrêmes élevé à une puissance marquée par le nombre des termes.
Soit la progression
Appelons n le nombre des termes, P le produit des termes. Écrivons ce produit au-dessus de lui-même en ordre inverse.
F = abc akl,
F = Ika cba.
On voit que les deux facteurs placés Fun au-dessous de l'autre sont des termes également distants des extrêmes dans la progression, et que par conséquent leur produit est constant et égal au produit des extrêmes al Si donc on multiplie les deux produits l'un par l'autre, le produit total se composera du produit des extrêmes élevé à une puissance marquée par le nombre des termes. On aura
d'où
(3) F = s/{air.
En remplaçant l par sa valeur on obtient cette autre formule
qui n'exige plus l'extraction d'une racine carrée; car l'exposant fi (n — i) , produit de deux nombres entiers consécutifs, est toujours pair.
Théorème V.
204. On obtient la somme des termes d'une progression géométrique en retranchant du premier terme le dernier muUiplié par la raison et divisant la différence par Tunité moins la raison.
270 tlVfeE iVi — CÈAF». il.
Appelons S la somme cherchée, Multiplionfi -la par la raison r « nous ayons
Si nous retranchons cette seconde égalité de la première, tous les termes se détruisent dans les seconds membres, excepté le premier et le dernier, et il vient
d'où Ton déduit
a — ar""
OU
On emploie cette formule telle qu elle est, si la progression
est décroissante. Mais si la progression est croissante^ les
deux termes de la fraction étant négatifs, on changera leurs
signes, et l'on aura
Exemple : la somme des termes de la progression géométrique croissante
ff 2 : 6 : i8 : 54 : 162 : 486 : 1458
est, d'après la formule (7) ,
La somme des termes de la même progression écrite en ordre inverse et alors décroissante est, d'après la formule (6) ,
Remarque. Où bbtiétit atisâi les formulée précédentes eii écrivsttit la somme èhet* chée ifeous la ferme
et remarquant que la parenthèse est le quotient de i --r** par 1 -^ r (n* 08) , ce ^ui donne immédiatement
Tméorèmé VI.
205. La somme des termes d'une progression géométrique décroissante à Vinfini tend vers une limite égale au premier terme divisé par V unité moins la raison.
Supposons que la progression . géométrique décroissante
Tral ar: ar* :
se prolonge indéfiniment. La somme des n premiers termes e^ donnée pâi^ làt fortnule
Si l*on prend un nombre de termes dé plus en plus grand, la raison r étant plus petite que Tunité en valeur absolue, le terme ar^ de la progression décroissante diminue de
plus en plus, et tend vers zéro, ainsi que la quantité ^ — -r
quand n augmente indéfiniment; donc la somme des termes
se rapproche indéfiniment de la quantité fixe — — , de ma-
nière à en différer aussi peu qu'on voudra. En un mot, la
somme des termes tend vers la limite
1 — r Le mode de convergence de la somme des termes vers sa
limite n'est pas le même, suivant que la raison est positive ou négative. Pour fixer les idées, supposons que le premier terme a soit une quantité positive. Lorsque la raison est positive, tous les termes de la progression sont positifs ; danà ce cas, il est évident que la somme va en augmentant constamment, à mesure que Ton prend un plus grand nombre de termes ; mais elle n'augmente pas au delà de toute limite,
car elle reste toujours inférieure à la quantité fixe ;
elle ne peut même atteindre rigoureusement cette limite, dont elle se rapproche indéfiniment.
Lorsque la raison est négative, les termes de la progression sont alternativement positifs et négatifs ; la formule (5)
montre que la somme des n premiers termes est tantôt
• d plus petite, tantôt plu3 grande que la quantité fixe ,
dont elle se rapproche de plus en plus ; si n est pair, la
différence est négative, et la somnie plus petite
que la Umite ; au contraire, si n est impair, la différence est positive et la somme plus grande que la limite ; ainsi, dans ce cas, la somme des termes converge vers la limite
—2—, en oscillant de part et d'autre.
Applications, i** La somme des termes de la progression décroissante
dont la raison est -, a pour limite
On voit bien sur cet exemple comment les sommes consécutives
que l'on obtient en prenaftt, le premier terme, les deux premiers, les trois premiers, etc. , tendent vers la limite i ; la première somme diffère de Tunité de - , la seconde de -y , la
troisième de ^, la quatrième de -^, et ainsi de suite.
2'' La somme des termes de la progression décroissante
dont la raison est , a pour limite
Dans ce second exemple, la raison est négative et les sommes consécutives
? 4' 8' Te^ W'*"'^
sont alternativement plus petites et plus grandes que la limite i ; la première surpasse T unité de -, la seconde en
diifère de|, la troisième la surpasse de ^^ la quatrième 4 «
en diffère de -77, etc.
5^ Les fractions décimales périodiques sont des progres-
274 LIVRE IV. — <»àP. u.
sions géométriques décroissantes. Par exemple, la fraction décimale périodique simple
peut s'écrire
35 35 35 100 loo' loo' '
c'est une progression géométrique dont la raison est ^
La somme des termes tend vers la limite
Cette limite est ce qu'on appelle la valeur de la fraction décimale périodique.
