CHAPITRE m
DéfifUlion.
206. Étant données deux progressions, Tune géomé-, trique conunençant par Tunité, Tjiutr^ arithmétique commençant par zérd,
les termes de la progression arithmétique sont dits les logarithmes des termes correspondants de la progression géométrique. L'ensemble de ces deux progressions constitue ce qu'on appelle un système de logarithmes.
On suppose en général que la raison a de la progression géométrique est plus grande que l'unité, la raison 6 de la pr(^ression arithmétique étant d'ailleurs positive ; de cette manière les termes de la progression géométrique augmentent indéfiniment, de même que les termes de la progression arithmétique.
207. Nous avons défini de la sorte les logarithmes des nombres qui font partie de la progressiun géométrique ; il est facile d'étendre cette définition à tous les nombres. Concevons que Kon insère un très-grand nombre de moyens géométriques entre deux termes consécutifs de la progression géométrique, on formera une nouvelle progression géométrique procédant par intervalles beaucoup plus res-
276 LIVRE IV. — CHAP. ni.
serrés. Si, par exemple, on insère mille moyens géométriques en deux termes consécutifs, la nouvelle progression renfermera mille nombres entre i et a, mille entre a et rf", etc. En insérant le même nombre de moyens arithmétiqi^es entre deux termes consécutifs de la progression arithmétique, on formera une nouvelle progression arithmétique qui donnera exactement les logarithmes de tous les nombres inscrits dans la nouvelle progression géométrique, et approximativement les logarithmes de tous les autres nombres.
Soit n — 1 le nombre des moyens insérés. Appelons q la raison de la nouvelle progression géométrique, r celle de la nouvelle progression arithmétique ; on a
q=Say r=-, ^ n
et les deux nouvelles progressions s'écrivent
■r G . r . ar . 5r
On voit que la raison r de la nouvelle progression arithmétique est aussi petite qu'on veut. Je vais démontrer que l'excès de la raison q de la nouvelle progression géométrique sur l'unité peut être aussi rendue plus petite qu'une quantité donnée a, si petite qu'elle soit. En effet, l'inégalité
sera satisfaite si l'on a
a<(i+û)% ou
Or, si petite que soit a, on sait (n*» 198) que n peut être pris assez grand pour que (i + a)" surpasse la quantité donnée a. Pour cette valeur de n et pour toutes les valeurs plus grandes, la raison q sera donc moindre que i -f- *•
LOGAlllTHMES. 277
Soit A un nombre positif quelconque plus grand que Funité ; si ce nombre fait partie de la nouvelle progression géométrique, le terme correspondant de la progression arithmétique donnera exactement son logarithme. Si ce nombre ne fait pas partie de la progression géométrique, il sera compris entre deux termes consécutifs ç"* et g"^* ; or la différence de ces deux termes
étant moindre que Aa, puisque g** est plus petit que A, et q — 1 plus petit que a, peut être rendue aussi petite qvCon veut; le nombre A différera donc de chacun des termes qui le comprennent aussi peu qu'on voudra. On prendra approximativement pour le logarithme de A celui de l'un d'eux, soit mr, soit (m + i) *" ; Terreur commise sur ce logarithme,
étant moindre que la raison r ou -, sera aussi petite qu'on voudra.
PraprUtis fondamentales des logarithmes.
Théorème L
208. Le logarithme du produit de plusieurs facteurs égale la somme des logarithmes de ces facteurs.
Considérons les deux progressions
TT i : q : ?':?•:?*: ,
o . r • ar 3r . ^r . .....y
au moyen desquelles on définit les logarithmes. Nous remarquons que les termes de la progression arithmétique sont les multiples successifs de la raison, et que les termes de la progression géométrique sont les puissances successives de la raison. Ces progressions sont disposées de manière que les termes qui occupent le même rang soient
placés l'un au-dessous de l'autre ; on voit que, dans deux • termes correspondants q"^ et mr, le même nombre m sert à la fois d'exposant et de multiplicateur.
Je multiplie deux termes quelconques 9*» et ç** de la progression géottiétrîque, le produit 9**^" est aussi un terme de la progression géométrique. J'additionne leurs logarithmes, c'est-à-dire les deux termes correspondants mr et nr de la progression arithmétique; lasoname(m+n)restaussiun terme de la progression arithmétique. Or on voit que le produit q"^ et la somme (m-{- n)r se correspondent dans les deux progressions. Donc le logarithme du produit égale la somme des logarithmes des facteurs.
En général, soient a et 6 deux nombres quelconques, on aura
\og(aXb) = loga + logô.
Ce théorème s'étend évidemment à un nombre quelconque de facteurs.
Théorème II.
209. Le logarithme d'itn quotient égale le logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.
Appelons c le quotient de a par 6 (a étant supposé plus grand que 6) . On a
az=^bxc^ et, d'après le théorème précédent,
16gfl= \ogb -f- loge;
d'où
ainsi
logc = loga — logb.
log-=lof?a — log^',
LOGARmiMES. 279
Théorème III.
210. Xe logarithme de la puissance â!un nombre égale le logarithme de ce nombre multiplié par iHndice deja puissance.
En effets la puissance a*" étant le produit de m facteurs égaux à a, on a
d'où
logûT == loga 4- l<^gû + loga + y
loga^==mloga.
Par exemple, le logarithme du carré d'un nombre égale deux fois le logarithme de ce nombre, le logarithme du cube égale trois fois le logarithme du nombre, etc.
Théorème IV.
211. Le logarithme de la racine d'un nombre égaie le logarithme du nombre divisé par l'indice du radical.
Appelons b la racine m' de a ; on a
a == i*; et, d'après le théorème précédent,
loga = m logé; d'où
log6^^^«^
Ainsi
loga
log \a =
Par exemple, la racine carrée ou la racine cubique d'un nombre a pour logarithme la moitié ou le tiers du logarithme de ce nomboe.
212. Remarque. En arithmétique, on apprend à eflfectuer six opérations ^ur les nopcibres ; trois opfe*atiôiw di-
280 LIVRE IV. -^ CHAP, m.
rectes et trois opérations inverses. Les trois opérations directes sont, Taddition, la multiplication et l'élévation aux puissances. Les trois opérations inverses sont, la soustraction, la division et l'extraction des racines. La soustraction est l'opération inverse de l'addition ; la division l'opération inverse de la multiplication ; l'extraction des racines Fopé»ration inverse de l'élévation aux puissances.
Il y a ainsi trois ordres d'opérations, comprenant chacune une opération directe et une opération inverse. Les opérations du premier ordre, addition et soustraction, s'effectuent facilement et avec rapidité ; celles du second ordre, multiplication et division, sont déjà plus longues et plus difficiles ; enfin celles du troisième ordre, puissance et racine, deviennent très-longues et très-pénibles. Les propriétés des logarithmes, que nous, venons de démontrer, permettent de remplacer les opérations du second et du troisième ordre par celles d'un ordre moins élevé. Ainsi la multiplication et la division sont ramenées à l'addition et à la soustraction des logarithmes, la puissance revient à une multiplication, la racine à une division. On comprend par là toute l'utilité des logarithmes. .
Logarithmes vulgaires.
213. Les deux progressions par lesquelles on définit les logarithmes dont on fait habituellement usage, et qu'on appelle pour tette raison logarithmes vulgaires j sont les suivantes :
7T 1 : 10 : 100 : looo : ,
Dans ce système, le logarithme de i o est i , celui de i oo est 2, celui de looo est 5; en général lo** a pour logarithme le nombre entier n.
On nomme base d'un système de logarithmes le nombre qui a pour logarithme l'unité. Le système des logarithmes vulgaires, que Ton appelle aussi logarithmes de Briggs^ a pour base le nombre dix^ qui est la base de notre système de numération.
Les logarithmes ont été calculés en décimales ; la partie entière d'un logarithme s'appelle caractéristique. Il est aisé de voir que la caractéristique du logarithme d'un nombre renferme autant d'unités qu*il y a de chiffres dans la partie entière du nombre moins un. En çffet, tout nombre compris entre i et lo n'a qu'un chiffre à sa partie entière; son logarithme, étant compris entre o jet i , aura o pour partie entière ou pour caractéristique. Tout nombre compris entre 10 et 100 a deux chiffres à sa partie entière; son logarithme, étant compris entre i et 2, aura 1 pour caractéristique. De même, tout nombre compris entre 100 et 1000 a 3 chiffres à sa partie entière ; son logarithme, étant compris entre 2 et 3, a 2 pour caractéristique, En général tout nombre compris entre 1 o** et 1 o*^* a n + 1 chiffres à sa partie entière; son logarithme, étant compris entre n et n +1, an pour caractéristique.
214. Le logarithme de lO** est n. Si Ton multiplie un nombre a par lo**, on a
log(a X 10'*) = loga + log 10" = loga + n.
La partie décimale du logarithme reste la m^me ; il suffit d'ajouter n unités à la caractéristique.
Si l'on divise un nombre a par 10", on a
log — - = log a — log 10" = loga — n, 10*
La partie décimale reste la même; il suffit de retrancher n unités de la caractéristique.
Ainsi, quand on multiplie où quand on divise un nombre
282 , LIVRE IV. — CHAP. m.
par 10, 100, 1000..., il suffit d* augmenter ou de diminuer la caractéristique du logarithme d'uncy deux^ trois
unités.
Il en résulte que, lorsque deux nombres décimaux ne diffèrent que par la place qu'occupe la virgule, leurs logarithmes ont la même partie décimale et ne diffèrent que par la caractéristique. Ceci est important pour la facilité des calculs, parce qu'on a souvent à déplacer la virgule dans les nombres décimaux.
Tables de Callet.
215. Les tables de Ic^aritbmes les plus usitées en France sont les petites tables de Lalande et les grandes tables de Callet.
Les tables de Lalande contiennent les logarithmes des nombres entiers de i à loooo, avec cinq décimales.
On a appris en arithmétique Tusage des tables de La^* lande ; nous ne parlions ici que des tables de Callet.
Les tables de Callet contiennent les logarithmes des nombres entiers de i à io8ooo« La première partie de la table, nommée première chiliade (premier mille) y contient les logarithmes des 1200 premiers iH)mbres avec huit décimales. La table change ensuite de disposition, et donne les logarithmes des nombres de 10200 à 100000, avec sept décimales; à la fin, la table se prolonge de 100000 à 108000, avec huit décimales *. Dans la colonne verticale intitulée N, on lit les dizaines des nombres ; les unités sont inscrites au haut de la page et en tète des dix colonnes intitulées o, 1, 2,... 8, 9. La caractéristique n'est pas indi-
* Callet a prolongé ses tables jusqu'à 108000, parce que 108000 est le nombre de secondes conteques dans l'angle de ^o degrés ou Je tiers de l'î^gle droit.
quée*: il est facile de l'ajouter d'après la règle énoncée* Dans la colonne voisine, on trouve les trois premiers chiffres décimaux de chaque logarithme; les quatre suivants sont inscrits dans la colonne convenable. Si Ton veut, par exemple, le logarithme du nombre 35647, dans la colonne verticale intitulée N on descendra jusqu'au nombre 3564, puis, dans cette ligne horizontale, on s'avancera vers la droite jusqu'à la colonne intitulée 7, et l'on écrira
Iog35647 = 4>552023o.
Le nombre ayant cinq chiffres , on commencera par écrire sa caractéristique 4 ; les trois premiers chiffres décimaux 5 Sa sont communs à un assez grand nombre de logarithmes; on trouve les quatre derniers, 02^0, dans la colonne verticale intitulée 7 *.
Pour effectuer des calculs par logarithmes, il faut savoir résoudre ces deux questions : i* trouver le logarithme d'un nombre donné ; 2** trouver le nombre qui correspond à un logarithme donné.
Trouver le logarithme d*un nombre donné.
216. Trouver le logarithme d'un nombre entier. Si le nombre est dans la limite des tables, s'il est plus petit que 108000, on trouve immédiatement dans les tables le logarithme demandé.
Si le nombre surpasse la limite des tables, on l'y ramène, en le divisant par une puissance de 10. On demande, par exemple , le logarithme du nombre 366478. Afin de rendre ce nombre plus petit que 100000, on le divise par
* L'excellente édition des tables de Gallet que vient de publier M. Dupqis contient les logarithmes de \ à u)oooo avec sept décimales.
284 uvRE IV. — CHAP. m.
10, ce qui donne le nombre décimal 35647,8. La question revient à chercher le logarithme de ce nombre décimal ; car, une fois ce logarithme trouvé, en ajoutant i à sa caractéristique, on aura le logarithme demandé.
Les tables donnent le logarithme de la partie entière 35647- La différence entre ce logarithme et celui du nombre suivant 35648 est 122 unités du septième ordre décimal. On admet que les accroissements du logarithme sont sensiblement proportionnels aux accroissements du nombre, quand il s'agit d'accroissements moindres que l'unité. On dira donc : puisque, pour une augmentation d'une unité dans le nombre 35647, ^^ ^^^^ ajouter 122 au logarithme, pour une augmentation de 0,8 dans le nombre il faudra ajouter, au logarithme les 70^^ ^^^* soit^^^, ou 98 unités du septième ordre, en néghgeant les unités plus petites.
Mais on trouve cette augmentation toute -calculée dans les tables de Callet; car, dans la dernière colonne verticale à droite, on voit, au-dessous de la différence 122, un petit tableau indiquant les augmentations du logarithme qui correspondent à 1, 2, 3, 9 dixièmes. Ainsi
log35647 = 4»552023o pour 0,8. ..... 98
log 35647,8 = 4,5520328.
En ajoutant une unité à la caractéristique, on a
log356478 = 5,552o528.
Nous avons supposé que les accroissements du logarithme sont sensiblement proportionnels aux accroissements du nombre; cette proportion n'est pas rigoureusement exacte et il en résulte une certaine erreur dans^'le calcul des logarithmes des nombres décimaux. Mais on démontre que, lorsque le nombre est plus grand que 10000, Terreur com-
mise n'altère pas les sept premiers chiffres décimaux du logarithme; on peut donc regarder la proportion comme exacte.
Soit encore à calculer le logarithme du nombre 2 54 3*2 47* En divisant par 100, on ramènera le nombre proposé au nombre décimal 26432,479 La table donne le logarithme de la partie entière. La table des parties proportionneUes montre qu'à une augmentation 0,4 dans le nombre correspond une augmentation 68 dans le logarithme. Il reste à trouver ce qu'il faut encore ajouter pour 0,07. On voit dans la table qu'à 0,7 correspond une augmentation 120 ; à 0,07 correspondra donc une augmentation dix fois plus petite, soit 12. Il faut donc au logarithme de 25452 ajouter 68 + 12, c'est-à-dire 80. Faisant le calcul de tête, on écrira de suite
log 25452, 47 = 4,4o55885.
En ajoutant 3 unités à la caractéristique, on en déduit
log 2545247 = 6,4o53885.
217. Il est bon de remarquer que, dans la recherche du logarithme d'un nombre, il n'y a lieu de considérer que les huit premiers chiffres de gauche ; les suivants, n'ayant pas d'inBuence sur le logarithme, peuvent être supprimés. En effet, supposons la virgule placée après le cinquième chiffre, si Ton néglige le chiffre des dix-millièmes et les suivants, on commet sur le nombre une erreur moindre qu'un millième; la plus grande différence tubulaire étant 434» on commet sur le logarithme une erreur moindre qu'une demiunité du septième ordre décimal.
On demande, par exemple, le logarithme du nombre iio56,4852. Après avoir cherché dans les tables le logarithme de iio56, on dira, à l'aide des parties proportionnelles placées au-dessous de la différence SgS : à 0,4 cor-
respond 167, à 0,8 correspond 3i, à.o,oo5 correspond 2; en tout 190 qu'il faut ajouter au logarithme de iiô56, ce qui donne
log 11056,485 = 4,0436170.
Quand le premier chiffre est égal ou supérieur à 4» k huitième chiffre n'a pas d'influence sensible sur le résultat. Soit à trouver le logarithme de 46867,284. Après avoir trouvé le logarithme de 46867, on voit qu'à 0,2 correspond une augmentation 18, à 0,08 une augmentation 7; le chiffre des millièmes n'a pas d'influence; il faut donc ajouter 18 -|- 7 ou 2 5 au logarithme de 46867, ce qiû donne
log46867,28 =z 4,6708697.
Quand le chiffre des millièmes est plus grand que 6, on force le chiffre des centièmes.
218. Trouver le logarithme d'un nombre décimal. On demande le logarithme du nombre 'décimal 55,6478. On le multipliera par une puissance de 10, de manière qu'il se rapproche le plus possible de la limite des tables. Si l'on opère avec les tables de Gallet, on multipliera par 1000 et* on cherchera le logarithme du nombre 35647,8; puis on retranchera trois unités de la caractéristique ;
log35647,8 = 4,5520328 log35,6478 = 1,5520328.
219. Trouver le logarilhme d'un nombre fractionnaire. Il y a deux manières de procéder : ou bien oa convertira le nombre fractionnaire en nombre décimal et on appliquera la règle précédente ; ou bien, mettant le nombre fractionnaire sous forme de fraction ordinaire, et remarquant qu'une fraction égale le quotient de son numérateur par son dénominateur, on retranchera du logarithme du numérateur le logarithme du dénominateur.
IjOaAftlTHIIES. 287
Caractéristique négatives.
220. Les deux progressions par lesquelles nous avons défini les logarithmes, nous donnent, avec une approximation aussi grande qu'on veut, les logarithmes de tous les nombres plus grands que Tunité. Voici comment on définit les logarithmes des nombres plus petits que l'unité.
Imaginons que Ton prolonge les deux progressions vers la gauche, comme on les a prolongées vers la droite ; en ce qui concerne la progression géométrique, chaque terme étant égal aa terme placé à sa droite divisé par la raison, on prolongera la progression vers la gauche en divisant par la rmon ; de même, chaque terme de la progression arithmétique étant égal au ijerme placé à sa droite , moins la raison, on prolongera cette progressif» en retraRcbant la raison. De cette manière, les deux progressicms deviennent
les nombres ~, -^, , plus petits que Tunité, auront ainsi
des logarithmes négatifs — r, — 2f ,
La prc^riété fondamentale des logarithmes, savoir que k logarithme d'un produit égale la somme des logarithmes des facteurs subsiste, pourvu que Ton entende que le logarithme du produit égale la somme algébrique des logarithmes des facteurs. En effet, dans la progression géométrique, prenons
d'abord deux termes ç**, ~, le premier plus grand que
Tunité, le second plus petit; si m>«, le produit de ces deux termes sera g"*"** ; la somme algébrique des termes
correspondants mr et — nr de la progression arithmétique est (m — n)r; c'est le logarithme du produit. Si fn<nj le
produit est -;jr^; la somme algébrique des logarithmes
— fyi — m)r est le terme correspondant de la progression arithmétique; c'est le logarithme du produit. Prenons
maintenant deux facteurs -;;; et ~ plus petits que l'unité ;
la sonune des logarithmes — rrtf — nr ou — {m'\'n)r est
encore le logarithme du produit -f^^. Ainsi, dans tous les
cas, le logarithme du produit égale la sonune algébrique des logarithmes des facteurs.
Le théorème relatif à la multiplication étant ainsi généralisé, ceux relatifs à la division, à l'élévation aux puissances et à l'extraction des racines, qui se déduisent du premier, ont le même degré de généralité.
Reprenons maintenant les progressions qui ont servi à défmir les logarithmes vulgaires
: 0,001 : 0,01 : 0,1 : 1 : lo : loo : looo :
et prolongeons-les vers la gauche, comme nous l'avons dit ; on voit que tous les nombres compris entre i et o,i ont leurs logarithmes compris entre o et — i , les nombres compris entre o,i et o,oi ont leurs logarithmes compris entre — 1 et — 2, les nombres compris entre o,oi et o,ooi ont leurs logarithmes compris entre — 2 et — 3 , et ainsi de suite. 221. Mais, dans la pratique, on ne se sert pas de ces logarithmes entièrement négatifs; on laisse positive la partie décimale et on rend négative seulement la partie entière ou la caractéristique. On demande, par exemple, le logarithme du nombre o,o3526i. On trouvera dans la table le loga-
rithme du nombre entier 3526 1, qui est
Le logarithme du nombre décimal 3, 5261, qui n'a qu'un chiffre à sa partie entière, est
Pour passer de ce dernier nombre à la fraction décimale proposée, il faut diviser par 10* et par conséquent retrancher 2 unités du logarithme; le logarithme du nombre décimal o, 035261 est donc
ce qu'on écrit plus simplement
la partie décimale restant positive, la caractéristique seule
2 étant négative.
On peut remarquer que la caractéristique négative du logarithme d*une fraction décimale est égale au rang du premier chiffre significatif après la virgule. En général, soit n le rang du premier chiffre significatif après la virgule; si Ton multiplie par 1 o**, le nombre aura un chiffre significatif à sa partie entière, et la caractéristique de son logarithme sera zéro; comme il faut diviser par 10" pour revenir au nombre proposé, il faudra retrancher n unités du logarithme, ce qui donnera la caractéristique négative n.
Il y a un grand avantage à laisser ainsi positive la partie décimale du logarithme d'un nombre moindre que l'unité ; quand on a à calculer le produit de plusieurs facteurs, les uns plus grands que l'unité, les autres plus petits, on additionnera les parties décimales de tous les logarithmes et on retranchera seulement les caractéristiques négatives,
ce qui est très-simple. Et d'ailleurs, c'est sous cette forme que Ton obtient, au moyen des tables, les logarithmes des nombres plus petits que Tunitë.
]>roii6 aVoiiB écrit le Idgaiithmë du liombre o ^(^39^26 1 sous la forme
laissant positive la partie décimale; en effectuant la soustraciioii, bri a le logarithme négatif
Mais si Ton employait les logaritftitiès èîitléitMétit n^êgâ^ tifs, il faudrait additionner les uns, retrancher les autres, ce qui serait beaucoup plus compliqué. =-
Trouver le nombre qui admet un logarithme donné.
