Trouver te nombre qui a pôu^ logarithme 4»552ôà3â
avec les tables de Callet. On regarde danâ lieà tefeléë tjtoel
è^ le ]3M giiM fôgarithmè coiitenti datië îe ïogârithtne
donné; b'èst 4;95^aô5o x^ùi corre^ond un flombi^e S5l&4^ *
le nbmfiï-e cherché ëst doric dompi*is entre 3564^ et 55648.
Lfe Idgarithniè flôîîfté iâùî^aél^ le togatîthmfe dfe 59647 de
162 unités du septième ôràré : Of là différence tabulaire
est 122, c'est-à-dirè que felFon augmente te l^ârithmé dé
35647 de 1 22 unités du dernier ordre, il fatidirait âugïûentér
d'uïïe unité le îiombre 55647; èi Vàh suppoi^é léâ ^croîéP
sements du notnbre proportionnels à teu^ du logarithme^
à une augmentation 102 dans le logarithme correspondra
' 1 02 dans le nombre une augmentation égale à = o,83.
Mais il est plus cummode de se servir de la petite table des parties proportionndies : cette table Baéntre qu'à une augmentation 98 dans le logarithme corresjpond une aug-
mentation 0,8 dans le nombre. Il reste 4; ^ l'augmentation 40 dans le logarithme correspond une augmentation 0^5 dans le nombre; à l'augmentation dix fois plus petite 4 correspondra donc une augmentation o,o5. Ainsi à Taugmentation loft dans le logarithme correspond une augmentation 0,85 dans le nombre» Le nombre cherché est donc 35647,85 à un centième près.
223. On ramène toujours la caractéristique du logarithme donné à être égale à 49 sauf à multiplier ou à diviser ensuite le nombre trouvé par une puissance de i o. ^
Exemples : i** Trouver le nombre qui a pour logarithme 5,552o352. Je retranché 1 dé là cârafctêfî^îquë pour ramener le logarithme dans les limites des tablesy et je cherche te nombre qui a pour logarithme 4î552o332 ; c'est 35647,83. Pour revenir au logarithme donné, il faut ajouter i à la caractéristique, et par conséquent multiplier par 10 : le nombre cherché est donc 856478,3 à tth dixième pt^è*.
2° Trouver le nombre qui a pour logarithme i,552o332. On ajoutera 3 unités à la caractéristique, et Ton cherchera le nombre qui a pour logarithme 4î552o332 ; c'est 55647,83. Pour revenir au logarithme proposé, il faut retrancher 3 de la caractéristique, et par conséquent dîtiser* p^ar idoo^ îe nonibre cherché est donc 55,64783 avec dnq dédmàdefs exactes.
On voit qu'il y a un grand avantage à augmenter U càracté-
ristique de manière à opérer dans la partie la plus élevée des tables; si l'on avait conservé la caractéristique 1, on aufaît trouvé le nombre 35,65 avec deux décimales seulement, tandis qu'en opérant comme on l'a fait, on a obtenu cinq décimales.
3° Trouver le nombre qui a pour logarithme 2,552o332. Je cherche le nombre qui a pour logarithme o,552o332; c'est 3,564785. La caractéristique négative 2 indique qu'il
faut diviser ce nombre par loo; le nombre demandé est donc o,o3564783.
22â. Il importe de se rendre compte du degré d'approximation avec lequel on obtient les nombres à l'aide de leurs logarithmes. Soit log x = a^ le logarithme donné a ayant une caractéristique égale à 4 ; appelons x^ le nombre que Ton trouve en opérant comme nous l'avons expliqué, et A la différence tabulaire dont on s'est servi. Pour produire une variation d'une unité du septième ordre décimal dans le logarithme, il faut faire varier le nombre d'une quantité
a = ~ ; par conséquent, le mode de calcul adopté donnera les logarithmes approchés
mais on sait que Terreur causée par la proportion est moindre que -^ ; on a donc
log (^1 H- a) > «^ log (x^ — a)< a;
ainsi le nombre x, qui a pour logarithme û, est compris entre Oî, — a et a;^+a; en prenant la valeur approchée x,, on commet une erreur moindre que a, c est-à-dire moindre
que -r. Dans le voisinage de loooo la différence tabulaire
est plus grande que 4oo ; l'erreur commise sur le nombre est
moindre que y — ; le nombre lui-même étant plus grand que
10000, l'erreur relative est moindre que , . A mesure
qu'on s'élève dans la table, la différence tabulaire diminue,
et par conséquent l'erreur absolue augmente ; mais l'erreur
relative reste à peu près la même. Par exemple, vers 435oo la
diflférence tabulaire est loo et F erreur absolue moindre que ; mais Terreur relative est encore moindre que
lOo' ^ 4^00000*
Vers 99000, la différence tabulaire est 44 et Terreur absolue
moindre que 77; Terreur relative est toujours moindre que
Ainsi les tables de Callet donnent les nombres avec une erreur relative inférieure à un quart de millionième.
Remarques sur remploi des logarithmes.
226. MuLTiPUCATiON. Lorsque les facteurs sont plus grands que Tunité, on ajoute leurs logarithmes ; il n'y a là aucune difficulté.
Lorsque certains facteurs sont plus petits que Tunité , leurs logarithmes ont des caractéristiques négatives qui indiquent la division par des |)uissances de 1 ; on aura soin de retrancher ces caractéristiques négatives.
!• Calculer le produit
On cherchera les logarithmes des deux facteurs et on les 'ajoutera, ce qui donne le logarithme du produit ; puis on cherchera dans les tables le nombre correspondant.
log875,6348 = 2;942323o iog62,824o7= 1^7981261
logar = 4,7404491 X = 55010,95.
2* Calculer le produit
294 nvRE fv. — CHAP. m.
log 0,06282407 == 2,7981261
loga? = 0,7404491 â;=7 5^501.096.
En ajoutant les logarithmes, on trouve 2 pour partie entière; mais, comme il faut retrancher 2, il reste o. 3° Calculer le produit
ar = 87,56348 X 0,006282407 10^^7^56348 = 1, 9423230 log 0,006282407 = 3,7981261
îf=9;55pip^5.
L'addition des logarithmes donne 2 pour partie entière; mais comme il faut retrancher 5, On obtient la caractéristique négative 7.
4° Calculer le produit
X 0,08756348 X o,ooj6;j5(ï4pg
log 0,08756348 = 2,9423230
log 0,006282407 = 5,7981261
L'addition des logarithmes donne 1 pour partie enlière; comme il faut retrancher 2 et 3, c'est-à-dire 5, on a la caractéristique négative 4-
226. Division. On sait que, pouf effectuer une division, il faut du logarithme du dividende retrancher le logarithme du diviseur. Lorsqu'on n'a qu'une simple division à faire, on peut procéder (Je cette manière; uiQ^is qq^Rçl Oft a une
série de multiplications et de divisions à effisctu^, il est plus commode d^ ji'ftvoir quq <ips log^i-rithmes à ajouter. Pour cela on traflsfyrme les logoritl^pies à retrancher, de manière que leurs parties décimales deviennent positives. Soit, par exemple, 4 calculer
Il faut retrancljer le logarithme ^e 56^,87, qui est 2,7519485. On éprira
=— 3+o,a4go5i5= 3,a4So^iS.
Qn ^ura donc
log a3i5,59 == 2,373iS^9f
— log 564,87 = 3,248061 5
loga?= 1,7270645 X = 53,54019.
Quan4 on a ainsi rendu positive la partie (Jécim£|,le de — log 554,87, on additionne les parties" décimales des trois logarithmes ; la soustraction ne porte plus que sur la caractéristique, ce qui est une grande simplification. Soit encore a calculer
11 faut diviser par le nombre 0,0066487, qui a pour logarithme 3,7619485. On écrira
^gfte manière de procéder : Poar retran-
fieiii^ ..u^e, on ajoute une unité à la caracièristique^
(hef ^^ fje ensuite le signe et Von écrit à la suite le com-
Jûfi^ ^" ^ijimétique de la partie décimale.
p^ , jafls le premier exemple, au lieu de retrancher
/^5, on a ajouté 3,248o5i5. La caractéristique 2,
' gjeiitée d'une unité, puis changée de signe, donne 3; prenant l'excès de T unité sur la partie décimale 7619485, Q oWient le complément 248061 5.
pans le second exemple, au lieu de retrancher 3,76 1 9485,
on a ajouté 2, 248061 5. La caractéristique 3, augmentée d'une unité, puis changée de signe, donne 2.
Quand à T excès de l'unité sur la partie décimale du logarithme, ce qu'on appelle le complément arithmétique, on l'obtient aisément. De 1 il faut retrancher 0,7619486. Or, une unité vaut 9 dixièmes et 1 o centièmes ; j o centièmes valent 9 centièmes et 10 millièmes, etc. L'unité égale donc 0,999999 plus 10 unités du septième ordre. En effectuant la soustraction de gauche à droite, on obtient le complément demandé :
Ainsi, pour avoir le complément de la partie décimale d'un logarithme^ on retranche tous les chiffres de 9, en allant
de gauche à droite ^ excepté le dernier que Von retranche de 10.
Avec un peu d'habitude, on lit immédiatement le complément dans la table, en regardant le logarithme.
227. Puissances. On sait qu'on élève un nombre à une puissance en multipliant son logarithme par l'indice de la puissance.
1° Calculer x=5*^ On cherchera d'abord le logarithme de 5, puis on multipliera ce logarithme par lo.
log 5 = 0,69897000 loga? = 6,9897000 œ = 9765624.
2** Calculer X = 0,4326'.
log 0,4326 = 7,636o865 logx = 2,9082696 X = 0,08096794.
En multipliant par 3 la partie décimale o,636o865 du logarithme, on trouve 1,9082596 ; en multipliant par 3 la caractéristique négative — 1 , on a — 3 ; il faut donc retrancher 3 de la partie entière du logarithme ; ce qui donne
3« Calculer 5?= (-^j .
log 2 = o,3oio3ooo — log 37 = 2,43179828
log ^ = 2,73282828
log:2? = 7,6641414 X = 0,00000046 146; 8.
En multipliant par 5 la partie décimale du logarithme, on trouve 3 pour partie entière. La- caractéristique néga-
â08 LIVRE IV. -^ GHAP. III.
tive — 2, njultipliée par §, dfmw — jo; pn rptr^nchapt 1 o de la partie entière, on obtient la caractéristique négative 7,
228. Bacines. On extrait ia racine d'un nombre en diviapt sq^ }pg3.rjf J^mQ p#r Ym^cp (Je ]^ t^4W,.
1*^ Gahmlerâ;p:v/478938
log 478928 = 5,680270a logar =1,8934234
2° Calculer aî= y 0,05482 7
logo,o54327 = 2,;735oi57
logo: = 7,5783386 ar= 0,3787377.
Afin de rendre la caractéristique nég^ve divisible par 3, je retranche et j'ajoute une unité , et je suppose le logarithme écrit sous la forme
En divisant par 5 la partie négative et la partie positive, (m a
3° Calculer x = y 0,0000098763
log 0,0000098763 = 6,9945943
\ogx = 2,9989189 X = 0,09975137.
Je suppose le logarithme écrit sous la forme
afin de rendre la partie négative divisible par 5. En divisant par 5 les deux parties, on a
