Remarques sur les accroissements des logarithmes
En examinant dans les tables la colonne des différences, on voit ces différences aller sans cesse en diminuant. Par exemple, les logarithmes des nombres 486 et 487 diffèrent entre eux de 8927 unités du septième ordre, tandis que ceux des nombres 48624 et 48626 ne diffèrent plus que de 89 unités du même ordre. Il est facile d'expliquer la cause de cette diniinution. Soient a et a + 1 deux nombres entiers consécutifs, la différence de leurs logarithmes est
!og (a + 1) — loga = log^Xi = log (» +H ;
or, à mesure que a augmente, 1 + - diminue et tend vers
}' unité : h â|ffiè|:QQce tabulaire diminue dof^c et tepd vers zéro. 8i Ton prplongeait les tables indéfiniment, cette différ^nçe deviendrait iAÛniment petite.
Je dofipe au nombre a un accroissement constant quelconque ft, l'accrpisseipent du logarithme
}of (a + ^) — loga=loga = iog \^-^J =log (1 + -j
sera d'autant plus petit cjue a sera plus grand. Ainsi, pour i^n même accroissement absolu donné au nombre, l'accroissement du logarithme diminue à mesure que le nombre augmente. Mais si Von donnait au nombre un même accroissement relatif (j'entends par accroissement relatif le rapport de l'accroissement absolu au nombre lui-même , un nombre, par exemple, éprouve un accroissement relatif de j^, si on l'augmente de la —^ partie de sa valeur), l'accroissement du logarithme serait constant. En désignant
par k l'accroissement relatif, fc=~, l'accroissement du lo-
garithme devient log (i + fc) 5 c'est une quantité constante,
si l'accroissement relatif reste le même.
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230. Dans la recherche des logarithmes des nombres , on a supposé les accroissements du logarithme proportionnels à ceux du nombre; cette proportion n'est pas exacte. En effet, si Ton donne au nombre a l'accroissement ft, le logarithme subit un certain accroissement; si Ton donne au nombre a + ft le même accroissement ft, le logarithme subit un nouvel accroissement plus petit que le premier; ainsi; quand l'accroissement du nombre devient double, l'accroissement du logarithme est un peu moindre que le double; et réciproquement, quand Taccroissement du nombre devient moitié, l'accroissement du logarithme est un peu plus grand que la moitié. L'emploi de la proportion donne donc, dans le passage des nombres aux logarithmes, des résultats un peu trop faibles, et, dans le passage des logarithmes aux nombres, des résultats un peu trop forts.
Mais, si l'on a soin d'employer toujours la partie la plus élevée des tables, l'erreur commise suk* les logarithmes n'affectera pas les unités du septième ordre décimal; et en effel, dans les tables de Callet, on voit que la même différence tabulaire existe entre plusieurs couples de logarithmes consécutifs. Par exemple , du nombre 68596 au nombre 69744 la différence tabulaire est la même. Dans cet intervalle, pour une unité d'augmentation dans le nombre, le logarithme subit un accroissement constant 63 : pour deux, trois... unités d'augmentation dans le nombre, le logarithme subit donc un accroissement- deux, trois... fois plus grand, et par conséquent les accroissements du nombre sont proportionnels à ceux du logarithme , du moins au degré d'approximation des tables.
