Tout monôme entier est de la forme

CALCUL ALGÉBBIQUE. 33

U faut âlBtingaer dans ce monôme les lettres a, 6, c qui le coDstitaent, les exposants 3, s, i dont ces lettres sont affectées (la lettre c, qui n'a pas d'exposant , est censée affectée de l'exposant i ; et, en effet, la quantité e est la {ffemiëre puissance de c) et le multiplicateur 7 placé au commencement Ce multiplicateur pcxrte spécialem^t le nom de coefidenU il indique que la quantité a*b*e est répétée 7 fois.

Le monôme

qui n'a pas de coefficient, est censé avoir le coefficient 1 ; en effet, on a ici une fois la quantité a'bV.

32. On appelle degré d'un monôme entier par rapport à une lettre l'exposant de cette lettre ; degré par rapport à plusiem^ lettres la sonmie des exposants de ces lettres.

Ainsi le monôme

est du troisième degré par rapport à a, du second degré par rapport à 6, du premier degré par rapport à c. Il est du .cinquième degré par rapport aux deux lettres a et 6, du sixième degré par rapport aux trois lettres a, 6, c.

On appelle degré d'un polynôme par rapport à une lettre le degré du terme dans lequel cette lettre est affectée du plus fort exposant. Ainsi le polynôme

est du troisième degré par rapport à x.

Lorsque tous les termes d'un polynôme sont du même degré par rapport aux différentes lettres qu'il renferme, on dit qu'il est homogène. Ainsi le polynôme

sa liWè Î; — CMAP. I.

ëdt hoHtogèilB et A^ iMÊHm^ âëgté^ pure» qttë t9ëè fces tëmei» StiÂt dtt trbidièiiie éegtê ^9,t fiii$|lott aut deât ImceÊi 4 et ft t[iii tottéiit âAtië ce floljrâômë:

Vtk teMë ^ !Ëe è<[^àtiëtit J^s tirië lettfë eâi i^âf4é é^nine ttâtit dti aëgte ë p^ i%p{)ort à èéttë Mmk Ainsi }è p^ëtfiKâf^ tëmis ^tf'v ^ili ti« éetitiëtll pàè là Imtè h MrA dtt dëgrô b pat* l^à|!ipdn & 6i lé deiiâiër^ qM m tomi^t j^AI la lettre a, sera du degré o par rapport à a ; de <iette feÇSÔ) on peut dire que dans tous les termes la somjrflè êËê (ètposants égale 3.

33, Un polynôme indique une série d'additions et de sbilàtràctibhs à élfectiieh Àiïisi le fJbiyriémé

a -{- b — c + rf — ^ — f

indique qu'il faut ajouter la quàfatité a, puis la quantité 6, ensuite retrancher c» ajouter d, rétrancher e et encore /*.

Les termes affectés du signe + sont dits positifs; les termes affectés du signe — sont dits négatifs. Le terme a, qui, placé au commencement, n'a pas de signe, est positif, et doit être considéré conm^e affecté du signe +*

Il est évident que la série des opérations indiquées par un polynôme revient à ajouter ta somme des termes positifs et à retrancher la somme des termes négatifs.

Pour éclaircir ceci par un exempte^ supposons que le polynôme représente les opérations d'un négociant dans le courant de la journée, les termes positifs étant les recettes, les termes négatifs les dépenses. Au commencement de la journée, le négociant avait en caisse une certaine somme d'argent; iî a fait d* abord une recette a et une seconde recette b ; ptiiis il a payé fe ; après quoi il a reçu d, il

a payé e et encore /!• Il est évident qu'à \m &i de h jdutnte son avoir a été augmenté de la somme des recettes et diminué de la somme des dépenses.

Bm 16 "pët^mé hvtiùétitfxé

I? + 7 — «5 -f aç — 6 — 2.

LàsoÉiBii dm ^maeê potfitfft ast Sg^xelle des \mMS nâ4« gtttifii flg. n fiUit i^ottter 29 «1 rilraflehm- aS, m ipà tofient à qoutcr i6| Oieèt dt b pwiiàre sonae tar k gHiondgi Dans ce cas, la valeur du polynôme est positive^ M l'écrit +16.

Lorsque la somme des termes négatifs l'emporte sur celle daa termes positifs» le polyuOme n'en conserve paa n^oôns

uûQ signification trèsnaçtte, Soit le polynôme

Il faut ajouter 16, somme des termes positifs, et rètraticher 22, somme des termes négatifs; ce qui revient à retfanchei' 6^ excès de la seconde somme sqr la première. Dans ce cas, la valeur du polynôme est négative; on l'écrit — 6.

Deux polynômes, et en général deux expressions algébriques, sont égales^ lorsqu'eUes pnt la n\ème valeur affectée du m^e signe.

SA. Il résulte clèdrement de te qui précède que Yoti peut changer à volonté V ordre des tëriheê Ôtun polpi&mé. Car, quel que SOit l'ofdrê dcâ tëtofts, on à tonjotlrS fltialement la même somme à ajouter et la même somme à retrancher.

Ainsi les termes dû polynôme

peuvent être écrits dsunif tel ordre qu^on voudra, par exemple

S6 UTRE I. — GHAP. I.

dans Tordre suivant

Il n'y a aucun inconvénient à conunencer par un terme négatif. Pour revenir à notre comparaison, cela signifie que le négociant commence par payer e^ qu'il reçoit ensuite d, qu'il paye f, etc. Or rien n'empêche de supposer que le négociant a dans sa caisse, au commencement de la journée, une asMz grande somme d'argent pour effectuer les payements.

Termes semblables,

35. On dit que deux termes sont semblables lorsqu'ils sont composés des mêmes lettjres affectées des mêmes exposants, et qu'ils ne diffèrent que par les coefficients et les signes.

Soit le polynôme

Nous voyons d'abord les trois termes semblables

5a' — aa'-fa%

que l'on peut réduire et c^placer par le seul terme + 4 «'• En effet, la quantité a* doit être ajoutée 5 fois et encore 1 fois, c'est-à-dire 6 fois, et retranchée 2 fois, ce qui revient à l'ajouter 4 fois.

Nous trouvons ensuite les termes semblables

qui se détruisent. Car la quantité a*& doit être ajoutée 3 ibis et encore 1 fois, c'est-à-dire 4 fois, et retranchée 4 fois. Il reste les termes semblables

+ yab* — 8aA*— laa**,

CALCUL ALGÉBRIQUE. 87

qui se'rédoisent à — i5ab\ Car la quantité oft' doit être ajoutée 7 fois et retranchée 8 fois et encore 1 s fois, c'està-dire 20 fois, ce qui revient à la retrancher i5 fois. Ainsi le polynôme proposé s'écrit plus amplement

Dans la pratique, on opère trës^rapidement cette réduction des termes semblables. Soient les termes semblables

+ yab* — Soi*— laai';

disant abstraction de la quantité 06*, on ne considère que les coefficients et les signes

et l'on calcule la valeur — - 13 de ce polynôme numérique ; puis on écrit — i3a&* au résultat, et l'on barre les termes réduits.

Ordonner un polynùme.

36. Après avoir réduit les termes semblables, on a coutume d'ordonner le polynôme, soit par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre, soit par rapport aux puissances croiisantes, c'est-à-dire que l'on écrit les termes dans un ordre tel que les exposants de cette lettre aillent, sdt en diminuant, soit en augmentant.

Ainsi le polynôme

est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x. Ce même polynôme, écrit en ordre inverse,

— 6 + 5x — 4r* -j- 5ap%

sera ordonné par rapport aux puissances croissantes. Le

t^mQ -^%h q^ m o^ntleat pafi U lettri n^i §m^ regard^ comme ét^nt d^ ctogré o.

Quaii4 un pelyftôï»^ eoBtiwt dw ^Wftes dft tOUB l§fl degrés, â^ partir du d^é Ifl plu» ^«vé, oja dit qu'il »st cwipl^^ Le polynôme étant supposé ordonné par rapport aux puissances croissantes, la série des exposants commence à zéro, et d'élève jusqu'au dogré du piflyndme inolUfivipiBeiiti H y a ésàb aataai de tenaba qu'il f à d^ui^s dans te iogré plus un. Ainsi le polynôme précédent est un polynôme complet du troisième degré, et il renferme quatre termes.

Lorsqu'un polynôme, dontènant deux lettres, est hom^ gène, si on l'ordonne par rapport ôut puîssauces déci^oissantés de l'une d'elles, il sera en même temps ordonné par rapport aux puissances croissantes de l'autre ; car, la somme dés exposants des deUx lettres étant k même dâtts tous les termes, si les exposants de f une d'elles Vont en diminuant^ ceux de l'autre iront nécessairement en augmentant. Ainsi le polynôme homogène

qui a été ôf donné par rapport àujt pulssatlôéâ dèctoîssâàles de d, ^e trouve en même tempâ wdônUé pût rapport âuï puissances croissaUtes de 6.