CHAPITRE IV

231. Ordinairement les intérêts d'un capital prêté se payent chaque année et constituent une rente ; mais il arrive quelquefois qu'on laisse les intérêts s'ajouter au capital, de manière que le capital s'accroisse d'année en année : c'est là ce qu'on appelle capitaliser les intérêts, ou placer à in-térêts composés.

On a appelé taux de l'intérêt ce que rapportent loo francs dans un an ; mais, dans le calcul des intérêts composés, il est plus commode de prendre pour taux l'intérêt de un franc en un an, intérêt que, pour abréger, nous désignerons par la lettre r. Ainsi, placera 5 pour loo, c'est la même chose que placer à o,o5 pour i ; dans ce cas r = o,o5 ; placer à 4,5o pour 100, c'est la même chose que placer à o,o45 pour 1 ; dans ce cas, r = o,o45.

232. Le capital un franc, augmenté de son intérêt, vaut, après une année, i + r; un capital 2460 francs vaudra 2460 fois plus, c'est-à-dire (1 +r) X 2460 ou 2460 (1 + r). En général, si Ton représente par a un capital quelconque, sa valeur au bout d'un an, par l'addition des intérêts, sera a (1 + r). Ainsi, on obtient la valeur (ïun capital après une année en multipliant ce capital par C unité augmentée de V intérêt de un franc.

Par exemple, le capital 2460 francs placé à 5 pour 100 vaut au bout d'un an 2460 x i,o5 =2 583.

Je suppose maintenant que le capital a soit placé pendant n années. Après une année ce capital devient a{i-{-r); tel est le capital dû à la fin de la première année et qui produit intérêt pendant la seconde année. Pour savoir ce que devient ce capital a(i + r) par l'addition des intérêts de la seconde année, il faut le multiplier par i -{-r^ ce qui fait a(i +r) (i +^) ou a{i +^)*; tel est le capital dû à la fin de la seconde année, et qui produit intérêt pendant la troisième année. Pour savoir ce que devient ce capital a(i + *♦ par l'addition des intérêts de la troisième année, il faut le multiplier par i -f-r, ce qui fait a(i -|-r)' (i +r) ou a(i +r)'; tel est le capital dû à la fin de la troisième année, et qui produit intérêt pendant la quatrième année. Le même raisonnement peut être continué indéfiniment ; et comme chaque année nouvelle introduit un nouveau facteur i +r, la valeur du capital, après n années, sera a(i+0*** Ainsi, on obtient la valeur d'un capital^ placé à intérêts composés^ après un certain nombre d'années, en multipliant ce capital par la valeur d'un franc après un an, élevée à une puissance marquée par le nombre des années.

Si donc l'on désigne par A la valeur du capital après n années, on a la formule générale

tettfe formulé établit une relation entf e les quatre tfuwfitîiés représentées par a, A, ri, r, relation qiii détermine Tune quelconque d'entre elles, quand on connaît lès trois autres. On peut donc, à l'aide de cette relation, résoudre les quatre questions suitantesi

233. Problème I. Quelle est la valeur d'un capital placé à intérêts composés, et au taux r, après n années?

C'est la question traitée précédemment : on calculera A par logarithmes.

Exemple. Trouver la valeur du capital i254o francs, placé à intérêts composée^ à 5 pouf loo, après 7 aifâ.

Je suppose dans tout ce qui suit que Ton opère avec les tables de Callet.

log 12540. .......= 4>o982975

logi^o5 = 0,0211895 7 logi^o5 = o,i48525i

logA = 4,2466226 A = 17645,04.

23ili. Problème IL Quel est le capital quû placé à intérêts composés^ au taux r, acquiert après n années une valeur A? Là formule précédente donne

Exemple. Quel est le capital qui, placé à intérêts composés à 4>75 pour 100, vaut 24600 franoe, après 12 années?

log 24600 = 4^^909551

log 1,0475 == 0,6201540 i2logi,o475. i i = 0,2418480

logâ = 4,1490871

235. Problème III. A quel taux faut-il placer un capital b.^ à intérêts composés ^ pour qu après n années il acquière une valeur A?

L'inconnue ici est r ; de la formule fondamentale on déduit

On calculera de cette idfianière la quantité i +r; retranchant 1 du résultat, on aura r.

Exemple. A quel taux faut-il placer le capital 14095,70 pour qu'après 12 années il vaille 24600 francs?

log 24600 = 4>39<>955i

log 14095,70 = 4,1490867

log A — loga = 0,2418484 log(i + r) = 0,0201540

Il faut placer le capital à 4,75 pour 100.

236. Problême IV. Pendant combien d'années faut-il placer un capital a, au taux r, à intérêts composés^ pour quUl acquière une valeur A?

L'inconnue est n ; de la formule fondamentale on déduit

et, en prenant les logS,rithmes,

nlog(i + r) = log A — loga-, d'où

log A — loga

iog(i+r)

237. Remarque. La formule des intérêts composés a été établie dans l'hypothèse où le capital reste placé pendant un nombre entier d'années. Lorsque le capital reste placé pendant un certain nombre d'années, plus une fraction d'année, on cherche d'abord sa valeur après le nombre entier d'années par la formule des intérêts composés, puis on calcule les intérêts simples de ce nouveau capital pendant la fraction d'années.

Mais il sera plus simple d'appliquer la formule ordinaire

dans laquelle on donnera à n des valeurs fractionnaires ; la différence des résultats est négligeable.

Exemple I. Quelle est la valeur du capital i25io francs, placé à intérêts composés à 5 pour i oo, après 7 ans 8 mois ?

Après 7 ans, le capital devient 17645,04; ce nouveau capital rapporte 588, 1 7 en 8 mois : donc après 7 ans 8 mois, le capital devient 18233,20.

En donnant à n la valeur fractionnaire 7 + -nr» on trouve 18228,40; la différence est 4>8o; c'est une quantité relativement très-petite; elle est plus petite que le ~^ de la grandeur cherchée.

Exemple II. Pendant combien d'années faut-il placer un capital à intérêts composés à 5 pour 100, pour qu'il acquière une valeur double ?

Comme la grandeur du capital n'a aucune influence dans la question, je suppose qu'il s'agisse du capital 1000 francs.

logi,o5'

logd = 0^3010300 logi,o5 = 0,021 i8g3

logo,3oio3 = 1,4786098 log 0,021 1893 = 3^3261167

logn = 1,1524931 n = 14^207.

Après i4 années le capital n'est pas encore doublé; après 1 5 années il est plus que doublé. Après 1 4 années, le capital 1000 francs devient 1979,93; si l'on cherche dans combien de jours le capital 1979,93 produira ce qui manque pour que le capital primitif soit doublé, c'est-àrdire 20,07, on trouve 74 jours. Ainsi à 5 pour 100, le capital est doublé en i4 ans 74 jours.

Si l'on prend la valeur fractionnaire n = i4»207 donnée parle calcul, on trouve i4 ans 75 jours. La différence n'est que d'un jour.

Exemple IIL A quel taux faut-il placer un capital de 12000 francs à intérêts composés, pour qu'il acquière une valeur de 18000 francs après 9 ans 5 mois?

Dans la formule des intérêts composés, on donnera à n la vatear fractionnaire 9 + iV' H serait très-difficile dé résétodre autrement la question.

238. Problème V. On a deux billets, Fun d'une somme a payable dans 1 an ; l'autre d'une somme b payable dans 5 ans, et on veut les convertir en un seul payable dans 3 ans.

Cherchons la valeur de chacun des deux billets dans 3 ans à l'échéance du troisième billet. A cette époque, 2 ans après son échéance, le premier billet vaudra

à cette même époque, 2 ans avant son échéance, le second billet vaut

Si l'on appelle x la somme qui doit être inscrite sur le troisième billet, c'est-à-dire la somme à toucher dans 3 ans, on aura

239. Problème VI. La population d*un État est de 4o militons dliabitants^ elle s'accroît chaque année de -^-^ de sa valeur ; on demande quelle sera la population de cet État dans un siècle.

J'appelle P la population après un certmn nombre d'années ; l'année suivante elle sera

3oo \ 5oo/ "" 3oo*

Ainsi la population croît année par année, comme les termes d'une progression géométrique dont le premier terme est 4o millions et la raison f~. On demande le loi" terme de la progression : en désignant par x ce terme, on a

240. Problême VII. Zes populations de deux États sont^ Vunelde 20 millions d'habitants^ Vautre de 3o millions : la première s'accroît chaque année de jf^, la seconde de j^. Dans combien de temps les deux populations seront^elles égales?

J'appelle n le nombre d'années cherché; après ce nombre d'années, les deux populations étant égales, on aura

d'où

/20l\* ^ /5oi\*

20000000 X I — } = 30000000 X Ir — } '

/201 X 3oo\** 3 \200 X 3oi/ "" 2'

si l'on prend les logarithmes, il vient

n (Iog6o3 — log6o2) = log 3 — log 2 .

log3 — log2 ^

log6o3 —r log 60 2'

QUESTIONS d'annuités.

241. Problême VIII. Une personne place chaque année une somme a pendant n annéei^ et laisse les capitaux et les intérêts s^accumuler. On demande quelle sera la valeur totale de tous ces placements après ces n années?

La premier versement, étant placé pendant n années, acquiert une valeur égale à a(i +r)**; le second, étant placé pendant n — i années, acquiert une valeur égale à a(i +r)"''*, etc. ; enfin le dernier, ne restant placé que pendant un an, vaut a(i -f 0* La valeur totale après les n années est donc

c'est la somme des termes d'une progression géométrique dont la raison est i + r ; on a ainsi, en désignant par A la somme cherchée,

Il est impossible de soumettre directement cette formule au calcul logarithmique ; on est obligé de fadre deux calculs séparés. On calculera d'abord la quantité (i + r)**, puis A.

Exemple. On place chaque année looo francs pendant 20 ans à 5 pour loo.

Caloul de IJK?^

logi)05 == 0,02118930 2ologi,o5 = 0,4337860 i,o5" = 2,6533

Caloul de A.

log 1,6533 — o,2i835i7

logA = 4^^405710 A = 347i9',5o

2i2. Problème IX. Une personne emprunte actuellement une somme A, et voudrait se libérer en n années par n paye-