ADDITION
La partie mise entre parenthèses est native : mais ceci n'offi^ aucun inconvénient, puisqu'en effectuant l'addition d'après la règle énoncée, on reproduit le polynôme proposé. Remplaçons maintenant le polynôme entre parenthèses par sa valeur — 5 ; il s'agit d'ajouta: — 5 ; pour cela nous écrirons — 5, ce gui donne
Et, en effet, dans le polynôme proposé, la partie
mise entre parenthèses , signifie qu'il faut ajouter 8 et re* trancher i3, c'est-à-dire retrancher 5.
' AO. D'après cette manière de voir, l'addi^'oti algéftrigue ne comporte plus nécessairement l'idée d'augmentatio». Si l'on ajoute une quantité positive, il y a effectivement augmentation ; mais si l'on ajoute une quantité négative, il y a au contraire diminution. Ajouter — 5, c'est en réalité retrancher 5.
Il résulte de là que l'on peut considérer un polynôme comme étant la %Qmmt algébrique de tous ses termes, puisque l'addition consiste à les écrire les uns à la suite des autres, chacun avec son signe. Cette manière d'envisager les polynômes est très-utile dans les applications.
Soustraction.
Al* La soustraction est l'opération iaverse de Tadditioii. D'une quantité en retrancher une autfe, c'est en trouver une troisième telle qu'en y ajoutant la seconde on reproduise la première.
Supposons que du polynôme
Je diô qu'on £)btieïidra le résultat demandé en écrivant à la suite du premier polynôme tous leâ termes du second, chacun avec un signe contraire, ce qui donne
En effet, si à ce troisième polynôme, nous ajoutons le second, nous avons
ou, siKuplcMnent ,
m Jretùarquant qu8 les ternes «— d et + d ae détruisent, de ijàémfi que ieç termes -^t^t^-^ê^ ete. C'est précisément le pr^iaier polyuôHie* Ainsi :
JtÈSLté Pouf feurwdav d'un pol^ntmê «m atM^ poiff* fiAtnd^ w^ éerU à la mite du premier BmceaivmMnt toui le$ termes du second^ en changeant le signe de chacun d^tux.
Exzm^iEé Du polynôme
rptrawcbpr Iç pojynôme
d' r- 7e'A + aeé* t^ 6**.
Écrivons à la suite du premier polynôme tous les termes du second, en changeant les signes, nous aurons
et, en réduisant les termes semblables,
42. Remarque. On peut grouper, dans une parenthèse, précédée du signe — , pUisj^eurs termes d'un polynôme, en
fl09ITEACT|0ir» M
Par exemple, le polynômQ peut être écrit 30u^ 1^ form^
En effet, IjE^ parenthèse, précédée dp signe — , indicjue 1^ soustraction d'un polynôme; or, si I'oq effectué cette ibou;^ traction d'après la règle érioncée, on reproduit évidemment te pDiyhôiûe j^roposé.
Il n'y A pad i s'inquiéter âê iàimit êi« peUEoi les lermea mid efitré pamithèdes^ la somdiè éés termes positife est plus gi^ande ou plus petite que la somme ded ttàhneé nége^ û&\ eàr la règle de l'adcUtion ayant été établie d'une ma« aSère généi*ale, telle de la SôustraétiioU) Qui s'en dédtdt, û le même degré de généralité ; elle est Vmie daas tims les càs^ que k vâlem* dû pdyhôme sèit p^itive m négative, ^'il ëèmprenne un seul tc^me ou plusieurs. Aiosi, retran-^ ehe!^ Une ({uàutité ciflbetéd d^uû ce)»tÀin i^gn^^ ^est Téerife avec un signe contraire.
Soit, par exemple, le polynôme
Si nous mettons dans une parenthèse, précédée éà signe — , les quatre derniers termes, en changeant leurs signes, nous écrirons ce polynôme sous la forme
La partie mise entre parenthèses est négative, mais ceci n'offi^L aucun inconvénient , puisqu'en effectuant la soustraction d'après la règle énoncée, on reproduit le polynôme proposé. Si nous remplaçons le polynôme entre parenthèses
Al LITRE h — CHAP. U.
parsa valeur -<— 7, nous avons à retrancher— -7, cequi se fait en changeant le signe de cette quantité, c'est-à-dire en écrivant + 7 ; nous aurons donc
Et, en effet, dans le polynôme proposé, la partie
mise entre parenthèses, signifie qu'il faut ajouta: 17 et re* trancher lo, c'est-à-dire ajouter 7.
A3, De même que l'addition algébrique ne comporte plus nécessairement l'idée d'augmentation, la somtraction algébrique ne comporte plus nécessairement l'idée de diminution. Si Ton retranche une quantité positive, il 7 a effectivement diminution ; mais si Ton retranche une quantité négative, il y a au contraire augmentation. Retrancher — 7, c'est &», réalité ajouter 7.
En résumé, si l'on considère les quantités comme affectées des signes + ou — , l'addition consiste à les écrire avec leurs signes, la soustraction à les écrire avec des signes contraires.
CHAPITEE III.
MUITIPLICATION.
Je rappelle d'abord quelques principes qui nous seront utiles. On sait que, dans un produit de plusieurs facteurs, on peut change^ Tordre des facteurs et les grouper à volonté sans changer la valeur du produit. On sait aussi que multiplier une quantité par un produit de plusieiu^ facteurs revient à multiplier cette quantité successivement par chacun àes facteurs. Ces principes ont été démontrés en arithmétique pour des nombres quelconques, entiers ou ifractîonnaires ; on peut donc les appliquer en algèbre, où les lettres représentent des nombres quelconques.
Multiplication de deux puissances Sun même nombre.
44. Soit à multiplier a** par a*. Multiplier par a* revient à multiplier successivement par n facteurs égaux à a, puisque a"" désigne le produit de n facteurs égaux à a; d'autre part, a** désigne le produit de m facteurs égaux à a; on a donc le produit de m + n facteurs égaux à a, ce qu'on écrit a****. Ainsi,
Par exemple,
a''Xa* = a\
Règle. On multiplie des puissances d^un mime nombre en ajoutant les exposants. ^
Une lettre qui n'a pas d'exposant est censée affectée de l'exposant i. Ainsi,
46 UVRE I. — CHAP. m.
Multiplication de deux monômes entiers.
45. Soit à faire le précltiit dèi* Éàohômes 4«'6'c*d et 3a'6c'e*. Chacun de ces monômes ejxprime un produit de plusieurs facteurs ; pour multiplier le premier produit par le Second, il suffit de le multiplier successivement par chacun des facteurs du second, ce qui donnç pour le produit demandé
^ Vqu groupe les facteurs de h, manière svnvant^
et si l'on effectue les produits indiqués dans les pweo'thèseSf on a ^
ce qui s'écrit plus siiâpletnmlt
Ainsi
4a»6 Vd X Za^çY == 1 2a*è'c W,
Rfi&LEé PdUf mUtipliÉt deudù tnèH(mëS ëniiën, un mUhi^ plie lèê cbëffkiéhts^ en ajmte feâ èâèposdnt^ des mêfrtês tBittes^ et Von écfit ^veis lêuH eéiÊpoèuntë tés letmi afférentes.
Multiplication d'un polynôme par un monôme.
&6. La valeur d'un monôme étant un nombf@$ eStiëf ou fractionnaire, il s'agit de multiplier un polynôme par un nombi^ quelemque.
1* Proposons-nous d'abord de multiplier mi poIynAaie
a — i-j^ c — d par un nombre entier m. H faut répéter le polynôme m fois,
MtLTli^UGÂlIÔIf. h1
c'est-à-dire additionner m polynômes égaux au polynôme multiplicande. .Or, si Ton fait cette addition, on voit (jue chaque terme du multiplicande sera répété m fois avec son signe ; en réduisanti on aura dodC
ma — mb -{■ me — md.
Chaque terme du multiplicande sera donc multiplié séparément par le nombre entier, i* 96it ttiaînteiiàilt à diviser lé J)0lyii6me
par un nombre entier n. Il faui trouver im polynôme qui, multiplié par n, reproduise le polynôme dividende. Le quotient cherché sera
car, A Ton multiplie ce pol^ôme par n, ce que Ton fait eo multipliant chaque terme séparément par n, comme nous lavons vu, on reproduit le polynôme proposé.
5* U est aisé maintenant de multiplier le polynôme
par im nombre fractionnaire — . Multiplier par une fraction — ,
c'est répéta* m fois là n" pËtrtie du multipUcande ; en d'autres
tdmes, t'tet divisa le multiplicande par n et multiplia le
résultat par m«
Divisons d'aberd lé mtdtiplicande par le nembre eaiier n^
nous avons
f^ta miIltipliBr ce résultat pi»* le nombre entier m, il saffil de ttiilti]^Qr ^que teroie par m, ee qui donne
hS UYRE U — CHAP. m.
ou
m m , , m wi .
— û — ^ÔH — c-^^d.
Mais le multiplicateur — est un nombre quelconque que noius pouvons représenter par la lettre e^ et nous avons alors
Règle. Ainsi, on multiplie un polynôme par un nombre quelconque^ en multipliant chaque terme séparément par ce nombre^ et donnant à chaque terme du produit le signe du terme correspondant du multiplicande.
Multiplication d'un polynôme par un polynôme.
A7. Il est évident que le produit d'une quantité quelconque par la somme de plusieurs nombres est égal à la somme des produits de cette quantité par chacun d'eux. Par exemple, 8 fois une quantité égale 5 fois cette quantité, plus 3 fois oette même quantité. Si donc le polynôme multiplicateur a tous ses termes positifs, il suffira de multiplier le multiplicande par chacun d'eux séparément et d'ajouter les résultats.
Il est évident aussi que le produit d'une quantité quelconque par la différence de deux nombres est égal à la différence des produits de cette quantité par chacun d'eux. Par exemple, 5 fois une quantité égale 8 fois cette quantité, moins 3 fois cette même quantité. Supposons maintenant que le polynôme multiplicateur dît des termes poa[ti& et des termes négatifs, et que la somme des termes positifs l'emporte sur la somme des termes négatifs ; la valeur du polynôme multiplicateur est l'excès de la première somme sur la seconde ; le produit du multiplicande par cette différence égale donc la différence des produits obtenus en mnl-
MULUPUCATIOIf. à9
tipliant le multiplicande par chacune de ces deux sommes» Ced revient à multiplier le multiplicande par chacun des termes du multiplicateur, à ajouter les produits partiels fournis par les termes positifs du multiplicateur et à retrancher les produits partiels fournis par les termes néga-tifs. Ainsi,
Règle. Pour muUipKer un polynOme par un polynôme^ on multiplie tous les termes du multiplicande successivement par chacun des termes du multiplicateur; on écrit avec leurs signes les produits partiels fournis par les termes positifs du muUiplkateur^ et avec des signes contraires les produits fournis par les termes négatifs.
Règle des signes*
&8. Soit à multij^er le polynôme
a — 6-j- ^ — ^ par le polynôme
Le produit demandé sera
^(ae — be + ce— de) — {flf-^bf^ cf^ df) + (ag— bg + cg— dg) — {ah — *A + ch—dh),
ou, en effectuant les additions et les soustractions indiquées
par les parenthèses,
ae — be -{-ce — de -af+bf-cf+df + ag—bg'\'cg—dg — aA+ bh — cA+dA.
On voit que le produit des deux polynômes renferme le produit de chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur.
Oa reconnaît aussi qu't«n terme du produit a le signe +
60 LIYHS I. — CHA^. III.
iil provient de iea» termn de 'même iignê^ 1ê êigne -^ s'il provient de deux terméè dé êignei contraires. Par ètémple, le terme eg i qui provient de deux termes positifs , & le signé + ; et cte même le terme bf, qui provient de deux termes négatifs ; au contraire, les termes bg et ef^ qui pro^ viennent de deux termes, l'un positif, l'autre ûégâtif, sont affectée du signe ^-«»
11 est facile de se rendre compte de cette Id^ eonnttè sous le nom de règle des signes, si l'on observe qué^ dans les parenthèses, les signes sont ceux des termes du multi'plicande et que chacune d'elles est affectée du signe du terme correspondant du multiplicateur. Un terme positif» multiplié par un terme positif, donné un terme positif dans la parenthèse; comme la parenthèse est précédée ellemême du signe +, ce terme aura finalement le signe +. Un terme négatif, multiplié par un t^me négatif, donne un terme négatif dans la parenthèse; comme la parenthèse est prédédée elle-même du signe — , ce t^me, changeant de signe, aura finalement le signe +, etc.
Dans la pratique, on ordonne les deux polynômes par rapport aux puissances décroissantes ou par rapport aux puissances croissantes d'une même lettre (n* 36); on multiplie tous les termes du multiplicande successivement pur chacun des termes du multiplicateur^ en allant de gauche à droite, et l'on écrit les produits partiels par lignes horizontales, de manière que les termes semblables se trouvent placés les uns aU-dessous des autres, puis on fait la réduction que cette disposition facilite beaucoup.
Eooemples.
49* ExEMFiB h Multiplia le polynâme
