CHAPITRE II

114. Définition. — On dit qu'une fonction d'une variable x est continue y pour x = a, si :

1° Elle >a une valeur bien déterminée pour x = a ;

2° Elle a pour limite, lorsque ar tend vers a, précisément la valeur qu'elle prend pour x = a.

Par exemple, la fonction >Jx est une fonction continue de x, pour toute

valeur positive a de x; car, pour x = «, elle a une valeur bien déterminée \'a

•et, lorsque x tend vers a, v'.ra pour limite v;<* ("° IH, TA. VI), qui est précisément la valeur qu'elle prend pour x = a.

Tous les théorèmes sur les limites, que nous avons établis au n° 1 i 1 , ont leur correspondant dans les fonctions continues. Nous ferons seulement la démonstration pour le premier théorème, et nous nous contenterons d'énoncer les autres dont les démonstrations sont identiques.

Théorème I. — La somme algébrique de plusieurs fonctions continues est une fonction continue.

Soient, en effet, y, z, t,u quatre fonctions continues de la variable x, pour a? = a. Soient b, c, d, e les valeurs que prennent ces fonctions pour x = a. Dire qu'elles sont continues, pour x = a, c'est dire que, lorsque x tend vers a, ?/, z, / et u ont, respectivement, pour limites by c, rf et e. Or, pour x = a, la somme y + z + ' + u prend la valeur b-\-c-\-d-\-e, et, d'après le théorème I du n° 111, y + z-f- f-f-t* a pour limite £-|-"c -h^ + <? qui est la somme des limites de chacun des termes. Donc y-J-z+* + l/ est une fonction continue de x, pour x = a.

Théorème II. — Le produit de plusieurs fondions continues de x, pour x = a, est une fonction continue de x, pour x = a.

(Voir le Théorème III, du n° 111).

Corollaire. — Toute puissance entière et positive d'une fonction continue est elle-même une fonction continue.

Application I. — Tout polynôme entier eu x est une fonction continue de x, pour toute valeur de x.

En effet, tout polynôme entier en x est une somme de termes de

la forme \xp. Chacun de ces termes est une fonction continue, car c'est une puissance d'une fonction continue. Le polynôme est donc une fonction continue, comme étant la somme de plusieurs fonctions continues.

Théorème III. — Le quotient de deux fonctions continues de x, pour x = a, est une fonction continue de x, pour x = a, pourvu que, pour cette valeur, le dénominateur ne soit pas nul.

Car, la limite du dénominateur étant différente de zéroT on peut appliquer le théorème V du n° 111.

Théorème IV. — La racine carrée d'une fonction continue de x, pour x = a, est une fonction continue de x, pour x = a.

On applique le théorème VI du n° 111.

Application II. — Toute fraction rationnelle en x est une fonction continue de x, pour toute valeur de la variable qui n annule pas le dénominateur.

Car une fraction rationnelle, étant le quotient de deux polynômes entiers en x, est le quotient de deux fonctions continues.

Donc, d'après le théorème III, c'est une fonction continue de x, pour toute valeur de x qui n'annule pas le dénominateur.

Application III. — La racine carrée oTun polynôme entier en x est une fonction continue de x, pour toute valeur de la variable qui rend la quantité sous le radical positive.

Cette proposition est une application directe du théorème IV.

Exemples. — Les fonctions suivantes :

ô . . , «#2 4- hx 4- c / — » , . — ■ —

ax* + bx + c, , , . . — ■ — r, Vax* + bx "f c»

\lx* + 1 — \/*' ~ i x* — 3

sont continues, sauf pour les valeurs qui annulent les dénominateurs ou qui rendent les expressions sous les radicaux négatives.

115. Définitions. — Lorsqu'une quantité variable passe d'une valeur à une autre, on dit qu'elle a subi un accroissement égal à l'excès de la valeur finale sur la valeur initiale. Ainsi, si la variable x passe de la valeur a à la valeur a', on dit qu'elle a reçu l'accroissement a — a. Soit Z», l'accroissement, on aura, par définition,

a! — a = h ou

La valeur finale est égale à la valeur initiale augmentée de l'accroissement.

Soit y une fonction de la variable x et soient b et V les deux valeurs de y, lorsqu'on donne à x, respectivement, les valeurs a et a\ La variable x ayant reçu l'accroissement a! — a, la fonction y aura subi l'accroissement b' — b qu'on appelle V accroissement de la fonction correspondant à V accroissement a' — a de la variable.

Remarquons, de suite, qu'un accroissement peut être positif ou négatif.

Exemples. — Considérons la fonction :

Pour #=3, on a y= — 4;

pour x = 2,5, on a y = — 4,25.

L'accroissement de la variable, lorsqu'elle passe de la valeur 3 À la valeur 2,5, est :

et l'accroissement correspondant de la fonction est :

Considérons encore la fonction :

y *zx*+ i.

Donnons à x la valeur i , on a :

Donnons à x l'accroissement 2 : la nouvelle valeur de x sera 4' + 2 =3 et la valeur correspondante de la fonction sera y = 28. L'accroissement de la fonction, correspondant à l'accroisse ment 2 de la variable, est donc

Soit le trinôme du second degré :

y = ax* + bx + c.

Donnons à x un accroissement A et désignons par k l'accroissement correspondant de la fonction. La nouvelle valeur de la variable esta; + A, la valeur correspondante de la fonction est y + k et on a :

y -[- k -j= a (x+ A)8 + 6 {x + A) -f- c. Par suite,

k = y + k — y == a (x + A)8 -f- 6 (x •+- A) -f c — «a;8 — te — c,

ou

ft = A (2fl.r + 6 -f- «A).

Théorème. — ikz condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction de la variable x soit continue, pour x =a, est que, si on donne à la variable x un accroissement h, à partir de la valeur a, V accroissement, correspondant , k d<? la fonction tende vers zéro en même temps que h.

Cette proposition est une conséquence directe de la définition de la continuité (n° 114). En effet, soit b la valeur de la fonction y, pour x = a. Dire que la fonction est continue, c'est dire que y a pour limite b quand x tend vers a et, par conséquent, que y — b, c'està-dire k, tend vers zéro, quand x — a, c'est-à-dire A, tend vers zéro. D'ailleurs, réciproquement, si A*=i/ — étend vers zéro en même temps que A = x — a, y a pour limite b quand x tend vers a et la fonction est continue.

L'énoncé de ce théorème peut donc servir de définition de la continuité, définition qui, au fond, ne diffère pas de celle que nous avons donnée en premier lieu.

Cette nouvelle manière d'envisager la continuité nous montre mieux comment une fonction continue se comporte. Puisque k tend vers zéro en même temps que A, on peut prendre A assez petit pour que k soit aussi petit qu'on le voudra, en valeur absolue. En d'autres termes, lorsqu'une fonction est continue, pour x = a, on peut faire

varier .r, à partir de «, assez peu pour que la fonction ait varié d'aussi peu qu'on le voudra. Une fonction continue varie donc par degrés insensibles et ne peut pas sauter brusquement d'une valeur à une autre.

Une fonction peut être discontinue, pour une certaine valeur de la variable, ou bien parce qu'elle n'a pas une valeur bien déterminée, pour cette valeur de la variable, ou bien parce que, pour cette valeur, elle passe brusquement d'une valeur à une autre.

Exemples. — La fonction - est continue pour toutes les valeurs de *r,

saut' pour x — 0. Pour cette valeur elle est discontinue, car elle n'a pas une valeur bien déterminée. Quand x passe, en croissant, par la valeur zéro,

-, d'abord infiniment grand et négatif, devient, ensuite, infiniment grand et positif; on dit que, quand x passe par la valeur zéro, - passe brusquement de — oo à 4- oo, pour.indiquer que - est d'abord négatif et ensuite

positif.

Voici encore un exemple intéressant de fonction présentant des discontinuités : Désignons par y la partie entière de ,r. y est évidemment une fonction de .r, puisqu'à chaque valeur de x correspond une valeur pour y. Faisons croître x à partir de zéro. Quand x croit de 0 à 1, sa partie entière est 0, on a donc, sans cesse, y = 0; x continuant à croître de I à 2, sa partie entière est i et on a y = 1 ; quand x est compris entre 2 et 3, onay = 2, etc.

On voit que quand .r passe par la valeur i, la valeur de y saute brusquement de 0 à- \ ; quand x passe par la valeur 2, la valeur de y saute de 1 a 2, etc.. D'une manière générale, chaque fois que x passe par une valeur entière, y subit un accroissement brusque d'une unité. Cette fonction y est donc discontinue pour toute valeur entière de la variable x.

La courbe représentative d'une fonction continue se compose d'un trait continu qu'on peut tracer sans lever la main. Au contraire, pour une valeur de x pour laquelle la fonction est discontinue, il faudra arrêter le trait, lever la main et reprendre le trait plus loin.

Exemples. — Tout polynôme étant une fonction continue, le binôme ax + b et le trinôme ax* + bx + c sont des fonctions continues. Leurs courbes représentatives sont des courbes formées d'un seul trait continu. Car, comme nous Pavons vu, la courbe représentative de la variation de ax -f- b est une droite indéfinie (n0i 68 à 70) et la courbe représentative de la variation du trinôme ax* + bx 4- c est une parabole (n° 98).

La courbe représentative de la fonction

est une hyperbole, admettant l'axe des y comme asymptote (fig. 35).

le

Fio. 33.

Lorsque x croit de — oo à 0, on a une branche de courbe AB, qu'on peut

tracer d'un Irait continu, qui part

asymptote à ox pour descendre

asymptote à oy. Pour x = 0, il

faut lever la main et, x variant

de 0 à 4- °°, on a une seconde

branche de courbe CD qui part

asymptote à oy, en haut, et

descend pour devenir asymptote

a ox (').

La courbe représentative de la fonction y de a\ où y désigne la partie entière de x, se compose d'une suite de portions de droites parallèles à ox [fig. 36). x variant de 0ài,onay-=0;ce qui donne une portion OA de l'axe des ,r.

x variant de 1 à 2, on a y = I ; on a, alors, une portion BC d'une parallèle à ox. x variant de 2 à 3, on a une portion DE d'une autre parallèle à ox, etc.. La courbe représen-

te. 36.

(I) Nous définirons plus loin, exactement, ce qu'il faut entendre par « branche de courbe asymptote à une droite ». On peut dire, en gros, qu'une branche de courbe infinie est asymptote à une droite quand elle se rapproche indéfiniment de cette droite sans jamais l'atteindre.

tative de la variation de cette fonction se compose donc des portions de droites OA, BC, DE, etc.,.. Pour x = i, 2, 3..., Ja plume, qui trace la courbe, doit sauter de A en B, de G en D, de E en F, etc..

Lorsqu'une fonction est continue, pour toutes les valeurs de la variable comprises dans une intervalle, on conçoit que, comme elle ne peut varier que par degrés insensibles, elle ne puisse passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Ainsi, si une fonction prend, pour x = 1, la valeur 2 et, pour x = 3, la valeur 5, si, de plus, elle est continue, pour toutes les valeurs de x comprises entre 1 et 3, il y aura, certainement, au moins une valeur de jp, comprise entre 1 et 3, pour laquelle la fonction prendra, par exemple, la valeur 4 comprise entre 2 et 5.

Une fonction continue ne peut changer de signe qu'en s'annulant, car elle ne peut passer d'une valeur positive à une valeur négative sans passer par la valeur intermédiaire zéro.

Au contraire, une fonction qui présente des discontinuités peut passer d'une valeur à une autre sans passer par les valeurs intermédiaires. Ainsi,

la fonction - passe du négatif au positif sans s'annuler, mais en devenant

infiniment grande (pour x = 0, qui est une valeur de discontinuité), la fonction y, qui est la partie entière de #, passe brusquement d'une valeur entière à la suivante sans passer par aucune des valeurs intermédiaires.

EXERCICES