OO

symboles abréviatifs: ©o — oo, ©o x 0, ?: et — .

Nous ne saurions trop insister pour que le lecteur ne donne pas à ces symboles d'autre signification que celle que nous leur avons donnée.

Ces symboles n'ont aucune signification numérique et ne servent que pour indiquer, d'une façon très brève, un fait qu'il serait long d'énoncer correctement.

En généra], et dans la majorité des cas, les indéterminations se ramènent les unes aux autres. Par des transformations simples, on remplace une expression par une expression équivalente ayant une indétermination qu'on sait lever. Nous allons, dans le paragraphe suivant, en donner des exemples.

113. Application I. — Tout polynôme, entier en x, qui n'a pas de terme constant tend vers zéro en même temps que x.

En effet, le polynôme n'ayant pas de terme constant, tous ses termes ont pour limite zéro, il en est donc de môme du polynôme, d'après le théorème I (n° 11 1). De là on conclut, en appliquant la définition de

3?* ÀLGÊBHE ELEMENTAIRE.

la limite, que, si le polynôme P (x) s'annule pour x = 0, on peut déterminer un nombre positif a tel que, pour toutes les valeurs de s plus petites que a, en valeur absolue, on ait

e étant un nombre positif donné à l'avance.

Application II. — Tout polynôme, entier en x, croit indéfiniment en même temps que x et, pour des valeurs suffisamment grandes de x, il est du signe de son terme de degré le plus élevé.

Soit, par exemple, le polynôme

P (x) = ax*+ bx* + ex2 + dx + f, mettons #* en facteur, nous aurons

pW«4(«+; + j? + ? + Ô-

Lorsque x croît indéfiniment, chacun des termes entre parenthèses (Th. IV y n° 112) tend vers zéro, sauf le premier. La quanlité entre parenthèses a donc une limite a différente de zéro; le premier facteur croit indéfiniment: le produit P (a?) croît indéfiniment (77*.//, n° 112). De plus, comme la quantité entre parenthèses a pour limite a, on peut prendre x assez grand pour que cette quantité diffère de sa limite d'aussi peu qu'on le voudra et, par suite, soit du signe de a. Pour ces valeurs de x, P (x) sera, alors, du signe de son terme de degré le plus élevé ax*.

Il résulte immédiatement de ce qui précède que, si Ton donne un polynôme P :

P — axm -\- bxm ~" -f- ■ • • •> on peut le mettre sous la forme :

P =-. axm {l + t),

e ayant pour limite zéro lorsque x grandit indéfiniment.

Application III. — Trouver la vraie valeur d'une fraction rationnelle en x, quand x croît indéfiniment.

Une fraction rationnelle en x étant le quotient de deux polynômes

entiers en x, se présente sous la forme indéterminée — , lorsque x

croit indéfiniment.

Considérons la fraction - où l'on a :

Là

P = axm + bxm' + ••• i L = «'a?" + b'x1"1 +

Nous avons vu que Ton peut écrire

P = axm (1 4-c), L = a'xn (1 4- ■'),

e, e' tendant vers zéro lorsque x croît indéfiniment. On a donc

^ a a? * -r e ex

1 4- 6 Puisque — - — , a pour limite 1, il en est de même de 1 4~ e", et

Ton peut dire que e" tend vers zéro, lorsque x croît indéfiniment. Si m est supérieur à «, on peut écrire

Si w* est égal à n, on a :

Si w* est inférieur à», on a :

On arrive, alors, à cette conclusion :

Si le degré du numérateur est plus élevé que le degré du dénominateur, la fraction croît indéfiniment en même temps que x.

Si les degrés des deux tenues sont égaux, la fraction a une limite différente de zéro, qui est le quotient des coefficients des termes de degré le plus élevé au numérateur et au dénominateur.

Enfin, si le degré du numérateur est plus petit que le degré du dénominateur, la fraction a pour limite zéro.

On peut, d'ailleurs, trouver encore la limite de la fraction en divisant ses deux termes par la plus haute puissance de x qui figure dans l'un des deux termes. En faisant, ensuite, croître x indéfini-

ment, les deux termes, mis sous cette forme, auront, chacun, une limite finie, dont Tune au moins sera différente de zéro.

Exemples. — Soit la fraction

Quand x croît indéfiniment, le numérateur étant de degré supérieur au degré du dénominateur, la fraction croit indéfiniment. Soit encore la fraction

Quand x croit indéfiniment, la fraction a pour limite - ; car, les deux termes

étant de même degré, la fraction a une limite qui est égale au quotient des coefficients des termes de degré le plus élevé.

Application IV. — On lève souvent les indéterminations de la forme ©o — oo en multipliant et divisant l'expression, dont il s'agit, par la quantité conjuguée. Nous allons en montrer quelques exemples.

Exemple I. — Trouver la vraie valeur de l'expression

pour x = + °° O).

Cette expression s'écrit, en multipliant et divisant par la quantité conjuguée :

x -f- 2 -f <Jx* — 5 x + i'

Pour# = + », cette nouvelle expression se présente sous la forme indéter-

[ minée — . Divisons, haut et bas, par x, elle s'écrit :

oo oo

(1) Noua rappelons que *pour z = -f « » est une façon abrégée de dire « longue x crott ! indéfiniment par valeurs positives ». — U faut, d'ailleurs, remarquer que, pour x = — » , cette

i expression n'est pas indéterminée car les deux termes a? et — \/jc* — 5 x-h !, qui croissent

I indéfiniment, étant tous les deux négatifs, la somme croit indéfiniment par valeurs négatives

(Voir n« 1 12, Th. /, Rem.).

Le numérateur, quand x croit indéfiniment, a pour limite 9; le dénominateur a pour limite i + >]i = 2 (car la limite du radical est la racine carrée de la limite de la quantité placée sous ce radical). La fraction a

donc pour limite -, qui est sa vraie valeur.

Exemple II. — Trouver la limite de f expression

\lx 4-3 — \'x + 2,

quand x croît indéfiniment par valeurs positives (!). On a :

\'.r 4-3 — yjx + 2 =

Dans la nouvelie expression, le numérateur est fixe et le dénominateur croît indéfiniment, en même temps que x. La limite de l'expression est donc zéro {Th. /F, n° 112.).

157. Démontrer que, si y a pour limite by V? a Pour limite ^6. On écrira l'identité :

Vy-ttvï =

Vy—' + Vôj,— • + VéV3 + .- + Vè""*

et la démonstration sera identique à celle du théorème VI du n* 111. 158. Trouver les limites vers lesquelles tendent les expressions suivantes :

2x* — hx + 6 3*1 + x t- 1'

yjx* + a — y/*1 4- b \ yjx* 4- ox 4-'6 — yjx* 4- a'x + V ;

V^+fl/-1 + 6xn-*4- ... - V xn 4- <*'*" - ' 4- 6'a?n-*4- ...

jc — a — y7*' — 9a* 4- à î # 4- a — Jx* 4- bx 4- c î

*4- «— V*" 4- &rw-1 4- arn~2 4" ..0 lorsque x croit indéfiniment.

(1) Dans cette expression, on ne pourrait pas faire x = — « car, pour des valeurs de x négative» et suffisamment grandes, en valeur absolue, les quantités placées sous les radicaux seraient négatives et les expressions n'auraient plus de sens.

:m ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.