Définition. — Étant donnée une fonction d'une variable
donnons k cette variable un accroissement A, à partir de la valeur x,
k et soit k l'accroissement correspondant de la fonction. Si le rapport y-
a une limite lorsque h tend vers zéro, cette limite est appelée la dérivée de la fonction, pour la valeur x de la variable.
D'une façon plus brève, la dérivée d'une fonction est la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, lorsque l'accroissement de la variable tend vers zéro.
Il résulte, immédiatement, de cette définition, qu'une fonction
n'admet une dérivée, pour une valeur x de la variable, que si elle est
k continue pour cette valeur de la variable. Car, si T a une limite A,
on a :
e tendant vers zéro avec h, et, par suite,
k tend donc vers zéro avec h.
Cette condition qui est nécessaire n'est, d'ailleurs, pas suffisante.
Car, lorsque k et h tendent vers zéro, simultanément, on ne peut
k rien affirmer pour le rapport T (n° 112, Th. III, Item.), on est dans
un cas d'indétermination de la forme « et le rapport peut ne pas
avoir de limite. Cependant, lorsque, k tendant vers zéro, le rapport
— croit indéfiniment, on dit encore qu'il y a une dérivée, mais que
cette dérivée est infiniment grande (*).
Je (1) n n'y a réellement pas de dérivée que dans le cas où le rapport - n'a pas de limite, sans
croître indéfiniment.
Exemples. — La déi'ivée de x es M .
Car si on prend
y = xf on a h = h; donc t = i, et, par suite, lim. (j) = *
La dérivée de cm? + 6 csf a.
Car, si
y = ax + 6,
donc, lim. (r) = «•
La dérivée de (wr* + bx + c est 2ax + b. Car, soit
y = ax* + bx + c;
on a :
d'où -z=ïax + b + ah.
Quand /< tend vers zéro, ah tend aussi vers zéro et on a :
lim. (?) = 2a.r + 6.
La dérivée de \fx est =, pourvu que x soit différent de zéro.
Car, si
on a :
et
Quand /i tend vers zéro, \'x + h a pour limite \'.r et le dénominateur a pour limite 2 \x. Donc,
k Pour ,r = 0, Ç croît indéfiniment, lorsque h tend vers zéro. On peut donc
dire que, pour .r = 0, sjx a une dérivée infiniment grande.
Notation. — Pour désigner la dérivée d'une fonction de la variable x on fait précéder cette fonction du symbole Dx. Ainsi, hxy, DTf(x), désignent les dérivées de y et de f{x).
Lorsque cela ne peut donner lieu à aucune ambiguïté, on emploie, de préférence, la notation plus simple qui consiste à affecter la fonction d'un accent.
Ainsi, y', f '(x) désignent encore les dérivées de y et de f(x).
Si
on écrira
ou encore
De même,
y =z ax2 -(- bx -(- c,
yr = 2ax -f- 6,
D, {a,v* + bx + c) = 2ax + b.
DT (.r) = i ;
Définition. — Lorsqu'une fonction de x admet une dérivée, pour toute valeur de x, cette dérivée est aussi une fonction de x qui peut elle-même admettre une dérivée. Cette dérivée de la dérivée est ce qu'on appelle la dérivée seconde de la fonction.
De même, la dérivée seconde peut admettre une dérivée qu'on
appelle la dérivée troisième, etc On conçoit, qu'en continuant de
la sorte, on pourrait définir une dérivée quatrième, une dérivée cinquième, d'une manière générale une dérivée niem€ ou dérivée d'ordre n. Par opposition, on appelle, alors, la dérivée, proprement dite, dérivée première, pour la distinguer des autres.
Exemples. — La dérivée première de ax* -+- bx + c est 2ax + b, sa dérivée seconde est 2a.
La dérivée seconde de \'x est la dérivée de =, qui est, comme nous le
verrons, ^.
Notation. — On désigne la dérivée seconde en faisant précéder la fonction du signe D*s, la dérivée mWween faisant précéder la fonction
du signe D"m. Ainsi, D^y, D", /"(*), sont les dérivées secondes de y etf(x).
Lorsque cela ne peut donner lieu à aucune ambiguïté, on désigne, plus simplement, la dérivée seconde en affectant la fonction de deux accents. Ainsi, y", f {x) sont les dérivées secondes de y et f(x). Pour la dérivée nlVme on place n en indice supérieur, entre parenthèses :
Ainsi, si
y = (/.r2 + bx + c, y" = 2a,
ou, encore,
D^(«.r2 + bx + c) = 2a;
Remarque. — Dans la suite, nous aurons, fréquemment, à parler d'accroissements de fonctions et de variables. Pour éviter toute confusion, et pour ne pas employer un trop grand nombre de lettres nouvelles, nous emploierons une notation très usitée pour désigner les accroissements. L'accroissement d'une quantité, à partir d'une certaine valeur, sera représenté par la lettre ou le symbole qui représente cette quantité précédé de la lettre majuscule grecque A. Ainsi, Aar, Ay, Au, désignent les accroissements de x,y et u. Avec cette notation, la dérivée de la fonction y de a? est la limite du quotient —, lorsque Ax tend vers zéro.
Ax
117. Théorème I. — La dérivée d'une constante est égale à zéro.
Car, si une fonction y de i est constante , c'est-à-dire conserve toujours la même valeur, l'accroissement Ay de la fonction, qui correspond à un accroissement quelconque Ax de la variable, est toujours nul. On a donc,
et, par suite (n° 110)
^ = 0 (Ax^O) Ax '
*=•*"• (rx) = °-
Théorème II. — Lorsque plusieurs fonctions d'une même variable admettent, chacune, une dérivée, leur somme admet, également, une dérivée qui est la somme des dérivées de ces fonctions.
Soient, en effet, u, v, w trois fonctions de la variable x admettant, par hypothèse, des dérivées u, v', w', pour la valeur x de la variable. Nous allons montrer que leur somme
admet une dérivée qui est la somme u' -f v' -f- u/ des dérivées.
En effet, donnons à .x un accroissement A# et soient Au, Au, Aw les accroissements correspondants des trois fonctions u, v, w. Ceci veut dire que, pour la valeur jp + Aar de la variable, ces trois fonctions prennent, respectivement, les valeurs «4-Aw, v + Ar, w-\-ù±w et, par suite, y prend la valeur
L'accroissement de y, correspondant à l'accroissement A# de la variable, est donc :
Ay = u -f- Au -+- v + Àv 4- w + Atu — (ti -|- » 4~ u')
ou :
Ay = Au -|- &v -\- Atu.
On a donc,
Ay Au Au Aw
Aa? Ax Ax Ai '
Ali Au A ?r Or, par hypothèse, — , —, ■— ont, respectivement, des limites
uf, t/, v/% lorsque ùlx tend vers zéro, on en conclut (n° 1 H, Th. I) que
leur somme — a une limite qui est la somme des limites, y admet
Ai
donc une dérivée :
Théorème III. — Lorsque plusieurs fonctions admettent, chacune, une dérivée, le produit de ces fonctions admet une dérivée qui est la somme des produits obtenus en remplaçant, dans le produit considéré, successivement, chacune des fonctions par sa dérivée.
1° Cas de deux facteurs. — Soient, d'abord, u et v deux fonctions de x admettant des dérivées u' et v'. Nous allons montrer que le
produit
admet une dérivée qui est :
y' = uv' 4* *w'.
Algèbre elsmbxtaibb. 22
338 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
Donnons, en effet, à x un accroissement Ax, il en résultera pour u et v des accroissements Au et Ar. Ceci veut dire que, pour la valeur x-\- Ax, les fonctions u et r prennent les valeurs «-(-Am et r-J-Ar; par suite, le produit prend la valeur
(u-f-Au) (y-f-Ay).
L'accroissement du produit y, correspondant à l'accroissement Ax de x, est donc :
ày = (m -j- Au) (y + ^r^ — uv ou :
Ay = « Ay -f" v Au -f- Au . At\
Divisons par Ax, et il vient :
A y Ar , Au , Au
Ax Ax Ax Ax
A y Au Lorsque Ax tend vers zéro, — et — ont, par hypothèse, des ^ Ax Ax
A v Au
limites v' et u'. Par suite, u — et r — ont, respectivement, pour
Ax Ax
Au limites, uv' et ru'. Le troisième terme — Ay se compose de deux
mu
facteurs : le premier qui a une limite finie u', le second qui tend vers zéro. Car v, admettant une dérivée, est une fonction continue (n° 116) et, par suite, son accroissement Ay tend vers zéro en même temps que Ax(n6 115, Th.). Le troisième terme a donc pour limite zéro.
— étant la somme de trois termes, ayant chacun une limite, a une Ax
limite (n°lll, Th. I) qui est la somme des limites de ses termes.
Donc, y admet une dérivée qui est :
y' =uy' 4- »**'.
2° Cas de plusieurs facteurs. — Le théorème, étant vrai pour le cas de deux facteurs, s'étend facilement, de proche en proche, au cas de plusieurs facteurs.
Soient u, y, w trois fonctions de x, admettant des dérivées u', y', w'. D'après ce qui précède, le produit uv admet une dérivée qui est uv' -j- vu'. Or, on peut considérer le produit
y = uvtt> = (uy) w.
comme un produit de deux facteurs uv et iv qui admettent chacun une dérivée, y admet donc une dérivée fournie par la règle précédente :
y' = (u v) w' -|- (u v)' tv,
ou, en remplaçant (uv)' par sa valeur,
\jr — u v tv' -\- uv' w + w' v w.
Le théorème, étant vrai pour trois facteurs, s'étendra au cas de quatre facteurs, en considérant le produit uvws de quatre facteurs comme le produit des deux facteurs uvw et s, et en appliquant la règle établie pour deux facteurs ; et, ainsi de suite, de proche en proche.
Corollaire I. — La dérivée du produit d'une fonction par une rtmstante est égale au produit de la dérivée de la fonction par la l'onslante.
Car la dérivée d'une constante étant nulle {Th. I), on a, en appliquant la règle précédente,
(kf{X))'=kr\x).
Corollaire II. — Lorsqu'une fonction admet une dérivée, toute puissance entière et positive de cette fonction admet une dérivée que ton obtient en multipliant cette puissance par son exposant, en diminuant, ensuite, son exposant (Tune unité et en multipliant le tout par la dérivée de la fonction.
En d'autres termes, on a :
(mV »j— 1 /
u ) = mu u .
En effet, um (m entier et positif) est le produit de m facteurs égaux à u. D'après le théorème précédent, on obtient sa dérivée en faisant la somme des m produits obtenus en remplaçant, successivement, chaque facteur par sa dérivée. Or, chaque fois qu'on remplace un facteur u par sa dérivée, il reste un produit de (m — 1) facteurs
égaux à u et d'un facteur égal à u'. La dérivée de um est donc égale
à la somme de m termes égaux à u'"~ u'. Donc :
u ) = mu u ,
Théorème IV. — Lorsque deux fonctions admettent, chacune, une dérivée, leur quotient admet une dérivée, pourvu que le dénominateur &o\t différent de zéro. Cette dérivée est la fraction qui a pour numé-
340 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
rateur l'excès du produit de la dérivée du numérateur par le dénominateur sur le produit de la dérivée du dénominateur par le numérateur, et pour dénominateur le carré du dénominateur du quotient proposé. En d'autres termes, soient u et v deux fonctions admettant des dérivées u' ety\ona:
Donnons à x un accroissement Ax; soient Au, Au, les accroissements respectifs de n et v. Pour la valeur x -f- Ax de la variable, le quotient
aura la valeur
u -f- Au v -f- At? "
L'accroissement du quotient, qui correspond à l'accroissement Ax de x, est donc
u + Au u
* ~~ v + Au v
ou
Au. y — At'.u
y "~~ (v + A BJ «
Divisons par Ax et nous aurons :
A y Ax Ax
Ax (y + Ay)y
Lorsque Ax tend vers zéro, Ay tend aussi vers zéro, car v admettant une dérivée est nécessairement une fonction continue (n°*t16 et 115). 0-f- A« adonc pour limite y et le dénominateur de la fraction
r=L a une limite, différente de zéro, y*. D'ailleurs, — et — ont, par Ax. Ax Ax r
hypothèse^ des limites u' et v', le numérateur a donc pour liante
(n° 111) u' v — v' u. Le quotient— a, par suite (n° 111, Th. V) une
limite qui est :
Corollaire. — Toute puissance entière, négative, d'une fonction qui admet une dérivée, admet aussi une dérivée donnée par la même règle que pour la jouissance positive (Th. III, Cor. II).
En effet, on a :
En appliquant le théorème précédent, on a :
, mw — \u ) m.u . u
mu'
im 2m ro+i
d'où :
Donc, pour obtenir la dérivée de u~ , on multiplie cette fonction par l'exposant — m, on diminue l'exposant de u d'une unité, et on multiplie le tout par la dérivée u' de u; ce qui est la même règle que celle du corollaire II du théorème III.
Théorème V. — Lorsqu'une fonction admet une dérivée, la racine carrée de cette fonction admet également une dérivée, pourvu que cette fonction soit différente de zéro. Cette dérivée est le quotient de la dérivée de la fonction par le double de sa racine carrée.
Soit u une fonction de x admettant une dérivée, on a :
d/sy = -^ (n*o).
En effet, soit Au l'accroissement de u, correspondant à un accroissement Ax de la variable. // = \fû subira un accroissement Aj/ qui est la différence de ses valeurs pour x et x + Aa\
Donc
\y — ^u -\- Au — vu ou
Au
Ay= -=== — p
yu + Au -f- vu
Divisons par A.r, il vient :
Au
Ay Ax
A# \fu + Au + v'm
Lorsque A.r tend vers zéro, A« tend également vers zéro (car w, admettant une dérivée, est une fonction continue), \hi + Ati a pour limite (n° 111, Th. VI) ^u et le dénominateur aune limite, différente
de zéro, 2^w. D'ailleurs, par hypothèse, — a une limite i#\ donc
— a une limite qui est :
118. Dérivée de xm. — La dérivée de x" est mxm" , m étant un enfin* positif ou néijatif.
Car, d'après les corollaires des théorèmes III et IV, la dérivée de jp
est égale au produit de mxm~ par la dérivée de x, qui est égale à 1.
Exemples :
Dérivée d'un polynôme entier. — Tout polynôme entier en x est
une somme de termes de la forme Xxp. Or, la dérivée de \xp est égale
au produit de A par la dérivée de xp [Th. III, Cor. /j, c'est donc
/)A/' . La dérivée du terme constant est égale à zéro. La dérivée du polynôme est la somme des dérivées de chacun de ses termes (n° i 17, Th. //), on en conclut donc la règle suivante :
La dérivée d'un polynôme entier en x s'obtient en multipliant chaque terme par V exposant de x dans ce ternie et diminuant, ensuite, l'exposant de x d'une unité.
Cette règle peut encore s'appliquer au terme constant, qui peut être considéré comme contenant x à l'exposant zéro.
Exemples :
Dx {ax* -h bx + c) = 2ax + b ; Dx (<«* + bx1 + ex f d) = 3<wrf -f 2fe.r -f c;
D, (j* — 3ar" + x) = 4r» — 6a? + 1 ; Dx (,r« — 5jt* + 3.r» + 7) = 6ir5 — 20x* 4 6.r.
Puisque, dans la dérivation du polynôme, on diminue l'exposant de x dans chaque terme d'une unité, on diminue, par là même, le degré du polynôme d'une unité. Donc :
La dérivée d'un polynôme entier de degré m est un polynôme entier de degré (m — 1).
Si on prend encore une fois la dérivée, on diminue, encore une fois, le degré du polynôme d'une unité et, par suite, la dérivée seconde est un polynôme de degré (m — 2).
D'une manière générale, la dérivée piéme est un polynôme de degré [m — p). En particulier, la dérivée m*"™ est un polynôme de degré (m — m), c'est-à-dire de degré zéro.
La dérivée miéme est donc une constante.
La dérivée (m + 'I)WlN< est, alors, égale à zéro, et il en est de même de toutes les dérivées suivantes. Donc :
Toutes les dérivées d'un polynôme de degré m, d? ordre supérieur à m, sont nulles.
Exemples. — Soit
y =z ax* + bx- -f ex + d; on a : y' = 3a.r8 + 2bx 4- c,
y" = 6<i.r 4- 2b, y =0, y =0, etc..
De même soit :
y = 2** 4- te — 6 ; on a : y' = kx 4- 5,
y'" = 0, ys = 0, etc..
Dérivée d'une fraction rationnelle. — Une fraction rationnelle, étant le quotient de deux polynômes entiers, puisque nous savons calculer la dérivée d'un polynôme, nous obtiendrons, de suite, la
dérivée de la fraction en appliquant le théorème IV (n° 117) :
iuV uv — v'u
Exemples :
fx— i\ __ g + 1 — (g— i)
D fax + b \ a (ax* + b') — a' (ax + b) aV — 6a' .
/ &P+ 1 \ 2(g»4-*4-*) — (2*4-*)' — to»— to4- I. '\^ + HV (g* + # 4- 1)» ~~ (g« + a: -f I)1 '
n / g» — 5ar 4- 6\ __ (to — 5) (toi 4- 3g 4- 7)— (4x 4-3) (*'— 5* + 6) * Vto« 4- 3g 4- 7/ (to1 4- 3g 4- 7)»
lto» — IQg— 53.
"" (to1 4- 3g 4- 7)f '
D /qg«4-k?4-c \ (2ag4-ft)(g,g, + ft,g+cf)— (to's 4-fr )(«*»+ te + c) * V«'«s + à'x 4- c'/ ~~ («'g« 4- 6'g 4- C)1
(aV — ba') g» 4- 2 (ac' — ca') g 4- b& — c6' "" (a'g« 4- b'x 4- c')*
Pour prendre la dérivée d'une expression fractionnaire rationnelle compliquée, on commence, ce qui est toujours facile (n° 50), par la mettre sous forme de fraction rationnelle. Ainsi, pour prendre la dérivée de l'expression
on la mel, d'abord, sous la forme :
ou y = gT-nT*-
On a, alors,
, 4g (g* — g») — (4g3 — to) (to» 4- 2) y ~~ (g* — g»)1
ou :
Dérivées d'expressions irrationnelles. — Toute expression irrationnelle, ne contenant que des radicaux du second degré, s'obtient en combinant la variable x et des constantes par voie d'addition, de multiplication, de division ou d'extraction de racine carrée. Or, les propositions démontrées au n° 117, nous permettent de calculer la dérivée dans chacun de ces cas, nous pouvons donc calculer la dérivée de toute expression de cette nature.
Exemples. — Soit
y = v'tf
On a
2\!x Pour calculer y", nous considérons y' comme un quotient :
y ~~ 2 x et, en remplaçant [yfx)' par sa valeur,
kx Jx' Calculons encore y'" ; on a :
1 {x yffi y 4 .r*
Or, d'après la règle de la dérivée du produit, on a :
(x Jx)' = yjx + x [y/x)' = \!x -\ — = —p..
D'où,
Soit encore,
On peut écrire :
= Vf*.
Donc, en appliquant le théorème V (n°H7) au cas de u = \U; on a :
4y# . \.t 4 va:* . \.v
4 V^' Voici d'autres exemples :
Dt (y/a** + hx+c) = ,to + 6
2 v'fM* + to -|- c'
fy/r-l+^+l 1 (y/j- 1 + yfx -f i)' y'g - Ut -t + y/x+i) (yÇ)'
\ 2V'.r — i 2 i/ïTT /
— (V'y — 1 + V* + 0 (* — yfc» — i) "" ' 2.ry/x{x^\)
EXERCICES
163. Démontrer que, si u est une fonction de x admettant une dérivée, \u adm»t également une dérivée qui est :
nt — r n
« Vw
(Voir Exercice 157) ; on en conclut que la dérivée de m? est — */? //'. 164. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
/ a x* + far + c /îLLî!fJL2 >'*+! + y.i- — 1
» f # — va** + 1
