V-r + y/^Tï

165. Calculer les dérivées, de tous les ordres, des fonctions suivantes :

(or

— a) ..r — b) a — b lx — a x — b]

trouver l'expression générale de la dérivée m'**" de chacune de ces fonctions.

166. Supposons qu'on ait développé et ordonné, suivant les puissances décroissantes de xy l'expression (x -+ «)m et soit :

(1) (.r + a)m == xm + A^W"-1 + A^WW"2 + A^V**3 + ...

... + ^a"-1* + aw

ce développement, en désignant, d'une façon générale, par A('M' le coefficient de

apxm-».

Si on remarque que la dérivée de (x -j- o)m s'écrit :

(x + a)"-1 = ixjV"-1 + A^-'W1"-8 + Ay-'W"1-» + ...

...+ A%-l)am~2x + ami],

avec la m?me notation, on obtiendra, en identifiant cette expression de la dérivée avec celle qu'on obtient en prenant la dérivée du second membre de l'identité (1), des formules de récurrence permettant de calculer les coefficients

k(m) A(w) A(ml .(mj

connaissant les coefficients

âim— 1) ai'mi— 1) »(»i— li â(»i— li

Aj , il j » Aa » ••• A»i 2 •

Par suite, connaissant le développement de (x + «;*, on aura celui de (.r -f- a)1 ; puis celui de (x -h «)* ; et ainsi de suite, de proche en proche. Trouver les expressions générales des coefficients

(Voir /' Exercice 2."»i.

348 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.