MM
Quand x croît indéfiniment, MM' tend vers zéro, donc (n° 123, 1°) la droite AB est asymptote à la courbe. De plus, le signe du segment MM' nous renseigne sur la position relative des points M et M'. Pour x = + °°» MM' est positif : M' est au-dessus de M et la courbe est au-dessous de son asymptote.
Pour a? = — oo, MM' est négatif : M' est au-dessous de M et la courbe est au-dessus de son asymptote.
La courbe est, alors, facile à tracer.
x croissant de — oo à 1 , on a une branche de courbe qui part asymptote en A à la droite AB, au-dessus, et monte pour devenir asymptote à la droite CD {fig. 48) qui a pour équation
Quand «passe par la valeur 1, la courbe devient brusquement asymptote à CD en bas, à droite.
x croissant de \ à + oo, la courbe monte pour redevenir asymptote à AB, à droite, en dessous.
On a ainsi une courbe à deux branches infinies (hyperbole).
Remarque. — La fraction que nous venons d'étudier est un exemple numérique d'une fraction de la forme
oœ* + bx + c . . . A.
et nous avons vu que la courbe représentative avait une asymptote non parallèle aux axes. Ceci est un fait général pour toutes les fonctions de cette forme. Pour trouver l'asymptote, on divise le numérateurpar le dénominateur. En égalant;/ à la partie entière du quotient, on a l'équation d'une droite qui est l'asymptote.
Ainsi, soit *x + p le quotient de ax2 + bx+c par a'x + b' et R le reste de la division (qui est une constante). On a l'identité
ax* + bx + c es [a'x + 6') [%x + p) + R et. par suite,
«x* + bx + c . fl . R
//= «.', + 6' -■* + >+ âr+i"
Sous cette forme, on voit que la différence entre l'ordonnée d'un point M de la courbe et du point M' de la droite
y = ox + g,
qui à môme abcisse, est égale à — — : — =-•
Quand x croit indéfiniment, cette différence tend vers zéro, la courbe est donc asymptote à celte droite (n° 123, 1°).
125. Nous terminerons cette série d'exemples en donnant quelques exemples de fonctions à variation limitée, c'est-à-dire dans lesquelles on ne peut pas donner à x toutes les valeurs possibles(de — ooà-J-oo).
Exemple VIII. — Étudier la variation de la fonction
Cette fonction n'est définie que pour les valeurs de x comprises entre — 1 et + i> qui sont les seules valeurs pour lesquelles la quantité sous le radical est positive. Pour toutes ces valeurs, la fonction est continue et admet une dérivée (n° 114, App. III et n° 117, Th. V), qui est :
\/i — je*
Cette dérivée est du signe contraire à celui de x, car le radical est
essentiellement positif.
Quand x croit de — I à 0, la dérivée est positive, la fonction croit de 0
à 1. Quand x croit de 0 à -h i, la dérivée est négative, la fonction décroît de 4 à 0.
La courbe représentative est symétrique par rapport à oy, car lorsqu'on change x en — x son équation ne change pas.
Par suite, si le point [x, y) est sur la courbe, le point ( — x, y), symétrique par rapport à oy> est aussi sur la courbe.
Pour x = 1 et x = — 1, y' est infiniment grand, la tangente est parallèle à oy. Pour x = 0, la tangente est parallèle à ox. La courbe se compose donc d'une branche AR qui part de A, sur ox, pour monter au maximum B, pub
d'une branche BC symétrique de la branche BA, par rapporta oy (fig. 49). Remarque. — La courbe représentative est un demi-cercle ABC. Car,
pour tout point de la courbe, on a
ce qui est r équation d'un cercle de rayon 1, ayant pour centre l'origine. Mais, si tous les points de la courbe représentative sont situés sur ce cercle, réciproquement, tous les points de ce cercle n'appartiennent pas à la courbe représentative, qui ne se compose que du demi-cercle situé au-dessus de ox (y > 0). Le demi cercle AB'C a pour équation
O iC
Fig. 49.
Exemple IX. — Étudier la variation de la fonction
./a 4- x ▼ a — x a désignant une constante positive.
Cette fonction n'est bien déterminée que si la quantité sous le radical est positive; ce qui nécessite que x soit compris entre — a et -f a. Pour toutes ces valeurs de x, la fonction est continue et admet une dérivée :
y> = J*±JL + x J£ZL£L Vfl-* 2v/«t£
ou :
«' + ax — x*
v ' Va — x
Cette dérivée s'annule pour deux valeurs de x (les racines du numérateur)
*-lU* + 0' *=-ï(v'5-l).
niais, comme nous ne prenons que les valeurs de x comprises entre — a et + <*> il n'y a qu'une seule des deux valeurs qui est acceptable, c'est la racine négative. Le dénominateur de la dérivée étant toujours positif, la dérivée est du signe de son numérateur.
* croissant de — a à — ~ (y/iï — l), la dérivée est négative (car :r n'est pas compris entre les deux racines du numérateur); la fonction décroît, depuis 0 jusqu'à un minimum : — - (v'o — *) V V& — 2 (4).
Quand x croit de — - [y/o — \) à + a, la fonction croit, à partir du
minimum, au delà de tonte limite; car lorsque x tend vers a, le dénominateur de y tend vers zéro.
(!) La valeur de la fonction, an minimum, est :
ce qui s'écrit :
Ko multipliant, bous le grand radical, les deux termes de la fraction par la quantité conjuguée du dénominateur, y 5 — 1 , on obtient
La discussion se résume dans Je tableau suivant :
décroit
| (V5 - j) V Vo — 2 (miu.)
croit
La courbe représentative
(-a,oJA
part du pomt A [x = — or, i/ = 0), sur o*. La tangente en ce point est parallèle à oy, car y1 est infiniment grand.
La courbe descend au minimum B, où la tangente est horizontale [fig. 50). Puis, elle remonte, passe à l'origine des coordonnées [x = 0, y = 0), et devient asymptote à la droite x = a (puisque, lorsque x tend vers «, y croît indéfiniment (n° «23, 2*).
Pour x = 0, la dérivée a la valeur 4, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe, au point 0, est donc i et cette tangente est la bissectrice de l'angle xoy.
Remarque. — Si on construisait la courbe
(a*oJ
ou
FiQ. 50.
* (*2 + V*) + a (jb* - yr) = 0.
on trouverait une courbe ÀB'OC, symétrique de la précédente par rapport à ox. Ces deux courbes réunies forment une courbe unique qu'on appelle la strophoïde droite et qui a pour équation :
Cette équation, qui est du second degré en */, fait bien correspondre, à chaque valeur de x, deux valeurs égales et de signes contraires, pour y} qui sont les deux fonctions que nous avons étudiées.
Exemple X. — Étudier la variation du volume d'un cône circonscrit à une sphère donnée, de rayon R.
Le cône est parfaitement défini dès qu'on connaît son rayon de base .r. Nous prendrons donc ce rayon de base pour variable. On remarque, de suite, que, pour que la sphère soit inscrite dans le cône, et non exinscrite, il faut que le rayon de base x soit plus grand que le rayon R de la sphère, x est donc une variable qui ne variera que de R à + °°-
La hauteur du cône, comme il est facile de le voir, est :
le volume V du cône est donc donné par la formule :
2itR jt*
La variation du volume V est la même que celle de la fonction
qui n'en diffère que par un facteur constant.
La fonction y est continue, pour toute valeur de x plus grande que R, et admet une dérivée :
(x* — R*js
Comme on ne donne à x que des valeurs plus grandes que R, nous ne trouvons qu'une seule valeur de x pour laquelle la dérivée s'annule : c'est
x = B vfe.
Lorsque x croit de R à R v^, la dérivée est négative, la fonction décroît de + oo jusqu'à un minimum (absolu) y = 4R*. x croissant, ensuite,
de R V2 a + °°» )& dérivée est positive et la fonction croit de 4R2 à + oo.
Donc, si on fait croître le rayon x de la base de R à 4- oo, le volume V,
d'abord infiniment grand (car, dans ce cas, le cône a son sommet infiniment
éloigné et se réduit à un cylindre ouvert), décroit jusqu'à un minimum
