MM

et, par conséquent, le rapport -rjrj- reste constant. Soit k sa valeur.

on a :

MM' = * . MH.

Ce qui prouve que MM' tend vers zéro en même temps que MH, et réciproquement.

2° Si la droite AB est parallèle à oy, son équation est de la forme

et, pour qu'une branche soit asymptote à cette droite, il faut et il suffit, que y croisse indéfiniment, quand x tend vers a.

Soit, en effet, AB une asymptote parallèle à oy (fig. 45), MH la distance d'un point M de la branche de courbe à l'asymptote ; MH est parallèle à ox. Abaissons MP perpendiculaire sur ox, on a :

Or,

MH = PA.

AP = OP — OA = x — a.

CCs

Fig. 45.

Donc, pour que MH tende vers zéro, il faut et il suffît que x — a tende vers zéro. Lorsque le point M s'éloigne indéfiniment, y croît indéfiniment et x tend vers a.

Réciproquement, si y croit indéfiniment, lorsque x tend vers a, le point M s'éloigne indéfiniment, MH tend vers zéro et M décrit une branche de courbe asymptote à la droite AB.

D'ailleurs, il faut remarquer que le signe de y indique à quelle extrémité de la droite BA la courbe est asymptote.

Comme le dénominateur n'a pas de racines, cette fraction est finie et continue pour toute valeur de x et admet une dérivée :

Cette dérivée s'annule pour x = 3 elx = — 1, qui sont les racines du numérateur : elle est donc négative quand x n'est pas compris entre ces racines et positive quand x est compris entre les racines — 1 et 3.

La valeur de la fraction, pour x = =fc «, est égale à zéro (n° 113, App. M) ; car le numérateur est de degré inférieur au degré du dénominateur.

Lorsque x croit de — oo à — 1, la dérivée est négative; la fonction décroît

depuis zéro jusqu'à un minimum (absolu) — -.

x croissant, ensuite, de — 1 à 3, la dérivée est positive; y croit du

minimum — » j à un maximum (absolu) + 7.

Enfin, x variant de 3 à + 00, la dérivée est négative; y décroît de 7 à zéro.

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

Voici le tableau qui résume cette discussion :

-f- oo

décroit

— j(min)

croît

+ j(m«.r) décroit

La courbe représentative (fig. 46) se compose, d'abord, d'une branche infinie qui part asymptote à Taxe des x, puisque y tend vers zéro quand x

Fig. 46.

croit indéfiniment, et qui descend jusqu'au minimum (x= — l,y = — -). La courbe remonte, ensuite, jusqu'à un maximum (x = 3, y = rjen

coupant Taxe des y au point x = 0, y = — - et Taxe des x au point x=l.

y = 0. Enfin la courbe redescend pour redevenir asymptote à o#, puisque y tend vers 0, quand a? croît indéfiniment (n° 123, 1°). Exemple VI. — Étudier la variation de la fonction

Le dénominateur de cette fraction s'annule pour x = 1 et x = 2, celle fraction est donc continue, pour toutes les valeurs de x, sauf pour a; = i et a? == 2. Elle admet une dérivée qui est :

Cette dérivée s'annule pour x = -. Les valeurs remarquables, pour x, sont

donc, par ordre de grandeur croissante : f , - et 2.

Les deux fermes de la fraclion étant de même degré, y a pour limite 4, qui est le rapport des coefficients des termes en a?*, lorsque x croit indéfiniment (n° 113, App. III).

Cela étant, lorsque x croît de — oo à 1, la dérivée est négative; y décroit de 4 à — oo car, pour x = 1, le numérateur de y est négatif ( — 3) et, pour une valeur de .run peu plus petite que 1, (e dénominateur est voisin de zéro et positif (4).

Quand x passe par la valeur I, y passe, brusquement, de — oo à + oo,

car le dénominateur change de signe.

x croissant de 1 à -, la dérivée est toujours négative et la fonction

décroît de + oo à un minimum relatif qui est 16.

Lorsque x croit de - à 2, la dérivée est positive; y croit de 16 à + oo

car, pour x = 2, le numérateur de y a la valeur négative — 15 et, pour une valeur de x un peu plus petite que 2, le dénominateur est voisin de zéro et négatif.

Quand x passe par la valeur 2, y passe, brusquement, de + oo à — oo, puisque le dénominateur s'annule en changeant de signe.

Enûn, x croissant de 2 à -f °°> la dérivée est positive et y croît depuis — oo pour tendre vers la valeur 4.

Voici le tableau qui résume cette discussion :

— oo

décroît

— oo

-j- oo

décroit

16 (min.) croît

— oo

croît.

-{- oo

(t) Lorsque y croît indéfiniment, le sens môme de sa variation indique s'il croît par valeurs positives ou négatives. Si y décroit indéfiniment, y est négatif (— « ) ; si y esott Indéfiniment , y est positif (4- « ).

Aloèbrb élémentaire. 24

La courbe représentative part asymptote à la droite y = 4 (fig. 47) et

descend pour devenir asymptote à la droite a = 1 (parallèle à oy); puis

repart asymptote à cette même droite, mais en haut (le mécanisme est le

même que dans l'exemple IV).

La courbe descend jusqu'au minimum [x = «, y = 16) pour remonter

Fig. 47.

et devenir asymptote à la parallèle a = 2, à oy (puisque pour x < 2, mais voisin de 2, on a : y = + °°)«

La courbe repart, ensuite (Voir Y Exemple IV), asymptote à cette même droite, mais en bas, pour remonter et devenir asymptote à la parallèle y = 4, à ox.

Pour* = 0, on a y = -, ce qui donne le point d'intersection de la courbe

avec oy.

Les points où la courbe coupe Taxe des x sont les points pour

1 5 lesquels y est nul, leurs abcisses sont les racines - et - du numérateur.

Ivxbmple VIL — Soit la fraction

Cette fonction est continue pour toute valeur de a?, sauf pour la valeur x = I, qui annule le dénominateur. Sa dérivée est :

(* - tf

Le numérateur de celte dérivée n'a pas de racines. Cette dérivée est donc toujours positive et la fonction est toujours croissante.

Quand x croit indéfiniment, y crott aussi indéfiniment, puisque le dénominateur est le degré inférieur à celui du numérateur (n° 113, App. III). De plus, lorsque x est infiniment grand, chacun des termes de y est du signe de son premier terme. Le numérateur est du signe de a9, donc positif; le dénominateur est du signe de x. Donc, quand x est infiniment grand, y est du signe de x. Pour # = -f oo, y = + <*>; x = — oo, y = — oo.

Ceci posé, lorsque x croit de — oo à I, y croit de — oo à + <», car, lorsque x tend vers 1 par des valeurs plus petites que 1, y croit indéfiniment par valeurs positives.

Enfin, x croissant de 1 à + oo, y croit de — oo à -f oo.

Le tableau de la variation est le suivant :

— oo

croît

-j- oo

— oo

croit

-f- oo

Pour construire la courbe représentative (fig. 48), nous allons, d'abord, montrer qu'il existe une asymptote qui a pour équation :

En effet, cherchons la partie entière du quotient du numérateur de y

par son dénominateur (n°* 47 et 48). L'opération de Ja division nou< conduit à l'identité (n° 47, Rem. 1).

De là, on conclut qu'on peut mettre y sous la forme suivante :

FiG. 48.

Ceci posé, traçons la droite AB qui a pour équation

Soit M un point de la courbe, d'abcisse x. Soit M7 le point de la droite AB

de même abcisse (fig. 48) ; le segment MM' est égal à l'excès de l'ordonnée du point de la droite sur l'ordonnée du point de la courbe,

MM? = PM7 — PM ; et, par conséquent,