RECHERCHE DIRECTE DE QUELQUES MAXIMA ET MIHIMA ABSOLUS

126. La méthode, que nous avons exposée dans le chapitre précédent, permet d'étudier complètement la variation d'une fonction d'une variable au moyen de sa dérivée. Dans bien des questions, en particulier dans des questions de géométrie, il n'est pas nécessaire de connaître la variation complète d'une certaine expression, mais seulement son maximum absolu ou son minimum absolu. D'ailleurs, il arrive, dans ces questions, que l'expression dont il s'agit dépend, quelquefois, de plus d'une variable et, alors, la marche que nous avons indiquée plus haut n'est plus applicable.

Un grand nombre de ces questions se résolvent au moyen de quelques principes très simples que nous allons exposer.

Théorème I. — Le produit de deux facteurs variables, dont fa somme est constante, augmente lorsque la différence de ces deux facteurs diminue [en valeur absolue).

Soient, en effet, x et y les deux facteurs dont la somme est constante et égale à a :

De l'identité

on conclut que

(1) xy= -, v — j~^ .

RECHERCHE DIRECTE l)E QUELQUES MAX1MA ET MIMMA ABSOLUS. 381

Et cette dernière égalité montre, manifestement, que le produit xy augmente lorsque (x — yY ou, ce qui revient au même, | x — y \ diminue.

Corollaire. — Le produit de deux facteurs variables, dont la somme est constante,, est maximum absolu lorsque la différence de ces deux facteurs est la plus petite possible, en valeur absolue.

En particulier, si les deux facteurs peuvent devenir égaux, le produit est maximum lorsque les deux facteurs sont égaux et égaux à leur moyenne arithmétique (').

Remarque I. — L'égalité (1) prouve que le produit xy est infé-

rieur ou au plus égal à—. Donc,

Le produit de deux facteurs positifs est. au plus égal au produit mque Von obtient en 1rs supposant égaux et égaux à leur moyenne arithmétique.

(Ceci ne veut pas dire que les deux facteurs peuvent devenir égaux). Remarque IL — On aurait pu étudier le produit précédent en se servant des dérivées. En effet, soit z le produit. Gomme y = a — x, on a

î-jrjfl — x).

Les deux facteurs x et y devant être positifs, on ne devra donner à x que des valeurs comprises entre 0 et a. La dérivée de z est :

Donc, quand x croit de 0 à -, la dérivée est positive, z croit de

0 à -7 . x croissant de r à a, z décroît de — à 0. — est donc un 4 2 4 4

maximum absolu pour le produit. Mais cette façon de procéder est

moins générale que la précédente, car on suppose que x peut prendre

toutes les valeurs possibles de 0 à a, ce qui n'a pas toujours lieu,

comme nous le verrons dans l'exemple suivant :

Exemple. — Soit 0 tin cercle et DD' une droite qui ne coupe pas le cercle. Soit ABC une droite, perpendiculaire à DD', qui coupe le cercle en A et Bel la droite DD' en G. Pour quelle position de la droite AG le produit

AB X BC est-il maximum? (fig. 51).

(1) On appelle moyenne arithmétique de deux nombres la demi-somme de ces deux nombres. (Voir Exercice 4.)

ALGEliKL ELEMENTAIRE.

Remarquons, d'abord, que le produit sera maximum en même temps que sa moitié

TXBC.

Or, si on mène par 0 une parallèle à DD' qui coupe ÀBen I, on a :

AB