A» = VA
mm
Dans le cas où q est égal à 1, le symbole Af représente la même chose
que A?. Celte convention est conforme à ce qu'on a dit dans le précédent numéro.
Cette notation ne présente aucune difficulté si l'on veut bien se rappeler qu'une fraction doit être regardée comme l'ensemble de deux nombres entiers qui jouent un rôle différent.
Elle est justifiée par ce fait que si les deux fractions -, 5- sont égales, on a
j) t)f Si en effet les deux fractions -, —t sont égales, on apqr =p'q et, par suite,
A"' = A"'« ; extrayons les racines d'indice qq' des deux membres, on aura
V^-Va7';
or, en divisant les indices et les exposants par qf dans le premier membre, par q dans le second, on a
ou, en remontant à la définition des exposants fractionnaires,
t Pi A* = A*\
Il est à peine utile de faire remarquer que, par celte proposition, la simplification de la racine qiimt d'un nombre élevé à une certaine puissance p revient à la simplification d'une fraction, et que la réduction au même indice de plusieurs racines revient à la réduction de plusieurs fractions au même dénominateur.
Mais il y a plus : les règles établies pour le calcul des exposants entiers s'appliquent aux exposants fractionnaires.
452. Pour faire le produit de deux puissances fractionnaires d'un même nombre, il suffit d'élever ce nombre à une puissance dont l'exposant soit une fraction égale à la somme des deux exposants primitifs.
En d'autres termes, on a, en désignant parp, q,p\ q' des nombres entiers, différents de zéro,
p p' pfi' + pi'
On a en effet
et, par suite,
P P£ qq'l
P' P^± qq't
a? = k«= Va", a"xa2 = Va^xVa^;
mais, en appliquant le théorème du n° 443, on voit que lu second membre
est égal à la racine (qq'y*me du produit A X A**, qui est lui-même égal
à \pq pg, puisque les nombres pqf etp'q sont entiers. D'ailleurs on a, en vertu de la définition,
,q' i PJL±£±
Va"'+" = a '"' •
La proposition est donc démontrée. On écrit souvent l'égalité qui l'exprime sous la forme
mais il convient de remarquer que le second membre n'a pas de sens
P Pf par lui-même; il est sous-entendu qu'on doit remplacer la somme — | — -,
par sa définition, c'est-à-dire par une fraction à termes entiers, égale à cette somme, mais celle notation est commode pour permettre l'extension du théorème considéré au cas de trois, quatre, ... facteurs. Ainsi, de l'égalité précédente on déduit
p p' El (P + £\+ll A'X A' X A«"=l* "*>' *".
Voici quel sens il faut attribuer au second nombre : la* somme (- -f- —A
ayant été remplacée par une fraction à termes entiers, on lui ajoute la
fraction £-, et Ton obtient ainsi, sous forme d'une fraction à termes
entiers, l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever A; mais il est clair que cet exposant peut être aussi bien obtenu en calculant, comme on voudra, la fraction à termes entiers qui est égale à la somme des trois
fractions?, =-T, 5r;.
453. Pour élever à la puissance 2. un nombre A, élevé déjà à une puis-
sance entière ou fractionnaire - , il suffit de multiplier par/-, l'exposant
de A; en d'autres ternies, on a
Gï)r=
On a, en effet, d'après les définitions,
mais on a de même
(«£)'- ft*
is
et la racine g'**"* de cette quantité est égale à V^' » ou> en vertu ^e I*
définition des exposants fractionnaires, à Xq<1' : la proposition est donc démontrée.
454. Si, en désignant par p, 7, p't q' des nombres entiers, on a
on aura, en désignant par A un nombre quelconque, autre que zéro,
en entendant que, dans le second membre, la différence - — ~ soitrem-
placée par une fraction à termes entiers qui lui soit égale, par exemple par W' — P'<I
T^i démonstration est toujours la même; on a
V Pi' 00'/"" ~" ___
aï ^ a* Va" fA"' ç/^ï ^
A*' \n' VA**
Parii. — Inip. E. Canomoxt et O, rue des Poitevins G.
