VA

le second nombre, en effet, est égal à V VA* ou à Va. Par exemple, on a

y/7 = Vv.

Inversement, quand on a à extraire la racine d'un nombre élevé à une certaine puissance, si l'indice de la racine et l'exposant sont divisibles par un même facteur, on peut supprimer ce facteur.

Ce théorème ne diffère pas du précédent.

On a, par exemple :

448. Les propositions précédentes permettent, étant données plusieurs racines, avec des indices différents, de les ramènera avoir toutes le même indice.

Soient, par exemple, les racines

Va, Vb, Vc,

<i, b, c désignant des nombres entiers; soit m le plus petit multiple commun de a, 6, c et soient a', &', c' les quotients respectifs de m pai; a, b, c; on multipliera les indices, a, 6, c respectivement par a', bf, c', et Ton élèvera en même temps A, B, C aux puissances a', 6', c'; les racines précédentes seront remplacées par

qui leurs sont respectivement égales et qui ont même indice.

449. Cette proposition permet d'utiliser les règles des n°" 443, 444 pour effectuer des produits ou des quotients de radicaux.

Soient, par exemple, les quantités

yte, V22 X 5, V2 X 5» ;

6 est le plus petit commun multiple des indices 2, 3, 6; ou aura, en appliquant les règles précédentes,

y/ï = V?, V21 X 5 = V24 X 52, >fi X ^2» Xo X V2 X o2 = V23 X 2* X 5S X 2 X 52 = V28 X 5* = V24 X 52.

De même,

V5~ ta*"" V32'

450. Exposants fractionnaires. — Le lecteur n'a pas manqué de remarquer que les dernières propositions établies ont leurs analogues dans la théorie des fractions. Cette analogie deviendra frappante si Ton adopte la notation des exposants fractionnaires.

Avant d'expliquer cette notation, je ferai d' abord les remarques suivantes :

On n'a pas parlé, dans ce qui précède, de racine dont l'indice serait égal

à un; mais rien n'empêche de considérer une telle racine, pourvu que Ton

convienne de regarder sa valeur comme étant égale à celle du nombre sur

lequel elle porte ; on aurait ainsi

Va = a.

Cette convention est bien conforme à la définition générale des radicaux, puisque, en élevant un nombre à la puissance i, on reproduit ce nombre. Dès lors, puisque, dans la démonstration des théorèmes du para-

ALC.fcBRR ftLéMEXTAIRB. 35

graphe précédent, on s'est appuyé uniquement sur cette définition, il est clair que tous ces théorèmes subsisteront, lors même qu'on y fera figurer des racines d'indice égal à un. 451. En désignant par A un nombre quelconque et par p, q deux nombres

qi~p

entiers différents de zéro, on représente VA par le symbole:

que Ton énonce A puissance - : - est un exposant fractionnaire.

Dans le cas où p est égal à 1, comme le symbole A1 est la même chose que A, on aura pour la définition précédente