CHAPITRE II
58. D'après sa définition même (n°55), une équation du premier degré à une inconnue est une équation entière telle que, lorsqu'on a fait passer tous les termes dans le premier membre, ce premier membre soit un polynôme du premier degré. Toute équation du premier degré à une inconnue peut donc être mise sous la forme
ax + b = 0 (1),
ou encore
ax = — b.
Si a est différent de zéro, on peut diviser les deux membres para et on obtient finalement l'équation équivalente
dont la solution est évidente. De là, on conclut immédiatement la règle suivante :
Règle. — Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on fait passer tous les termes contenant l'inconnue dans un membre et tous les termes connus dans l'autre; on réduit les termes semblables dans les deux membres et, si, après cette réduction, le coefficient de finconnue est différent de zéro, réquation admet une solution et une seule qu'on obtient en divisant les deux membres par ce coefficient.
Exemple. — Soit à résoudre l'équation
Elle s'écrit :
el, en réduisant,
6 2H doù a? = — = — .
Remarque. — Lorsqu'une équation a des coefficients fractionnaires, il est souvent commode de rendre d'abord les coefficients entiers avant d'appliquer la règle précédente.
Exemples :
i* Soit à résoudre l'équation
Chassons les dénominateurs, nous aurons :
ôa? — 45a? + 3 = 10 — 15a? — x;
puis, en appliquant la règle, on a, successivement,
et « = -Fj"
2° Soit à résoudre l'équation
-i—ra? + 2a — 26 t= — T,r.
Multiplions les deux membres par (a — 6) (a H- 6) (/i* + &*), c'est-à-dire par a* — 64, nous aurons :
el, en suivant la règle :
(a2 + 6î)(« + 6)i.x + (a— 6)î(a8 + 6i)oî=(a3— ôîjfa* — 6*) — 2(a — &)(«*— 6*), 2(a* + 6*)*a? = — (a* — 6») (a — 6) (a* — a6 -h 6»),
(aa + 6») (a - ft)i
59. Discussion. — Nous avons vu que, lorsque a est différent de zéro, l'équation
ax + b = 0 (1)
a une solution et une seule qui est
Il nous reste à examiner lç cas particulier où a est nul. Dans ce cas, on ne peut plus diviser les deux membres de l'équation (1) par a. Or, puisque a = 0, le premier membre de l'équation (1) a toujours la valeur 6, quel que soit x; par suite : si b ri est pas nul il n'existera aucune valeur de x vérifiant l'équation (1) et il riy a pas de solutions; si b est nul, le polynôme ax-\- b est nul, quel que soit ar, et Véquation est vérifiée pour toute valeur de x, la solution est indéterminée. En réalité, dans ce dernier cas, l'égalité (1) n'est pas une équation, c'est une identité.
Donc, en résumé, lorsque le coefficient de l'inconnue est nul, l'équation est ou impossible ou indéterminée suivant que le terme constant est différent de zéro ou nul.
Exemple : Soit l'équation
x x xi
Elle devient, en résolvant :
ou
L'équation n\i donc pas de solution. En d'autres termes, il n'existe aucun
x x xi
nombre x tel que les deux polynômes 5 — 3 — r et 1 -f £ — 5 aient
des valeurs égales.
Remarque ('). — Imaginons que 0, au lieu de prendre brusquement la valeur zéro, ait des valeurs voisines de zéro et examinons ce
(1) Cette remarque prendra pour le lecteur une forme tout à fait rigoureuse lorsqu'il aura lu le chapitre 1 du livre IV, sur Us limites.
ÉQUATIONS bl PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE. 151
que devient la solution (2). Tant que a n'est pas nul, l'équation
ax + b = 0 (1)
a une solution et une seule qui est . Or, si a tend vers zéro,
c'est-à-dire si a prend des valeurs de plus en plus petites (en valeur absolue), et si b reste différent de zéro, nous savons que la fraction croît indéfiniment. Donc, la solution de l'équation (1) croît
indéfiniment lorsque, le ternie constant b restant différent de zéro, le coefficient a de l'inconnue tend vers zéro. Comme, pour a =0, l'équation (1) n'a pas de solution, on peut dire que, lorsque a tend vers zéro, la solution disparaît, ou encore s'évanouit, en devenant infiniment grande. C'est ce que Ton exprime, brièvement, en employant un langage analogue à celui dont nous nous sommes déjà servi (n° 52), en disant que, lorsque a est nul, b étant différent de zéro, Y équation a une racine infiniment grande.
Considérons, par exemple, l'équation
2>o? — 3 + a? = Xa? + 2tf-f-2,
où X désigne un nombre supposé connu. Elle se met sous la forme :
Lorsque X est différent de \ , cette équation a une racine
et on peut cboisir X de façon que cette solution soit aussi grande qu'on le voudra en valeur absolue. Par exemple, pour que sa valeur absolue soit plus grande que 10000, il suffit que Ton ait
Lorsque X tend vers la valeur 1, la racine croit indéfiniment. Pour X = 1 l'équation n'a plus de solution.
60. La résolution de certaines équations, qui, d'abord, ne se présentent pas sous la forme d'une équation du premier degré, peut se ramener à celle d'une équation du premier degré à une inconnue. Nous allons en donner des exemples.
11 peut, d'abord, arriver qu'une équation, qui, à première vue,
paraît d un degré supérieur au premier, s'abaisse au premier degré après les réductions. Ainsi, soit l'équation
qui paraît du second degré. En faisant passer tous les termes dans le premier membre, on a, après réductions,
— x + 5 = 0; d'où
En second lieu, en rendant entière une équation fractionnaire (n° 56, App. //), on peut parvenir à une équation du premier degré. Soit, par exemple, l'équation :
Elle s'écrit sous la forme équivalente :
ou
Elle est donc équivalente (n° 56, App. II) k l'équation du premier degré
— 3* + 5=0; qui donne :
61. Lorsqu'une équation est irrationnelle, on peut, en général, par des élévations aux puissances des deux membres, trouver une équation entière qui admet toutes les solutions de l'équation proposée mais qui ne lui est pas, cependant, équivalente (n° 57). Dans certains cas, l'équation entière à laquelle on parviendra pourra être du premier degré.
Pour faire disparaître les radicaux, voici comment on procédera. Si l'équation ne contient qu'un seul radical, on fera passer ce radical dans un membre et tous les autres termes dans l'autre ; c'est ce qu'on appelle isoler le radical. En élevant les deux membres à une
puissance dont l'exposant est égal à l'indice du radical, on obtiendra une équation entière. Par exemple, soit l'équation
Elle s'écrit, en isolant le radical,
Vx — 3 = 2; et, en élevant les deux membres à la quatrième puissance, Ton a :
d'où
Il ne faudrait pas se hâter de conclure que 19 est solution de l'équation (1); car, comme nous le savons, l'équation (2) pourrait admettre des solutions étrangères. Il faut donc vérifier si 19 satisfait l'équation (1); ce qui a lieu.
D'une manière générale, lorsqu'on aura résolu l'équation entière, obtenue par les élévations aux puissances, il faudra vérifier si les racines obtenues satisfont l'équation proposée et ne conserver que celles qui la satisfont.
Lorsque l'équation contient deux radicaux carrés, on commence par isoler un des radicaux; on élève les deux membres de l'équation au carré, et on obtient une nouvelle équation qui ne contient plus qu'un seul radical. On isole de nouveau ce radical, et une seconde élévation au carré conduit à une équation entière. Toutes les racines de l'équation proposée vérifient cette équation entière ; mais, comme la réciproque n'est pas vraie, on aura les racines de l'équation proposée en choisissant parmi les racines de F équation entière celles qui la satisfont.
Soit, par exemple, l'équation
Isolons le second radical :
En élevant au carré, on a :
Isolons de nouveau le radical, on a :
d'où, en élevant au carré,
Or, la solution x = 6 ne vérifie pas l'équation proposée. Cette équation n'a donc pas de solution. La solution x = 6 convient à l'équation
Va? — 2— y/x — S = i.
Remarque I. — Considérons, plus généralement, l'équation
\'x -f- a + sjx + b = c (1),
c étant un nombre positif. Isolons le second radical :
Jx + b=c — )/x + a (2).
Ëlevons au carré et nous obtenons :
Élevons une seconde fois au carré et il vient :
ce qui donne :
4cs
Il faut encore vérifier si cette solution convient à l'équation (1). Pour cela, il suffirait de substituer ; mais on peut procéder autrement. Remontons les diverses transformations que nous avons faites et supposons, ce qui est permis, a > 6. Comme nous avons élevé l'équation (3) au carré, la solution satisfait soit l'équation (3), soit l'équation :
— 2c yjx + « = c% + <* — b (5).
Or, puisque a > 6, c* + a — b est positif; comme le premier membre est négatif, cette équation ne peut pas avoir de solutions. La solution vérifie donc certainement l'équation (3). Mais, pour obtenir celle-ci, nous avons élevé l'équation (2) au carré. La solution peut donc vérifier soit l'équation (2) soit l'équation
— yjx -{-b = c — 0e -j- a (6).
Pour distinguer laquelle des deux équations (2) ou (6) est vérifiée,
il suffit de reconnaître le signe de c — \ix + a. Pour que l'équation (1) soit vérifiée, il faut que Ton ait
c* > x + fli ou
4c* __ {<* + a — bf > 0,
et, comme 3c' -f* a — * es^ positif, puisque a > b} il faut que
Dans le cas contraire, l'équation (1) n'a pas de solution, et la solution trouvée vérifie l'équation (6).
Dans le cas particulier où
c* = a — b, la solution est x = — b
qui vérifie à la fois les équations (2) et (6).
Remarque II. — Lorsque l'équation contient plus d'un radical ou plus de deux radicaux carrés, on ne peut plus donner de règle générale élémentaire. La transformation de l'équation irrationnelle en une équation rationnelle se fera encore par des élévations des deux membres de l'équation aux puissances; mais la façon de conduire le calcul, pour arriver rapidement au résultat, dépend de l'ingéniosité du calculateur.
Par exemple, en élevant les deux membres de l'équation
y]x — a -f- \/x — b = y]x — c -{- yjx — d
au carré, on obtiendra une nouvelle équation ne contenant que deux radicaux carrés.
Souvent il sera utile, dans le calcul, de tenir compte des équations qui précèdent. Ainsi, on rendra l'équation
}/x — a + Jx — à + y/x — c = 0 rationnelle de la façon suivante : on l'écrit
— V* — a = \Jx — b + \]x — c (1).
En élevant les deux membres au cube , on a :
— (x — a) = 2x — b — c -f- 3 V(x — b){x — c) \yx — à + V* — rj.
En tenant compte de l'équation (l), cette équation se simplifie et devient :
et il ne reste plus qu'un seul radical à faire disparaître. (Voir les Exercices 45 et 50.)
EXERCICES
