A2 + B3 + C* — 2BC— 2CA — 2AB

Or, en remontant les équations, de proche en proche, on se rend compte aisément que cette équation admet les solutions des quatre équations :

V/A — yfë — )/C = 0,

dont le produit, membres à membres, fournit, comme il est aisé de le vérifier, 1 équation (1).

Généralisation. — D'une manière générale, V équation

nesl équivalente à Féqualion

que lorsque m est impair. Lorsque m est pair, l'équation

A"1 = Bm

est équivalente à l'ensemble des deux équations

(à condition de se borner, comme nous le ferons dans la suite, aux nombres positifs et négatifs) (*).

En effet, pour toute valeur de x qui donne à Am et Bm des valeurs numériques égales, A et B ont des valeurs égales en valeur absolue (puisque deux nombres arithmétiques sont égaux quand leurs puissances miême* sont égales).

1° Si m est irnpair, A et B ont, respectivement, les mêmes signes

que A"1 et B,M (Voir n° 19) et, par suite, sont de même signe. On a donc

et les équations (1) et (2) sont équivalentes.

2° Si m est pair, comme ( — A)m = Aw, A et B peuvent être de signes contraires et on a, par suite, soit

soit

Les équations (1) et (2) ne sont pas équivalentes.

Remarque. — Dans le cas particulier où l'un des membres est nul, l'équation obtenue en élevant les deux membres d'une équation à une puissance quelconque, lui est équivalente; car Amne peut pas être nul sans que A soit nul.

(1) Cette proposition n'est plus exacte quand on généralise encore la notion de nombre et qu'on introduit, dans le calcul, les nombres dits imaginaire» (Voir V Appendice ï).

148 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

EXERCICES