A + OB + G

est équivalente à l'inégalité

A, B, G désignant des expressions qui contiennent les inconnues. Ceci résulte, immédiatement, de ce qu'on peut ajouter ou retrancher aux deux membres d'une inégalité (de deux nombres) un même nombre (n° 13) ; car, si, pour certaines valeurs des inconnues, on a :

valeur de A > valeur de B,

on aura évidemment

val. A -f- val. C > val. B + val. C,

et réciproquement.

Théorème II. — Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise les deux membres d'une inégalité conditionnelle par un nombre positif ou

(I) On emploie aussi, quelquefois, les expressions de inidentité et inéquation, maïs, commo ces expressions ne sont pas très usitées, nous avons préféré ne pas les employer.

obtient une inégalité équivalente ; si on multiplie par un nombre négatif, on obtient une inégalité équivalente, à condition de changer le sens de Vinégalité.

Soit l'inégalité conditionnelle

1° Si C est un nombre positif , l'inégalité

est équivalente à l'inégalité (1). Car si, pour certaines valeurs des inconnues, on a

val. A > val. B,

ou aura encore, en multipliant par le nombre positif C (n° 22, Th. /),

val. AC > val. BC,

et réciproquement.

2° Si C est un nombre négatif, l'inégalité

est équivalente à l'inégalité (1). Car, si on a ' " '

val. A > val. B,

en multipliant les deux membres de l'inégalité par le nombre négatif C, on change le sens de cette inégalité (n° 22, Th. I) et on a

val. AC < val. BC,

et réciproquement.

Remarque. — Pour pouvoir appliquer la proposition précédente il est essentiel que C ait un signe bien déterminé, invariable. Nous avons supposé que C était un nombre, mais il est clair que la démonstration s'applique sans modification au cas où C, sans être un nombre, est une quantité dont le signe est invariable. Ainsi, on peut multiplier les deux membres d'une inégalité par un carré parfait

(x -f- i) » par exemple; par une somme de carrés, etc..

Applications. — Des théorèmes précédents on peut tirer les mêmes conséquences que dans le cas des équations. Ainsi :

1° On peut mettre toute inégalité conditionnelle sous la forme

Dans le cas d'une inégalité entière, A est un polynôme entier par

rapport aux inconnues et le degré de ce polynôme est ce qu'on appelle le degré de l'inégalité.

2° On peut faire passer un terme d'un membre d'une inégalité dans Vautre.

3° Dans une inégalité entière, à coefficients fractionnaires , on peut rendre les coefficients entiers en multipliant les deux membres par le dénominateur commun des coefficients. Il faudra, dans ce cas, avoir soin de changer le sens de l'inégalité si le multiplicateur est négatif.

4° On peut changer les signes des deux membres d'une inégalité, à condition de changer le sens de cette inégalité. Car cela revient à multiplier les deux membres par ( — 1).

63. 11 résulte, de ce qui précède, qu'une inégalité conditionnelle du premier degré à une inconnue est une inégalité qui peut se mettre sous la forme

ax + b>0 (1),

en faisant passer tous les termes dans un membre. Cette inégalité est équivalente à l'inégalité

ax> — b (2).

Si a est positif, cette inégalité s'écrit :

et, si a est négatif, elle s'écrit :

Ces dernières inégalités ont la solution en évidence et elles expriment que la valeur de x doit être ou plus grande ou plus

petite que

Dans le cas où a est nul, l'inégalité (1) est

qui est ou nest peu vérifiée, quelle que soit la valeur de x, suivant que b est ou nest pas positif. L'inégalité est donc, suivant les cas, ou indéterminée (c'est-à-dire vérifiée quel que soit x) ou impossible.

Exemple. — Résoudre l'inégalité conditionnelle :

Chassons, d'abord, les dénominateurs, en multipliant les deux membres par 6; il vient :

IZe — 2.c + 3 > 18.r — 2 j x.

Cette inégalité s'écrit :

I2.r — 2jî — I8.r — x > — 3 — 2, ou — 9.c > - 5

et enfin, en divisant par — 9,