ANALYTIQUE

64. Variation de la fonction ax -\- b. — Le polynôme ax -f- h> où x désigne une variable et a et b des constantes , est une fonction de ar (Voir n° 30) dont la valeur numérique varie en même temps que la valeur de x, lorsque a est différent de zéro. L'étude complète de la variation de cette fonction repose sur les propriétés suivantes :

Théorème I. — La fonction ax -)- b est croissante lorsque a e*7 positif et décroissante lorsque a est négatif.

Supposons, par exemple, a positif et soient x' et x" deux valeurs différentes que nous attribuons à x; la fonction prendra les deux valeurs correspondantes ax' ~f- ^ et ax" -f- b. Or, si

comme a est positif, on a (n° 22, 7Yr. /) :

ax' > ax"

et, en ajoutant b aux deux membres (n° 12),

ax' + b > ax" + b.

La fonction est donc croissante, puisqu'à la plus grande valeur de la variable correspond la plus grande valeur de la fonction (n° 31 ï. Lorsque a est négatif, on a :

ax' < ax"

d'où

ax' -f b < ax" -f b,

et la fonction est décroissante, puisque la plus grande valeur de la variable correspond la plus petite valeur de la fonction.

Théorème II. — La fonction ax -f- b peut, pour une valeur convenable de x, avoir telle valeur que l'on voudra (si a est différent de zéro).

Soit, en effet, c un nombre ; pour que Ja fonction ax -f- b ait la valeur c, il faut et il suffit que x soit racine de l'équation :

ax -f- b = c

NOTIONS DK GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 16:J

qui a toujours une racine et une seule

puisque a est différent de zéro.

Définition. — On dit qu'une fonction, de ar, croit indéfiniment, en même temps que x, lorsqu'à tout nombre positif P (d'ailleurs aussi grand qu'on le voudra) on peut faire correspondre un nombre positif A tel que, pour toute valeur de x dont la valeur absolue est plus grande que À, la valeur absolue de la fonction soit supérieure à P.

Au fond, on peut dire, d'une façon moins précise, que pour des valeurs de x, dont les valeurs absolues sont suffisamment grandes, la valeur absolue de la fonction peut devenir aussi grande qu'on le voudra

On dit qu'une quantité croit indéfiniment par valeurs positives lorsque cette quantité est positive et que sa valeur absolue croit au delà de toute limite. On dit, au contraire, qu'une quantité croit indéfiniment par valeurs négatives lorsque cette quantité est négative et que sa valeur absolue croit indéfiniment (!).

Pour indiquer qu'une quantité croit indéfiniment on emploie souvent un langage abrégé. Ainsi, au lieu de dire que, lorsque x croit indéfiniment par valeurs positives, une certaine fonction croit indéfiniment par valeurs négatives, on dit brièvement que, pour x = -f- °o (ce qui s'énonce x égal plus l'infini), la fonction est égale à — oo [moins r in fini).

Les symboles + °° e* — °° n'ont aucune signification numérique et il faut bien se garder de leur attacher un autre sens que celui que nous venons de leur donner. Ce ne sont que des signes abréviaiifs, conventionnels, pour simplifier le langage et l'écriture. Il n'y a pas, comme nous le savons (n° 12, Th. /), de nombre plus grand ou plus petit que tous les autres.

Enfin, pour exprimer que nous donnons à une variable a?, successivement, et par ordre de grandeur croissante, toutes les valeurs possibles depuis une valeur négative très petite (aussi petite qu'on le voudra) jusqu'à une valeur positive très grande (aussi grande qu'on le voudra), nous dirons, d'une façon abrégée, que nous faisons croître x de — oo à -j- oo.

(I) Il serait plus rationnel do réserver l'expression croit indéfiniment pour le premier cas. où la quantité ost positive, et de dire, dans lo second cas, que la quantité dterott indéfiniment car un nombre négatif, dont la valeur absolue augmente, diminue.

Théorème III. — La fonction ax + b [lorsque a est différent d zéro) croit indéfiniment en même temps que x.

Soit, en effet, P un nombre positif donné. Nous savons que (nMl, Th.!)

| ax + b | > | ax | - | h | ;

donc, si on a :

on aura aussi

I ax -f b | > P.

Or, pour que l'inégalité (1) soit satisfaite, il faut que l'on ait :

et, si on désigne par A le nombre — ; — j — -, pour toute valeur dv

x telle que | x j > A,

on aura

ax + b | > P.

Ce qui exprime que ax + b croît indéfiniment en même temps que x. Remarque. — Pour une valeur de x suffisamment grande, en valeur absolue, on aura

et, par suite, ax -j- b aura le signe de ax. On en conclut que, si a est positif,

pour x = ~[- oo, on a : ax -f- b = + oo ;

pour x = — oo, on a : «x -(- A = — oo ;

et que, .vi a est négatif ',

(en employant le langage abrégé conventionnel).

65. De ce qui précède, on conclut aisément la variation de la fonction.

1° a > 0. — Le théorème III nous apprend que, lorsque x est négatif et suffisamment petit, ax -\- b est négatif et aussi petit que l'on voudra; c'est-à-dire que, pour x = — oo, on a ax -(- // = — oo.

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE