II
Le théorème I nous apprend que, lorsqu'on fait croître or, la fonction croît; et, enfin, le théorème III nous montre encore que, quand x croit indéfiniment, par valeurs positives, ax -\- b croît indéfiniment par valeurs positives. D'ailleurs, le théorème II nous montre que la fonction prends en croissant, toutes les valeurs possibles. On peut donc dire, d'une façon abrégée, que, quand x croit de — ooà+oo, ax -f b croît aussi de — oo à -|- oo.
2° a < 0. — Dans ce cas, pour x =- — «, on a ax -\- b = -j- oo ; la fonction décroit ( Th. I) et, pour x~. - + °o, on a anz -f~ * — — oo. Comme, d'ailleurs, la fonction prend toutes les valeurs possibles, on peut dire que, quand x croît de — « à -}- «, la fonction décroit de -j- oo à — oo.
3° a = 0. — Lorsque a est nul, ax -\-b a, toujours la même valeur numérique, qui est b. La fonction est donc constante.
66. Coordonnées d'un point. — On définit, en Géométrie analytique, la position d'un point dans un plan de la façon suivante : Soient Ox et 0// deux axes rectangulaires sur lesquels des sens positifs sont déterminés. Supposons que, sur Ox, le sens positif soit xfxJ de 0 vers x, et, sur 0?/, de 0 vers »/. Soit M un point quelconque du plan. Abaissons de M les per- »^ pendiculaires MP et MQ sur Oaret Oy fig.9); les mesures algébriques des segments sgOP et *gi)Q sont ce qu'on appelle les coordonnées du point M.
ÛP est Vabcisse
et ÔQ l'ordonnée. On désigne, généralement, Tabcisse par x et l'ordonnée par y. Lorsqu'on énonce les deux coordonnées d'un point, on énonce d'abord I'abcisse et ensuite l'ordonnée : ainsi, lorsqu'on dit que M a pour coordonnées — 3 et 4, on entend par là que son abcisse est — 3 et son ordonnée 4. De cette définition il résulte que tout point M du plan a un seul système de coordonnées; récipro-
MV
an)
i M (jf.yt
-JM"' (IV)
Fig. 9.
quement, étant donnés deux nombres quelconques x et y, il existe un point et un seul qui a pour coordonnées x et y. En effet, il n'y a qu'un point P, sur Ox, tel que
ÔP=:x;
ce point est obtenu en portant sur Ox, h partir du point 0, une longueur OP égale à la valeur absolue de x et dans le sens Ox ou dans le sens Ox', suivant que x est positif ou négatif. De même, il n'y a qu'un point Q, sur Oj/, tel que
ÔQ = y.
Par suite, le seul point ayant pour abcisse x et pour ordonnée */ est le point M d'intersection de la perpendiculaire en P à Ox avec la perpendiculaire en Q à Oy. Les deux coordonnées d'un point définissent donc, sans ambiguïté, la position de ce point dans le plan (').
Les deux axes indéfinis x'x et y' y forment quatre angles, autour du point 0, que nous numéroterons (I), (11), (III) et (IV) en commençant par l'angle xOy et en tournant toujours dans le même sens(/fy. 9 ). Les signes des deux coordonnées x et y d'un point M dépendent de l'angle dans lequel se trouve ce point et on voit de suite que :
Si M est dans l'angle (I) on a : x > 0, y > 0;
» M » (II) » x <0, j/>0;
» M » (III) » x < 0, y < 0 ;
» M ». (IV) » x > 0, y < 0.
Dans les angles, opposés par le sommet, (l) et (III) x et y sont de même signe ; dans les angles, opposés par le sommet, (II) et (IV) x et y sont de signes contraires. Réciproquement, connaissant les signes des deux coordonnées d'un point on connaît celui des quatre angles dans lequel il se trouve.
Remarquons, enfin*, que, pour tout point de l'axe Ox, l'ordonnée est nulle, et que, pour tout point de Taxe 0;/. l'abcisse est nulle.
67. Distance de deux points. — Soient M et M' deux points du plan (fig. 10) de coordonnées x, y et x', y' '. Abaissons, de M et M', les
(I) L'idée do définir la position d'un point dans un plan par doux coordonnées est duo au célèbre philosophe et mathématicien français H ené Descartes (1596-1650). C'est pour cela qu'on nomme, quelquefois, le système do coordonnées que nous venons de définir du nom di» coordonnée» Cartésiennes. La découverte de Descartes fit faire un pas immense aux mathématiques puisqu'elle permit, en appliquant l'algèbre à la géométrie, de substituer, aux méthodes 8ynthetiqo.es de la géométrie pure, la méthode analytiquo de l'algèbre.
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
perpendiculaires MP et M'P', sur ox, et les perpendiculaires MQ, M'Q', sur oy. Soit H le point d'intersection de M'Q' avec MP. On a, dans le triangle rectangle MM'H,
MM' = MH -j- M'H .
Les figures MHQ'Q et MHPP' sont des rectangles, on a donc
-,-a M (jc,ij)
MH = QQ' , MH = PP' .
Or on a, en vertu de la relation — .
de Chaste» in9 23), *'
PP' = OF — OP = x' «F = OQ7 — OQ = y'
D'où :
MM' = (x - x')' + (y - ,/y
Fio. 10.
Le carré de la distance de deux points est donc égal à la somme des carrés des différences des abaisses et des ordonnées des deux points.
