CHAPITRE VI

78. Méthode de résolution par substitution. — Considérons d'abord un système de trois équations du premier degré k trois inconnues :

ax+by + cz = rf, (i) ; ax + b'y + cz = d' ,

Si a est différent de zéro, nous pouvons résoudre la première par rapport à x et, en portant la valeur de x dans les deux autres, nous obtenons le système

d — by — cz

(2) ja,d-%-f;+,,y + c,; = (f>

/ a„ d-by-cz c„z =

qui est équivalent au système (1); car on le déduit du système (1) en remplaçant la première équation par une équation équivalente (n° 55 et 56), la seconde équation par celle que l'on obtient en en retranchant la première multipliée par a! (n° 73, Th. /, Généralisation), et la troisième équation par celle que Ton obtient en en retranchant la première multipliée par a" . Pour résoudre le système (1), il suffit donc de résoudre le système (2). Or, dans le système (2), les deux dernières équations ne contiennent plus que deux inconnues, y et z; on aura donc les valeurs de ces inconnues en résolvant ce système; et, en portant leurs valeurs dans la première équation, on aura la valeur de x.

Exemple. — Soit à résoudre le système :

/ kx — 5y + 2z = 0, (i) 3* .+ 2y + 7z = 28,

En tirant x de la dernière équation et portant dans les autres, on a :

Les deux dernières équations simplifiées donuent :

( y + 6s = 20 , ( by + z = 13;

d'où on tire :

En portant ces valeurs de y et z dans la première équation du système (2), on a :

79. La méthode, que nous venons d'exposer pour les systèmes de trois équations à trois inconnues, s'étend, immédiatement, à un système de n équations à n inconnues et on peut énoncer la règle suivante :

Règle. — Pour résoudre un système de n équations du premier degré à n inconnues, on résoud Vunc des équations par rapport à l'une des inconnues et on porte sa valeur dans les autres équations. On obtient, ainsi, un système équivalent au système proposé (en vertu du Th. I, généralisé, n° 73), dans lequel (n — 1) équations ne contiennent plus que (n — 1) inconnues. On est, ainsi, ramené à résoudre un système de (n — 1) équations à (n — 1) inconnues qu'on traite comme le précédent ; ce qui conduit à résoudre un système de (n — 2) équations à (n — 2) inconnues; et ainsi de suite, de proche en proche. On arrivera, finalement, à une seule équation à une inconnue qui donnera la valeur de cette inconnue. En remontant, de proche en proche, les équations résolues par rapport aux autres inconnues et en y portant, successivement, les valeurs des inconnues déterminées, on aura les valeurs de toutes les autres inconnues.

Exemple. — Soit à résoudre le système de cinq équations à cinq inconnues :

/ x — y + z — t + ti = 0, L le — y + 3s = 1, (t) x + 3y — 2m = 0,

I Zx — 3y + t = 2, \ bs — 4* + 5k = 2.

Algkbre élémentaire. 13

peut élre généralisée. Au lieu de tirer une inconnue x de Tune des équations, pour porter sa valeur dans les autres, on pourrait résoudre deux des équations par rapport à deux des inconnues et porter leurs valeurs, en fonction des autres inconnues, dans les équations restantes. Ainsi, dans un système de trois équations à trois inconnues a\ y et z, on pourrait tirer x et ;/ de deux des équations, en fonction de 2, et porter ces valeurs dans la troisième équation; on obtiendrait, ainsi, une équation à une inconnue z qui donnerait la valeur de cette inconnue.

Dune manière générale, lorsqu'on a n équations à n inconnues on peut, pour résoudre le système, résoudre p équations par rapport à p inconnues, en fonction des (n — p) autres inconnues. En portant les valeurs des p premières inconnues dans les (n — p) équations restantes, on obtiendra un système de (n — p) équations qui fournira les valeurs des (n — p) dernières inconnues. En portant les valeurs de ces (n — p) inconnues dans les expressions des p premières, on aura les valeurs des p premières. On ramène, ainsi, la résolution d'un système de n équations k la résolution de deux systèmes l'un de p, l'autre de (n — p) équations. Il y aura, par exemple, avantage à procéder ainsi lorsque p équations ne contiennent que p inconnues; car on aura, de suite, la valeur de ces p inconnues. La méthode ordinaire, que nous avons développée plus haut, est le cas dep = 1.

On pourrait, en particulier, prendre p = n — 1, c'est-à-dire résoudre (n — 1) équations par rapport à (n — I) inconnues. En portant ces valeurs dans la dernière, on aura une équation à une inconnue qui donnera la valeur de la wièmc inconnue.

Au fond, toutes ces méthodes sont équivalentes, car chacune ramène la résolution d'un système d'équations à des résolutions de systèmes d'un nombre moindre d'équations. En traitant ces systèmes comme le système proposé, et en continuant de la sorte, on est toujours ramené, en dernière analyse, à résoudre des équations à une inconnue. Mais, suivant la forme des systèmes proposés, il pourra y avoir avantage, au point de vue de la simplicité du calcul, à suivre plutôt une marche qu'une autre.

80. Méthode de Bézont. — La méthode de Bézout n'est autre chose qu'une généralisation de la méthode de résolution par réduction pour le cas de deux inconnues (n° 75). Reprenons, rapidement, cette méthode : soit

(M\ S ax + by = c, K } ' a'x + b'y=c',

un système de deux équations à deux inconnues. Pour avoir la valeur de x, on élimine y et, à cet effet, on multiplie les deux équations par des facteurs tels, qu'en ajoutant membre h membre, le coefficient de y soit nul. Dans ce cas simple ces facteurs sont faciles à trouver ; il suffit de multiplier la première par b' et la seconde par — b.

Considérons maintenant le système :

. ax -f- b\i + cz = di (2) ) a'x + b'y + c'z = d\ ( a'x + b,;y + c"z = d";

multiplions la première équation par X, la seconde par V, la troisième par X" et ajoutons, on obtient :

(Xa + XV + XV> + (X* + X'6' + X"6")y + (Xc + XV + X"c")z

= Xrf + X'd' + X"rf",

équation qui pourra, par exemple, remplacer la troisième équation, si X" est différent de zéro (n° 73, Th. I). Prenons X" = 1 et déterminons X et X' de façon que les coefficients de y et de z soient nuls, c'est-à-dire de façon que y et z soient éliminés ; X et X' sont alors les solutions du système

W (xc +XV + c" = 0,

de deux équations à deux inconnues. Ces valeurs de X et X' ainsi déterminées, on aura la valeur de x :

On voit ainsi que, pour trouver la valeur de a?, on est ramené à résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

De même, pour avoir y, il faut éliminer x et z ; il faudra, alors, déterminer X et X' (en prenant toujours X" = 1) de façon que

(Xa + X'a' + a" = 0, w (Xc + XV +c" = 0,

À et X' étant donnés par ce système, on aura :

Xd + Vd' + d" y~~ib+ X'6' + b'' '

On pourrait procéder de même pour z.

. En résumé, on voit que cette méthode ramène la résolution du système proposé à celle de trois systèmes de deux équations à deux inconnues. Lorsqu'on aura trouvé la valeur de x, il sera plus simple, pratiquement, de porter cette valeur dans les deux premières équations (2) et de résoudre le système, à deux inconnues y et z, ainsi obtenu.

Exemple. — Considérons le système :

kx — 5y + 2z = 0, ) 3* + 2y + 7z = 28, [ x— y + 2z = 5.

Multiplions la première équation par X, la seconde par X' et ajoutons à la troisième. Le système proposé est équivalent (n° 73) au système :

dx + 2y 4-7z = 28.

1* Choisissons d'abord X et X' de façon que :

ce qui donne :

et la dernière équation devient :

qui donne : x = i.

2" Choisissons ensuite X et X' de façon à éliminer x el z :

nous aurons :

A 22' ir

et la dernière équation devient :

qui donne : y = 2.

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUS DE DEUX INCONNUES. 199 3" Éliminons, enfin, x et y et, pour cela, prenons X et X' de façon que :

d'où: X==-JL, x==-.±.

la dernière équation s'écrit alors :

d'où z = 3.

81. La méthode de Bézout, que nous venons d'exposer, en détail, pour un système de trois équations à trois inconnues, s'applique, sans modification, à un système de n équations à n inconnues.

Soit, en effet,

(1) A, = 0, A2 = 0, . .. A ,__, =0, An = 0,

un système de n équations du premier degré à u inconnues.

Xp Xj, ... Xn! étant (n — 1) facteurs numériques, nous savons que le système proposé (n° 73) est équivalent au système (2) suivant :

( X, A, + Xj Aâ + •■• + ^n-i A„i + An = 0.

Or, si on peut choisir les facteurs X,, X„ ... Xn t de façon que la dernière équation du système (2) ne contienne plus qu'une seule inconnue, cette équation donnera, de suite, la valeur de cette inconnue. Ceci est en général possible : car, en égalant à zéro, dans la dernière équation du système (2), les coefficients de toutes les inconnues, sauf une, on a, pour déterminer Xf,X2, ,.Xn i, un système de (w — 1) équations du premier degré à (n — 1) inconnues. La méthode de Bézout ramène, ainsi, la détermination d'une inconnue à la résolution d'un système de {n — 1) équations à (n — 1) inconnues. Pour résoudre le système (1) on est donc ramené à résoudre des systèmes à (w — 1) inconnues. En appliquant à ces nouveaux systèmes la méthode de Bézout on sera ramené à résoudre des systèmes à (w — 2) inconnues, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'enfin on parvienne & des équations du premier degré à une inconnue.

Généralisation. — Cette méthode, comme la méthode de substitution, peut encore être appliquée d'une façon plus large. Au lieu

200 ALGÈBRE ÉLÊMEiNTAIKF.

d'éliminer (n — 1) inconnues entre les n équations, pour obtenir une seule équation à une inconnue, on peut éliminer un nombre moindre d'inconnues (n — jp), par exemple, pour obtenir un système ne contenant plus que p inconnues. Ainsi, soit un système de quatre équations du premier degré à quatre inconnues x, j/, z, / :

Ce système est équivalent au système

v ; \ C + XA+tiiB = 0, D + X'A+a,B = 0

(d'après le théorème /du n° 73). Or, dans les deux dernières équations, on pourra disposer des nombres X, \l et X', \l' de façon que ces équations ne contiennent plus les inconnues x et y. Pour cela, on écrira que les coefficients de x et y dans C + X A -f- \l B sont nuls et on aura, pour déterminer X et fx, deux équations du premier degré à deux inconnues. De la même façon, on déterminera X' et \l. On aura, ainsi, éliminé x et y» Les deux dernières équations du système (2) ne contiendront plus que les inconnues z et / et donneront les valeurs de ces inconnues. On portera les valeurs de z et / dans les deux premières équations qui donneront x et y. On aura, ainsi, résolu le système (1) en résolvant quatre systèmes d équations à deux inconnues.

Des procédés analogues pourront être employés pour des systèmes à un nombre quelconque d'inconnues. Considérons, par exemple, un système

de n équations du premier degré, à n inconnues. Ce système sera équivalent {Th. I, n° 73) au système suivant :

A| — - U, Aj — j-- Àj A| — U, ...» Au - j"~ An Aj ■ — Uy

où X„ X3, .... Xn sont n nombres arbitraires. On pourra, évidemment, déterminer X2, Xj,... Xnde façon que les dernières équations ne contiennent plus que (n — 1) inconnues, en égalant à zéro le coefficient d'une inconnue x dans chacune de ces équations. On aura, ainsi, éliminé une inconnue et on sera ramené à résoudre le système des (» — 1) dernières équations à (n — 1) inconnues, qu'on pourra traiter comme le précédent.

EXERCICES

66. Résoudre les systèmes suivants d'équations du premier degré à trois inconnues :

( 12a* + 7y = 109, ï 5y - 2s = 11, ' 3s + àx = 26;

( Sx -f- 4y + 2s = 47, î 5a: — 3y + 1z = 41, ( 7o? — 2y — 5s = 24 ;

r5 +Fo+9 =10'

ï fn>+ï =i3;

/ IOjt + 4y — 5s 4a: 4- 6y — 3s l 5 "" 9 '

J lOx -f 4y — 5s = 4x 4- 6y — 3s — 8, / IOjc + 4y — 5s 4a? -f 6?/ — 3s a? 4- y -f s 10 ^ 3 4