c = 8, d'où x

De même, en éliminant x, on a

- 7y = in,

dou y = — y.

On arriverait au même résultat en appliquant les formules de Cramer :

76. Discussion. — Reprenons le système général de deux équations du premier degré à deux inconnues

1° Si ab' — ba' est différent de zéro, nous avons vu que ce système admet une solution et une seule donnée par les formules de Cramer :

cb' — bc' ne' — ca'

ab' — ba" J ab' — ba!

2° Supposons ab' — ba' = 0, mais supposons que l'un des quatre coefficients a, b, a', b' soit différent de zéro ; par exemple, supposons a différent de zéro. Alors, en vertu du Théorème I (n° 73), le système (1) est équivalent au système

ax -f- by — c = 0, (ax -\-by — c) — a (a'x -f- b' y — c) = 0.

Or, dans ce système, la seconde équation se simplifie, puisque ab' — ba! est nul, et le système s'écrit :

fo\ S ax + by — c=0, W > ac-ca' = 0.

La seconde équation du système (2) ne contient plus les inconnues x et y ; il peut, alors se présenter deux cas :

(A) ad — ca' est différent de zéro. La seconde équation exprime une impossibilité ; le système proposé n'a donc pas de solution, on dit que les deux équations (1) sont incompatibles.

(B) ac' — ca! = 0. La seconde équation du système (2) est alors une identité ; elle est vérifiée quelles que soient les valeurs des inconnues x et y. Pour satisfaire le système (2), et, par suite, le système équivalent (1), il suffit de satisfaire la première équation

ax -j- by = c.

184 ALGÈBRE ÉLÉMEÎNTAIHE.

Le système admet, alors, une infinité de solutions; car on pourra prendre pour y une valeur arbitraire et, à cette valeur, correspondra pour x une valeur bien déterminée donnée par la formule :

c — by

On dit qu'il y a indétermination d'ordre. 1, puisqu'on peut prendre arbitrairement la valeur d'une inconnue.

3° Supposons, enfin, a = a' = b = b' = 0. Dans ce cas, le système ( l, ne contient plus les inconnues et se réduit à

(A) Si Yune des deux quantités c ou c est différente de zéro, ces égalités sont impossibles et le système proposé n'a pas de solution.

(B) Si on a c = cf = 0, les deux équations (1) sont des identités et sont vérifiées quelles que soient les valeurs de x et de y. Il y a indétermination complète, d'ordre 2, puisqu'on peut prendre arbitrairement les valeurs des deux inconnues.

Remarque. — Dans le cas où, a étant différent de zéro, on a, à la lois, aV — ba! = 0 et ac' — ne' =z 0, les deux équations (1) ont leurs coefficients proportionnels.

En effet, les deux conditions précédentes s'écrivent :

aL — aL — -

ou :

abc

On a, aussi :

on en conclut l'identité :

a'x -\- b'y — r' = — (ax -f- by — c )

qui montre bien que, tout système de valeurs de x et y qui annule ax + by — r, annule aussi a'x -}- b'y — r\

Résumé. — Le tableau suivant résume toute cette discussion :

(lbr — bflr =/z 0 une seule solution ; ' , \ OC' — C(lr ^= 0 pas de solution :

/ . . . , \ I (l& — C(l' = 0 indétermination d'ordre I ;

ab — bu' = 0 ; v ,

/ . , , i C OU C zJ=. 0 pas de solution ;

f C = C = U indétermination complète.

Remarque. — La discussion précédente donne lieu à quelques remarques très importantes :

1° On voit, d'abord, que le système

ïab' — ba')x .-- eh' — bc\ {ab — ba')\j — ac' — ca '*

qui conduit aux formules de Cramer, n'est pas équivalent au système

n \ ax + b\i--c, K l a'x+Vy = c\

dans le cas le plus général, puisque, lorsque ab' — baf = 0, cette équivalence n'a plus lieu.

2° Il peut arriver que, lorsqu'on ne sait rien, a priori, sur le système proposé, on applique brutalement les formules de Cramer

bc' — cb' ac' — ca

(*> *-ab' — ba" y-ab'-baf'

Lorsque abr — ba est nul, ces formules nont plus de sens; mais on peut cependant, dans le cas particulier où l'une au moins des inconnues figure dans Tune des équations, en tirer des renseignements sur la nature de la solution.

Supposons, en effet, que l'inconnue x figure dans l'une des équations (1), la première par exemple, alors a est différent de zéro. D'après la discussion précédente, si

ab' — bar = 0 et ac — ca ^ 0,

il n'y a pas de solution et la valeur de y, fournie par les formules(2), se présente sous la forme — où m est différent de zéro. Si, au contraire, on a, à la fois,

ab' — ba' - - 0 et ac' — ca' = 0,

il y a indétermination pour y et la valeur de ;/, fournie par les formules (2), se présente sous la forme -. On peut donc énoncer la

règle suivante :

Si l'une des inconnues figure , effectivement, dans Vune des équations, on se reporte à la formule qui fournit Vautre inconnue: si la valeur de

rt>tte inconnue se présente sous la forme — tï y a impossibilité ; si, au

contraire, la valeur de cette inconnue prend la forme - , il y a indétermination, pour cette inconnue.

3° Il faudrait bien se garder d'appliquer la règle précédente dans un autre cas que celui que nous venons de préciser, ou d'une autre façon. Ainsi, si b et bf sont nuls tous les deux, la valeur de x se

présente sous la forme-, et, cependant, il ne faudrait pas en conclure

qu'il y a indétermination, car, si acr — ca! est différent de zéro, il y a impossibilité. 11 ne faut donc pas dire, d'une façon générale, que le

symbole - indique toujours une indétermination. De même, dans

le cas où

les deux valeurs de x et y prennent la forme -, et, cependant, il n'y a pas indétermination si Tune des quantités c ou cf est différente de zéro.

Exemple I. — Soit le système :

< x — y + 3 = y — 2x + 10, t Ix — 3y — 2 = x + y + 1.

Il s'écrit, en simplifiant :

On voit que :

aV — ba' = 12 — 12 = 0; ac' — ca' = 9 — 42 = — 33 ^ 0 ;

le système n'a donc pas de solution. D'ailleurs, ceci s'aperçoit directement, car, si, pour éliminer .t\ on multiplie la première équation par 2 et qu'on

eu retranche, membre à membre, Ta seconde, on élimine, du même coup, y et on arrive à V impossibilité suivante :

Exemple II. — Considérons encore le système :

(I) ( Xp + y = i,

où X est une quantité supposée connue. On a, ici,

ab' — ba' = X — i ;

donc, si le nombre X est différent de 1, le système admet une solution et une seule :

Si, au contraire, X = l, al/ — ba' est nul; mais alors le système devient :

Les deux équations sont identiques et il y a indétermination. On peut donner à x une valeur arbitraire et la valeur correspondante de y est donnée par la formule :

On serait arrivé aux mêmes résultats en cherchant à résoudre directement le système (1), par exemple par la méthode de substitution. De la seconde équation du système (1), tirons la valeur de y et portons-la dans la première; nous aurons le système équivalent (n° 74) :

Si X est différent de i, la première équation donne, pour x, une valeur

et, en portant dans la seconde, on a :

Si, au contraire, X = 1,1a première équation devient une identité et la seconde se réduit à

qui est la seule à vérifier. II y a donc indétermination; on peut donner à x une valeur arbitraire et la valeur correspondante de y est donnée par celte formule.

77. Interprétation géométrique. — La représentation géométrique de la variation d'une fonction par une courbe (n0i 66 à 69) nous donne une interprétation très intéressante de la discussion précédente. Traçons dans un plan deux axes rectangulaires ox

et oy. Nous savons (n° 68) que tous les points dont les coordonnées vérifient la relation

ax + by+c=0 (!)

sont sur une droite BC [fig. 22). De même, l'équation

représente une autre droite BC Résoudre le système des deux équations (1) et (2), c'esl trouver les coordonnées d'un point situé, à la fois, sur les deux droites, c'est-à-dire, du point d'intersection M des deux droites BC et B'C. Supposons b et b' différents de zéro, nous pouvons écrire les équations des deux droites sous les formes équivalentes

Fig. 22.

Or, d'après ce que nous avons vu (n« 68), les équations

y=—-x et y =

sont les équations des deux parallèles OA et OA' menées, aux droites

a BC et B'C, par le point 0. (A est le point de coordonnées : 1, — j, el

A' a pour coordonnées : 1, — -p y

1° Si est différent de — 77, c'est-à-dire si abT — bar est di/f*'1-

rent de zéro, les droites OA ctOA' sont distinctes (caries points A et A'

ne coïncident pas). Par suite, les droites BC et B'C ne sont pas

parallèles et se coupent en un point M, et un seul. Il y a donc une

solution, et une seule.

ci ar

2° Si — t = — -, c'est-à-dire si ab' — ba! = 0, les deux droites

OA et OA' coïncident et, par suite, les droites BC et B'C sont ou paral-

Fig. 23.

lèles ou confondues (fig. 23). Or, les abcisses des points C et C, oîi

ces deux droites coupent Taxe oxy sont et - (on les obtient

en faisant y = 0 dans les équations (1) et (2)) ; d'où, deux cas :

(a) Si est différent de — —, c'est-à-dire ac' — ca! est différent

de zéro, les deux points C et C sont distincts et, par suite, les deux droites BC et BC sont parallèles. Les deux droites n'ont aucun point commun et il n';/ a pas de solution.

(b) Si = • , c'est-à-dire si ac' — ca' = 0, les deux points

C et C sont confondus et, par suite, les droites BC et B'C coïncident. Tout point de Tune des droites appartient à l'autre; il y a une infinité de points communs, il y a donc une infinité de solutions.

Nous retrouvons, ainsi, les résultats de la discussion précédente

par une voie géométrique qui précise le sens des résultais ('}. D'ailleurs, réciproquement, on aurait pu se servir de la discussion algébrique pour en tirer des conclusions géométriques et on peut dire que, de la discussion du n° 76, résultent les trois propositions suivantes :

I. La condition nécessaire et suffisante pour que les deux droites, qui ont pour équations

ax -f- by -f- c = 0, a'x + b'y + c = 0,

ne soient pas parallèles est

ah' — ba' ^ 0.

II. Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux droites, dont les équations sont

ax -f- by + c = 0, a'x + b'y +c' = 0,

soient parallèles et distinctes sont :

db' — ba'=zQ et ac' — ca' ^ 0

(en supposant a ^ 0) (*).

III. Les conditions nécessaires etsuffisantespourque les deux droites, dont les équations sont

ax -f- by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0,

soient confondues sont

ab' — ba' = 0, ac' — ca' = 0, bc' —cb'=:Q

(dont une est toujours conséquence des deux autres), ou encore

En d'autres termes :

Pour que deux équations du premier degré représentent la même droite il faut et il suffit que leurs coefficients soient proportionnels.

(1) Dans cette discussion géométrique, il n'jr a pas lieu d'examiner le cas on

car, dans ce cas, les équations (1) et (î) ne représentent plus des droites.

(2) Si a et a' sont nuls, il faut que 6 et 1/ soient différents de zéro et la condition *c' — ear ^ 0 doit être remplacée par 6e7 — eb' ^ 0.

EXERCICES