CHAPITRE VII

82. Résoudre un problème, c'est trouver certaines quantités appelées inconnues, connaissant certaines relations entre ces quantités et d'autres quantités connues qu'on appelle les données du problème. Pour résoudre un problème par l'algèbre, on désigne l'inconnue ou les inconnues par des lettres (en général #, y, z, t ...) et on traduit algébriquement les relations qui existent entre les données et les inconnues. On est, ainsi, conduit à résoudre un certain nombre d'équations qui fournissent les valeurs des inconnues. On dit qu'un problème est du premier degré si sa résolution n'exige que la résolution d'équations du premier degré. Le problème est dit du second degré si sa résolution se ramène à la résolution d'une équation du second degré. D'une manière générale, un problème est dit du rtf*ma degré si sa résolution se ramène à celle d'une équation de degré n.

La solution de questions arithmétiques nous a déjà fourni des exemples de ce genre. Ainsi, reprenons le problème suivant (*) :

On sait que 25 litres de vin coûtent 32fr,25 ; on demande combien coûteront 37 litres du même vin.

Ici, les données sont : 25 litres et leur prix 32,r,25 ; d'autre part, 37 litres dont l'inconnue est le prix. La relation entre les données et l'inconnue x n'est pas donnée explicitement, mais on suppose implicitement que, suivant les conventions habituelles, il y a proportionnalité entre le prix et le nombre îles litres de vin. On a, alors, la relation

ce qui n'est autre chose qu'une équation du premier degré à une inconnue qui donne :

De même, dans ce qui précède, nous avons déjà, plusieurs fois, donné des exemples de résolutions de problèmes par l'algèbre. Dans les nM 24 et 25, nous avons traité tous les problèmes simples, relatifs au mouvement uni- Ci) Voir Leçons d'arithmétique de M. Tannery, page 337, n* 372.

forme; dans les nM7t et 77 nous avons résolu les problèmes suivants : « trouver le point d'intersection d'une droite avec Taxe ox » et « trouver le point d'intersection de deux droites quelconques ».

Traitons, d'abord, quelques exemples simples.

Exemple I. — Trouver la longueur de V arête d'un cube sachant que la somme des longueurs de toutes ses arêtes est égale à la somme des longueurs des arêtes d'un parallélépipède dont les dimensions sont a, b, etc.

Soi ta: la longueur inconnue de F are le du cube. Le cube a 12 arêtes égales à x et le parallélépipède a 4 arêtes égales à a, 4 arêtes égales à 6 et 4 arêtes égales à c. On doit donc avoir

12a? = 4a + 46 -f 4c, d'où Ton tire :

Exemple II. — Trouver un nombre sachant que si on le multiplie par 2 et que du résultat on retranche 3, on obtient le même résultat que si on avait divisé ce nombre par 5 et qu'au résultat on eût ajouté 3 fois ce nombre augmenté de 2.

Soit x\e nombre cherché. De l'énoncé même il résulte qu'on doit avoir :

Ce qui donne, en résolvant cette équation,

Exemple III. — Trouver le millésime d'une année sachant que ce nombre a 4 chiffres et que :

\° La somme des chiffres est 23 ;

2* La somme du chiffre des mille et du chiffre des centaines est égale au chiffre des dizaines ;

3* Le chiffre des centaines est égal au doidrte de l'excès du chiffre des dizaines sur le chiffre des unités ;

4° Le double du chiffre des dizaines est égal à 3 fois la somme du chiffre des mille et du chiffre des unités.

Soit x le chiffre des mille, y celui des centaines, z celui des dizaines et t celui des unités. Les quatre parties de l'énoncé nous donnent les quatre équations suivantes :

En résolvant ce système, on trouve :

Le millésime cherché est donc 1895.

83. Discassions. — Un grand nombre de problèmes n'ont des solutions que si les inconnues satisfont certaines conditions restrictives qui tiennent à la nature même du problème. Or, lorsqu'on traduit algébriquement l'énoncé, de façon à obtenir les équations du problème, on ne tient pas compte de ces conditions, de telle façon que les solutions des équations pourront fort bien ne pas convenir au problème. Ainsi, dans Y Exemple III précédent, il fallait, évidemment, que les nombres trouvés, pour les quatre inconnues, x, ?/, zet/, soient positifs ou nuls, entiers et plus petits que 10. Si la résolution des équations avait fourni, pour x, y, z et t, des valeurs plus grandes que 10, fractionnaires ou négatives, le problème proposé n'aurait pas eu de solution, quoique le système des équations, auquel il conduit, en ait une.

Si les données du problème sont numériques, il n'y aura qu'à vérifier si les solutions du système d'équations, auquel conduit le problème, satisfont bien les conditions restrictives de l'énoncé. Si elles ne les satisfont pas, on pourra affirmer que le problème proposé n'a pas de solution.

Exemple IV. — Une personne possède 10 pièces d'argent, les une* de 5 francs et les antres de 2 francs, formant une somme totale de 40 francs. On demande combien elle a de pièces de 5 francs et combien de pièces de 2 francs.

Soit x le nombre des pièces de 5 francs et y le nombre des pièces de 2 francs. Il y a en tout 10 pièces, donc :

Les x pièces de 5 francs valent 5a? francs et les y pièces de 2 francs valent 2y francs, on doit donc avoir :

En résolvant le système des deux équations (1) et (2) on trouve :

* = T' y=zT

Or, d'après sa nature môme, le problème doit avoir pour solution un système de deux nombres entiers, vérifiant les équations (1) et (2) : puisque les nombres qui vérifient ces équations sont fractionnaires, le problème rCa pas de solution.

Lorsqu'au contraire les données du problème sont représentées par des lettres, en exprimant que les solutions des équations satisfont les conditions restrictives, on trouvera certaines conditions que devront satisfaire les données pour que le problème soit

possible. C'est la recherche de ces conditions qu'on nomme la discussion du problème.

Ainsi, discuter un problème c'est trouver les conditions que doivent satisfaire les données pour que le problème soit possible.

Exemple V. — Dans une course de 3 chevaux A, B, C :

on rend a fois la mise si le cheval A a)rive premier

On demande quelles sont les mises qu'un joueur doit placer sur les 3 chevaux pour gagner, certainement, une somme s.

Soit x la mise sur le cheval A, y la mise sur le cheval B, z la mise sur C. Dans tous les cas, la somme que touche le joueur, après la course, doit être égale à sa mise totale x + y + z, augmentée de la somme s, qu'il veut gagner. Or, si A arrive premier, il touche a fois sa mise, c'est-à-dire ax; si B arrive, il touche by ; et si C arrive, il touche cz. On doit donc avoir, pour les trois cas :

.ax = s + x + y + z,

■ by = s + x + y + z,

( cz =zs + x + y + z.

En résolvant ce système de trois équations à trois inconnues on trouve :

en posant :

Discussion. — Pour que le problème soit possible il faut et il suffit que les valeurs trouvées pour or, y et z soient positives. Or, a, b, c, s étant des nombres positifs, il faut, pour cela, et il suffit, que 1 — m soit positif, c'està-dire que Ton ait :

ou

« + b * c< îm

Donc le problème proposé n'est possible que si la somme des inverses des cotes a, b, c des chevaux est plus petite que 1.

Exemple VI. — Calculer les longueurs des côtés d'un triangle isocèle connaissant son périmètre 2p et la hauteur h relative à la base.

Soit x la longueur commune des côtés égaux AB et AC (t\g. 24), y la longueur de la base. Le périmètre est, évidemment, 2a? + !/• On a donc, d'abord,

2x + y = 2jp (1).

Soit AD la hauteur relative à la base. Dans le triangle rectangle ABD on a :

c'est-à-dire