AB2 = AD2 + BD
Tirons y de l'équation (1) :
en portant dans l'équation (2), on trouve :
ou
ce qui donne :
0 = A* + p* — 2px;
hfi±j£
et, par suite,
ps
Discussion. — Pour que le problème admette une solulion, il faut que les valeurs trouvées, pour a? et y, soient positives, et, qu'avec ces longueurs, ou puisse construire un triangle isocèle, c'est-à-dire que la longueur y de la base soit plus petite que la somme 2x des autres côtés.
Or, la valeur trouvée pour x est, manifestement, positive. Pour que la valeur de y soit positive il faut que
p* > h* ou p > h.
Enfin, il faut encore que l'on ait :
y <%c c'est-à-dire
p2 — ft» ^ pM-A*
ce qui a toujours lieu.
La seule condition de possibilité du problème est donc :
Le demi-périmètre doit être plus grand que la hauteur.
84. Interprétation des solutions négatives. — Il arrive, fréquemment, que, dans un problème, plusieurs hypothèses sont
possibles sur la forme du résultat, parce que l'inconnue est une grandeur susceptible d'être comptée dans deux sens opposés. En général, on peut, en faisant une convention sur le signe de Tinconnue, établir cependant un système d'équations qui convienne à tous les cas. Nous avons vu des exemples de cette nature dans les problèmes du mouvement uniforme et, en convenant de considérer le temps comme positif ou négatif, suivant qu'il est passé au futur, et les distances comme positives ou négatives, suivant qu'elles étaient portées dans un sens ou dans le sens opposé, nous sommes parvenus aune formule unique (n° 25) qui convenait à tous les cas.
Exemple VIL — Un joueur entre au jeu avec une mise de 100 francs; il joue deux coups, et on demande quelle est la somme qu'il a gagnée ou perdue sachant qu'au premier coup il a gagné le double de ce qui lui reste à la fin du second coup et qu'au second coup il a perdu 1 50 francs.
Soit x le nombre de francs gagnés ou perdus, x désignant un nombre positif s'il y a gain et un nombre négatif s'il y a perte (voir n° 26).
Dans les deux cas, il lui reste à la fin de la partie 100 -f x francs. Au premier coup il gagne 2 (100 + x) francs, il possède donc 100 + 2(1 00 + x) fr. Au second coup il perd 150 francs; il lui reste donc 100 + 2(1 00 + x) — 150 fr.; somme qui doit être égale à 100 + x. Ce qui donne, dans tous les cas, Téquation :
d'où on tire :
Le résultat est négatif. Le joueur a donc perdu 50 francs.
Dans des problèmes de cette nature, lorsque les données sont littérales, discuter le problème ce sera, non seulement rechercher les conditions que doivent satisfaire les données pour que le problème soit possible, mais encore examiner, suivant les diverses valeurs que peuvent prendre ces données, la forme qu'afTecte le résultat. Nous allons étudier, comme exemple de ce genre de discussions, le problème classique des courriers.
Exemple VIN. — Deux courriers marchent, d'un mouvement uniforme, avec des vitesses v et v', sur une même route, dans le sens de A vers B (fig. 25). On sait que le second courrier a passé au point B h heures après le passage du premier courrier au point A. On demande en quel point de la route les deux courriers se sont rencontrés. La distance AB est égale à d.
Soit M Je point de rencontre des deux courriers.
Le point M peut occuper trois positions sur la route, fl peut élre avant le point A, entre A et B ou au delà du point B. Prenons comme sens
positif, sur la route, le sens de A vers B, et désignons par x le segment
AM. Choisissons, comme origine du temps, l'instant du passage du premier courrier en A et soit t l'instant où a eu lieu la rencontre, t désignant un nombre positif ou négatif, suivant que cet instant suit ou précède le passage
A MB
Fig. 25.
du premier courrier en A. De la façon dont nous avons choisi le sens
positif, on a
AB = d > 0
et les vitesses v et v' des deux courriers sont positives.
Le premier courrier est, à l'instant t = 0, au point x = 0, il a une vitesse v; l'équation de son mouvement est donc (n° 25) :
(1) x=vt.
Le second courrier est, à l'instant t = h (> 0), au point x = d; l'équation de son mouvement est donc :
Ou aura l'abcisse x du point de rencontre et l'instant t de cette rencontre en résolvant les deux équations (1) et (2) qui sont valables pour tous les cas, à cause de la généralité (n° 25) des équations du mouvement uniforme. Éliminons t entre les équations (1) et (2) et nous aurons, pour déterminer x :
(3) {v — v')x = v(d — hv').
Discussion. — Si v est différent de v', cette équation donne, pour .r, toujours une valeur
__ y(d — hv')
qui est toujours acceptable (qu'elle soit positive ou négative). Il reste à étudier quelle position occupe Je point de rencontre M suivant les diverses valeurs des données v, v'f h et d. Nous distinguerons, à cet effet, deux cas :
i* Soit v > v'. — Le dénominateur de x est alors positif et le signe de x est celui de d — hv'.
Si d < /«?' a? est négatif, le point M est avant le point A.
Si d > hv\ x est positif, le point M est au delà du point A; mais il faut encore reconnaître s'il est avant ou après le point B. Pour que le point M soit avant le point B il faut que x soit plus petit que d, il faut donc avoir
AUifeBRE ÉLÉMENTAIRE. 44
210 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
ou, comme o — v' > 0,
t>(d — hv')<d(v — r'),
ce qui donne :
d < /ir.
Cette condition n'est pas incompatible avec la condition
d > hv',
car, v étant plus grand que v', hv est aussi plus grand que hv' et d peut être compris entre les deux.
Enfin, si
d > /iv,
la valeur de x est plus grande que d et le point M est au delà du point B.
2° v < v'. — Le dénominateur de x est négatif, x est du signe contraire à celui de d — hv'. En suivant la môme marche que précédemment, on arrive aux conclusions suivantes :
Si d > hv', on a : x < 0, le point M est avant À;
Si hv < d < hv'y on a : 0 < x < d, le point M est entre A et B;
Si d < hv, on a : x > d, le point M est au delà de B.
3° Cas de v = v'. — Nous avons supposé jusqu'ici v *£ v'. Si v est qrai à v1, l'équation (3) se réduit à
Q=zv(d — hv')
et on voit que, si d est différent de hv' (ou hv), l'égalité est impossible. Le problème, dans ce cas, n'a pas de solution; les deux courriers ne se rencontrent pas. Si d est égal à hv' et à hv l'équation (3) devient une identité; le problème est indéterminé. Les deux courriers, dans ce cas, marchent ensemble.
Ces derniers résultats s'expliquent aisément. Puisque v = v',les deux courriers ont la même vitesse. Si donc, à un instant quelconque, ils sont à une certaine distance l'un de l'autre, ils resteront indéfiniment à la même distance et, par suite, ne se rencontreront jamais. Mais si, au contraire, à un certain moment, les deux courriers sont ensemble, ils resteront indéfiniment ensemble. On pourrait, aisément, expliquer d'une façon analogue les résultats de la discussion des deux premiers cas.
On peut réunir tous les résultats en un seul tableau :
' d < Ai/, x < 0, M est avant A.
v > t/ | hv' < d < Ae, 0 < x < d, H est entre A et B.
F d > At\ x > r/, M est au delà de B.
/ d > hv\ x < 0, M est avant A.
v < v' ) hv' > d > Aj\ 0 < x < d, M est entre A et B.
I '/ < At\ *><1, M est au delà de B.
i \ d *£ A»', H n'y a pas rencontre.
t d = A»7 = Ar, Les deux courriers marchent ensemble.
Remarque. — Dans l'exemple précédent, l'énoncé ne comportait qu'une seule inconnue x. Cependant, pour mettre le problème en
équations, nous avons pris deux inconnues x et /. La seconde inconnue / ne nous a servi que comme intermédiaire de calcul, aussi, n'avons-nous pas calculé sa valeur que nous n'avions pas besoin de connaître. On aurait pu, évidemment, former immédiatement une seule équation ne contenant que la seule inconnue x, mais cela eût été moins commode et, au fond, on aurait eu à faire les mêmes calculs, en écrivant que les deux courriers passent au même instant / au point M. L'inconnue t est ce qu'on appelle une inconnue auxiliaire. Dans beaucoup de problèmes il est commode d'introduire, ainsi, des inconnues auxiliaires, dans le calcul, inconnues dont il est inutile de calculer la valeur.
85. Lorsque, dans un problème qui, d'après son énoncé même, n'admet que des solutions positives pour les inconnues, on trouve, pour ces inconnues, des valeurs négatives, on est conduit à en conclure que le problème, tel quil a été posé, n'a pas de solution. Cependant, dans bien des cas, on peut substituer, à l'énoncé donné, un énoncé plus général dans lequel l'inconnue est susceptible d'être comptée dans deux sens différents et pour lequel, par suite, une solution négative a un sens. Le problème proposé n'est, alors, qu'un cas particulier de ce problème plus général. Trouver cette généralisation de l'énoncé c'est ce qu'on appelle interpréter la solution négative.
Exemple IX. — Un père a 50 ans, son fils en a 30. Dans combien d'années ?*\ge du père sera-l-il double de Vâgc du fils ? Soit a? le nombre d'années inconnu. On devra avoir évidemment
50 + a = 2(30 + x); on en tire
Discussion. — On trouve pour x une valeur négative. Or, le problème, tel qu'il a été posé, ne comporte qu'une solution positive : il n'a donc pas de solution. Cependant, modifions l'énoncé de la façon suivante : « TJnpère a 50 ans, son fils en a 30. A quelle époque l'âge du père est-il double de l'dge du fils? » Dans ce nouvel énoncé on ne précise plus que l'époque cherchée est postérieure à l'instant actuel. Soit alors or le nombre d'années qui sépare l'instant actuel de l'instant cherché, x étant positif ou négatif, suivant que cet instant suit ou précède l'instant actuel. On aura, encore,
50 + a; = 2(30 + *) et # = — 10;
mais ici la solution négative a un sens, elle indique que l'instant cherché précède de 10 années l'instant actuel. 11 y a bien une époque à laquelle l'Age
212 ALUKBRË ÉLÉMENTAIRE.
du père est double de l'Age du fils, mais cette époque est antérieure à J'époque actuelle.
Exemple X. — Deux trains, allant de Lyon à Marseille, sont partis de Lyon, le premier à 9 h. 1/2 du malin et le second à 10 heures. Le premier train marche à raison de 50 kilomètres à l'heure et le second à raison de 45 kilomètres à l'heure; on demande à quelle distance de Lyon ils ne rencontreront.
Soit x celte dislance, évaluée en kilomètres; on devra avoir :
x i x ÏÔ~~2 ~*~45'
en écrivant que le premier train met une demi-heure de plus que le secoml à aller de Lyon au point de rencontre. On tire de là :
Discussion. — La solution étant négative, le problème proposé n'a pas de solution. Mais modifions l'énoncé de Ja façon suivante : « Deux trains, allant dans la direction de Lyon vers Marseille, ont passe" à Lyon, le premier à 9 h. 1/2... elc... » Ce nouvel énoncé n'indique plus que la rencontre devra avoir lieu nécessairement après Lyon et, cette fois, cette rencontre pourrait avoir lieu avant Lyon. Soit alors a? la distance du point de rencontre comptée positivement après Lyon et négativement avant. Les équations des mouvements des deux trains sont, en prenant 9 h. 1/2 du matin comme origine du temps et en désignant par t le temps en heures :
' x = mt,
En égalant les deux valeurs de t on a, pour déterminer x, la même équation que précédemment :
ap I , x t
d'où
Ici la solution négative a un sens; la rencontre avait eu lieu 225 kilomètres avant Lyon.
Ces deux exemples suffisent à faire voir comment il faut procéder pour interpréter une solution négative. D'une manière générale, lorsque la résolution d'un problème conduit aune solution négative et que l'inconnue est susceptible d'être comptée dans un sens différent de celui dans lequel elle est comptée dans l'énoncé, on peut souvent interpréter cette solution négative. Pour cela, on généralise Ténoncé de façon que l'inconnue puisse être comptée dans deux sens différents. Si l'interprétation est possible, on devra, en faisant
PROBLÈMES DU PHEUIEK MX, HÉ. m
une convention sur le signe de l'inconnue, pouvoir établir une équation unique, s'appliquant à tous les cas de renoncé généralisé. Cette équation devra être identique à l'équation fournie par l'énoncé particulier proposé.
Remarque I. — On voit que, chaque fois que la solution négative s'interprète, elle indique que l'inconnue doit être comptée dans un sens différent de celui de l'énoncé. Mais il faudrait bien se garder de croire que toutes les solutions négatives sont susceptibles d'interprétation et admettre, sans justification, qu'une solution négative fournit une solution du problème obtenu en changeant le sens de l'inconnue.
Remarque II. — Pour interpréter les solutions négatives, on peut encore procéder de la façon suivante : Au lieu de généraliser l'énoncé, on le modifie en changeant le sens dans lequel on compte l'inconnue. On met le nouveau problème en équation. Toute solution positive de cette nouvelle équation donne une solution comptée dans le nouveau sens. Par suite, si les solutions négatives de l'équation proposée s'interprètent, c'est-à-dire fournissent une solution dans laquelle le sens de l'inconnue est changé, la nouvelle équation devra admettre, comme solutions positives, toutes les valeurs absolues des solutions négatives de la première équation et, d'ailleurs, par réciprocité, comme solutions négatives, les solutions positives, changées de signe, de la première équation. Donc, pour que les solutions négatives s'interprètent, il faut et il suffit que la nouvelle équation se déduise de la première en changeant x en — x. Cette règle est connue sous le nom de Règle de Descartes.
86. Dans ce qui précède nous avons donné des exemples où, plusieurs hypothèses différentes étant possibles sur la forme de la solution, on pouvait trouver une équation unique, bonne pour tous les cas. Ceci n'aura pas toujours lieu, et nous allons montrer, par des exemples, qu'il peut arriver que chaque cas donne lieu à une équation différente. Il faudra, alors, examiner chaque cas isolément.
Exemple XI. — Soit AB un diamètre d'un cercle. Trouver sur la droite indéfinie AB un point M tel que, si, de ce point, on mène la tangente MT au cercle, la somme des deux longueurs MA el MT soit égale à une longueur donnée a f/ïflr- 26).
Le point cherché peut avoir deux positions différentes sur AB. Il peut élre en M, à gauche de A, ou en M', à droite de B.
Premier cas. — Soit 0 le centre du cercle et R son rayon. Dans le triangle rectangle MTO on a :
MT = VW — OT1 .
ALGKHHK KLKMKNTAIHK.
Soit x la distance MA. On a :
MO = R -h x
et, par suite,
MT = \/(R -f »)» — R*.
x est donc racine de l'équation irrationnelle
Pour résoudre, isolons le radical :
\ (R + a?)8 — Rf = a — x ce qui donne, en élevant au carré et simplifiant :
d'où
2Rj? es a8 — 2axy
FlO. 26.
Discussion. — Comme nous avons élevé l'équation (1) au carré, il faut encore vérifier si cette valeur de x satisfait l'équation (i) et non l'équation obtenue en changeant le signe du radical (Voir n° 61). Pour cela, il suffit que a — x soit positif, c'est-à-dire que x soit plus petit que a, ce qui a lieu. D'ailleurs, la valeur trouvée pour x étant positive, la solution est acceptable.
Deuxième cas. — Supposons le point en M', a droite de B; prenons toujours pour inconnue la distance AM; = x. On a, encore, dans le triangle OM'T'
or = y/ow* — or* .
Or, ici,
OM' = x — R
et l'équation qui donne x est :
ou :
Cette nouvelle équation est tout à fait distincte de l'équation (i),car lorsqu'on y change x en — x on ne retrouve pas l'équation (l)»ce tp" devrait, évidemment, avoir lieu si l'équation (1) pouvait servir pour les deux cas, à condition de considérer x comme négatif lorsqu'il est compte
dans le sens de A vers B. En élevant au carré l'équation (2) et résolvant, on trouve, en supposant R différent de a :
Discussion. — Il faut, d'abord, que la valeur trouvée pour x satisfasse bien l'équation (2), ce qui exige que celle valeur soit plus petite que a, c'est-à-dire que
Si a est plus petit que R cette inégalité est vérifiée, car le premier membre est négatif et le second positif.
Si a est plus grand que R on peut multiplier par a — R qui est positif et on doit avoir
a* < 2a8 — 2aR,
I*a valeur de x ne vérifie donc l'équation (2) que si
a < R ou a > 2R.
Mais il faut, en outre, pour que la solution ait un sens, que cette valeur de x soit positive, ce qui donne :
Il en résulte que le seul cas où il y a une solution de la seconde forme est celui où a est plus grand que 2R.
Le problème admet donc toujours une solution M et la solution M' n'existe que quand a > 2R.
Exemple XII. — Étant donnés deux points Ac/B sur une droite indéfinie,
MA
trouver, sur cette droite, un point M tel que le rapport jttk ««'* m»« valeur
donnée k (positive).
Le point M peut occuper sur la droite AB trois positions différentes : il
Fio. 27.
peut être entre A et B, à l'extérieur de AB, du côté de A, ou à l'extérieur de AB, du côté de B.
Premier cas. — Supposons le point M entre A et B (fi g. 27). Désignons par a la dislance AB et soit x la distance AM. On doit avoir
210 ALGÈKUE ÉLÉMENTAIRE.
d'où :
Celte valeur est acceptable car elle est positive et plus petite que a.
Second cas. — Supposons le point M à l'extérieur du segment AH (fig. 28). Prenons, alors, comme sens positif sur la droite AB le sens de A
Fig. 28.
vers B et désignons par x Je segment AM; on aura toujours, en grandeur el en signe,
BM = ÂM — ÂB = a? — a,
quelle que soit la position du point M sur AB.
Or, lorsque le point M est à l'extérieur de AB, les deux segments AM et BM sont de même sens et on a, pour les deux cas :
MA £S x
MH "~ BM ~~ # — a Donc l'équation qui donne x est
x — a pour les deux cas. On en tire, en supposant k différent de 1 :
ka
Discussion. — Lorsque A* est plus petit que 1, la valeur trouvée pour x est négative, ce qui indique que le point M est du côté de A. Lorsque k est plus grand que 1, x est positif. Mais, pour que cette valeur
soit acceptable, il faut qu'elle soit plus grande que a, ce qui a lieu, car .__:
est plus grand que 1.
En résumé, il existe toujours deux points répondant à la question, l'un situé entre A et B, l'autre si lue à l'extérieur de AB, du côté de A ou du côté de B, suivant que k est plus petit ou plus grand que 1.
Dans le cas particulier de k = 1, il n'y a plus qu'une solution : la première. *
Si on fait tendre k vers i la seconde solution croit indéfiniment; on peut donc dire que, quand k tend vers 1 , le point extérieur s'éloigne indéfiniment.
EXERCICES
73. Les rois d'une dynastie ne portèrent que 9 noms différents. Le premier nom fut porté par le tiers des rois; le second nom par le quart; le troisième par lf huitième; le quatrième par le douzième tïes rois. Enfin, les cinq autres noms w furent portés chacun que par un roi. De combien de rois se composait la dynastie?
(TODHCNTER).
PROBLÈMES Dl PHKMIKH DKtiRË. -217
74. Quels sont les points Ou cadran d'une montre où se font les rencontres des deux aiguilles?
75. Une montre avance de 3 minutes en 2 A heures. On Ta mise à l'heure le l#r avril à midi. Quelle heure sera-t-il le 3 avril lorsqu'elle marquera 9 heures du matin?
76. Trouver deux nombres entiers consécutifs sachant que la différence de leurs carrés est 15.
