Équations trinômes. — Toute équation trinôme

(1) ax* + bxq + cxr = 0

peut être résolue au moyen (Tune équation du second degré et d'équations binômes dans le cas où les exposants p, q, rsont tels que Von ait :

Soit, en effet, m la différence q — r. On aura

et p = q -f- m = 2m -(- r.

L'équation (1) s'écrit, alors,

«■" + ' + tem+r + c*r = 0 ou, en mettant xr en facteur,

xr [ax + bx" 4~ c] = 0.

Sous cette forme on voit que l'équation admet, d'abord, la racine x = 0 ; puis, les racines de l'équation :

(2) ax2m + bxm + c = 0.

Pour résoudre cette équation on la traite comme l'équation bicarrée qui n'en est, d'ailleurs, que le cas particulier de m = 2. On pose :

et on voit que, x étant une racine de l'équation (2), xm est racine de l'équation du second degré :

(3) «y* + hj + c = 0.

D'ailleurs, réciproquement, y étant une racine de l'équation (3), toute racine x de l'équation binôme :

(4) xm = y

est une racine de l'équation (2).

On obtiendra donc toutes les racines de Vèquation (2) en résolvant Véquation (3) ; et en résolvant, ensuite, autant dyéquations binômes^ de la forme (4), que cette équation (3) a de racines y.

(1) La condition p — q « q — r exprime, comme nous le verrons plus tard (n* 129), que les trois exposants/), q et r forment une progrestion arithmétique.

Exemple. — Soit à résoudre l'équation :

x1 — 3a:* — Ix = 0.

On a, d'abord, la racine x = 0. En divisant par a?, il reste l'équation :

a?8 — Zx* — 4 = 0.

Posons : a?3 = y

et nous aurons la résolvante :

dont les racines sont 4 et — 4. L'équation ptoposée a donc pour racines celles des deux équations binômes :

a?* = 4 et a*= — 1, qui ont, chacune, une racine :

x = V* et a? = — 1.

L'équation proposée a donc les trois racines :