ÉQUATIONS BINOMES

proque de degré impair admet soit la racine 1, soit la racine — 1. En débarrassant l'équation de cette racine, on ramène sa résolution à celle d'une équation réciproque de degré pair.

102. Équations binômes. — Une équation binôme est une équation entière qui ne contient que deux termes. Toute équation binôme est donc de la forme :

Àa?" + Bxq = 0.

Soitp > q, on peut mettre xq en facteur et écrire l'équation de la façon suivante :

xq [\x^q + B] = 0.

Ceci montre que l'équation admet d'abord la racine x = 0; puis, les racines de l'équation :

kof-q + B = 0.

B Posons p — q = m, — - = a, et cette dernière équation s'écrit :

Donc toute équation binôme, débarrassée de la racine zéro, peut être mise sous la forme :

C'est cette équation qu'il s'agit de résoudre. 1° Lorsque m est pair, V équation

a deux racines, si a est un nombre positif, et n'a pas de racines, si a est négatif. Remarquons, d'abord, que, m étant pair, on a :

Par suite, si x est une racine de l'équation, — x est aussi racine. 11 suffît donc de chercher les racines positives de l'équation et on obtiendra toutes les racines négatives en changeant les racines positives de signe.

Supposons, d'abord, a positif. On a appris, en arithmétique, qu'A existe un nombre positif (arithmétique), et un seul, dont la puis-

sance m**™* est égale à a. C'est ce qu'on appelle la racine m**"* de a : my/cT. L'équation binôme a donc, dans ce cas, deux racines, -f* myfa

et — Va> et deux seulement.

Si a est négatif, l'équation n'a, évidemment, aucune racine; car, toute puissance paire d'un nombre quelconque étant positive, il ne peut exister aucun nombre x dont la puissance miéme soit égale à un nombre négatif a.

2° Lorsque m est impair, V équation

a toujours une racine et une seule.

En effet, supposons, d'abord, a positif . L'équation ne peut admettre que des racines positives, car toute puissance impaire d'un nombre est de même signe que lui. Il n'y a donc qu'un nombre positif dont la puissance miéme puisse ôlre égale au nombre positif a. Or, il n'y a qu'un seul nombre positif dont la puissance mfewe est égale à a : c'est la racine mtVm* arithmétique de a. L'équation n'a donc qu'une racine

qui est + Va-

Si a est négatif, l'équation ne peut admettre que des racines négatives. Posons, alors,

on aura :

( — xr) = a ou

et nous sommes ramené au cas précédent. Il n'y a qu'une racine

pour x' qui est *V — a ; par suite, l'équation proposée n a qu'une racine :

Exemples. — L'équation

#8 — 1 = 0 a deux racines : x = ±z 1.

L'équation a3 + 27 = 0

a une seule racine : x = — î/27 = — 3.

L'équation

n'a pas de racines.

ÉQUATIONS TRINOMES. 279