CHAPITRE V
104. La résolution de tout système d'équations simultanées à plusieurs inconnues, composé d'une équation du second degré et d'un nombre quelconque d'équations du premier degré, se ramène à la résolution d'une équation du second degré à une inconnue, suivie de la résolution d'équations du premier degré.
On obtient, en effet, d'après les principes généraux que nous avons établis (n" 85, 56 et 73), un système équivalent au système proposé en résolvant les (n — 1) équations, qui sont du premier degré, par rapport à(n — 1) inconnues (si n désigne le nombre des inconnues et des équations) et en portant les valeurs de ces inconnues, en fonction de la dernière, x par exemple, dans Tunique équation du second degré. La valeur de l'inconnue x est, alors, fournie par une équation du second degré. En remplaçant x, successivement, par ses valeurs dans les expressions des (n — 1) premières inconnues, on aura les valeurs correspondantes de ces inconnues.
Voici quelques exemples de systèmes de ce genre.
Exemple I. — Résoudre le système :
De la première équation on tire :
et, en portant dans la seconde, on a, pour déterminer a?, l'équation :
a? (s — x) = p ou (3) a?2 — sx + p =0.
Cette équation a, en général, deux racines, x' et jc", et on a les valeurs correspondantes de y en remplaçant dans l'équation (2), successivement, x par xf et x". On a donc deux systèmes de solutions :
x = x/ , y = s — x1 et x = x", y = s — x''.
Or, comme on a
x1 + x" = s, on a, aussi,
s — a?' = x" et s — a?" = xr.
Les deux systèmes de solutions sont donc :
(5) x = a?", y = ar\
Remarque. — La résolution du système (i) revient, au fond, au problème que nous avons déjà traité : « Trouver deux nombres connaissant leur somme s et leur produit p » (n° 93). Le problème, ainsi posé, n'a qu'une solution, car les deux systèmes de solutions (4) et (5) n'en font qu'un seul et montrent que les deux nombres cherchés sont les racines de l'équation (3). Gela tient à ce qu'il n'y a pas plus de raisons d'appeler un des deux nombres a? que de l'appeler y.
Exemple IL — Résoudre le système :
La première équation donne :
et, en portant dans la seconde, on trouve, pour déterminer a?,
(3) a* — dx — p = 0.
Cette équation a, en général, deux racines x' et aï", ce qui donne les deux systèmes de solutions :
x = a/, y = x' — d; et x = a?", y = x" — d.
D'ailleurs, en remarquant que
ces systèmes s'écrivent :
V = — ar'.
Remarque. — La résolution du système (1) revient, au fond, au problème suivant : « Trouver deux nombres connaissant leur différence d et leur produit p ». Ici, à rencontre de ce qui se passe dans le problème précédent, les deux solutions sont bien distinctes. Cela tient à ce que les deux nombres ne jouent pas le même rôle. La lettre x ne désigne pas l'un quelconque des deux nombres, mais celui duquel il faut retrancher le second pour obtenir la différence d.
D'ailleurs, ce problème se ramène aisément au précédent de la façon suivante : le système (1) s'écrit :
Ceci montre que les deux nombres x et ( — y) ont pour somme d et pour produit — p; ce sont donc les deux racines de l'équation du second degré.
x* — dx — p = 0.
On prendra pour x Tune des racines de cette équation et pour y l'autre racine, changée de signe. Ce qui donne bien les deux solutions différentes (4) et (5), suivant qu'on prend pour x Tune ou l'autre des deux racines.
Exemple III. — Résoudre le système :
w ( ax+by + c = 0.
En supposant 6^0, on tire, de la seconde équation,
#«\ ax + c
et, en portant cette valeur de y dans la première, on a l'équation en a?,
(3) (a« + b*) x* + 2ac x + c» — 6V» = 0.
Cette équation n'a des racines que si
ce qui s'écrit
Si cette condition est remplie, on a, pour x, deux valeurs x' et x*1 et les valeurs correspondantes de y s'obtiennent en remplaçant x par x* et par x" dans la formule (2). On a donc deux systèmes de solutions :
. . ax' 4- c x = x\ y =
et x = a?7/, y = —
qui sont confondus en un seul lorsque
Remarque. — La résolution du système (1) a une signification géométrique intéressante. Traçons, en effet, dans un plan, deux axes rectangulaires ox et oy. Tous les points, dont les coordonnées x et y vérifient la relation
sont sur un cercle, de rayon r, ayant pour centre l'origine 0 des coordonnées. De même, tous les points, dont les coordonnées vérifient l'équation
ox + by + c = 0,
sont situés sur une droite. Résoudre le système (I) c'est donc trouver les coordonnées des points communs au cercle et à la droite. La discussion a, alors, une signification simple.
Si c8 < (a8 + 68) r2,
la droite coupe le cercle en deux points.
Si c» = (a8 + 6») r8,
la droite n'a plus qu'un point commun avec le cercle, elle le rencontre en deux points confondus, elle est tangente au cercle.
Enfin, si c8 > (a8 + &*) r8,
la droite ne rencontre pas le cercle.
Exemple IV. — Résoudre le système :
Des deux dernières équations on tire :
en portant ces valeurs dans la première, on a :
ou
ce qui donne, pour x, les deux valeurs 1 et 2. On a donc les deux systèmes de solutions :
105. La résolution d'un grand nombre de systèmes d'équations se ramène, en dernière analyse, à la résolution d'équations du premier
et du second degré à une inconnue. Il n'est pas possible de donner un type général de ces systèmes. Dans la majorité des cas, on résoudra les équations les plus simples par rapport à un certain nombre des inconnues et on portera les valeurs de ces inconnues, en fonction des autres, dans les équations restantes. On cherchera à former une équation, à une seule inconnue, que Ton sache résoudre. On se rend aisément compte de la marche à suivre en lisant les exemples suivants :
Exemple V. — Résoudre le système :
De la seconde équation on tire :
En portant dans la première il vient :
s3 + (3 — x)* + fcr» — 3 + x = 9 ou
lia* — 26a? + 15 = 0,
ce qui donne, pour x, les deux valeurs 1 et — . On a donc les deux
systèmes de solutions :
x~Ti> y"7T-
Exemple VI. — Soit à résoudre le système :
{ ax* + bxy + cy* = d, / xy = p.
En tirant y, de la seconde, on a :
et, en portant dans la première, on a l'équation bicarrée ;
Celte équation donne, en général, pour xt quatre valeurs, auxquelles correspondent quatre valeurs pour y. Il y a donc, en général, quatre solutions.
106. Certains systèmes ne peuvent être résolus, au moyen du second degré, que par un changement d'inconnues. Par exemple, lorsque, dans un système, deux inconnues # et y entrent symétriquement, c'est-à-dire lorsque le système ne change pas quand on permute x avec y et y avec x, il y a, le plus souvent, avantage à changer d'inconnues et à prendre comme nouvelles inconnues x + y et xy. Lorsqu'on connaît x + y et xy, on a x et y comme racines d'une équation du second degré.
Exemple VII. — Soit le système :
(x2 + y2 = a2, ( xy = b*.
Prenons, comme nouvelles inconnues, x + y et xy, et posons :
x + y = u, xy = v,
le système devient, en remarquant que
a» + y2 B [x + y)2 - 2xy, { wa — 2v = a2, * v = bK
Ceci donne, tout de suite,
a: et y sont donc les racines de l'une des deux équations :
** — x \/<i« + 26* + 62 = 0 ou ** + x vV + 26* + 6* = 0,
II y a donc, en général, quatre solutions.
Remarque I. - Dans cet exemple, on aurait pu avoir, facilement, x et y en calculant {x + y) et {x — y). On a, en effet,
d'où, en supposant (a2 — 2o2) positif,
ce qui donne
S* + y = =*= y/a* + 2fe2, • ^ — y = ± v;a2 — 262 ;
( * = £ [=*= vV + ?ô2 ± v/«2-262l, ( y = 5 [ ± v7*2 + 268 qp ya« - 262] ;
288 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
les signes supérieurs ou inférieurs se correspondant dans les deux expressions de x et y. Il y a donc quatre solutions.
Remarque IL — Si on avait, en suivant la marche habituelle, tiré y de la seconde équation pour porter dans la première, on aurait obtenu, pour x, une équation bicarrée que nous avons ainsi évitée. Il serait intéressant de comparer les expressions de x et y précédentes à celles qu'on obtiendrait en résolvant cette équation bicarrée (Voir, n° 100).
Exemple VIII. — Soit à résoudre le système :
( . tfi + î,*-r»=0, v ; ( xy+a(x + y)+b* = 0.
Les deux équations étant symétriques en 2 et y, nous prendrons x + y et xy comme inconnues auxiliaires. Posons :
a?4-y = ti, xy = v et le système (1) se transforme en :
+ au + b* = 0,
dans lequel la seconde équation est du premier degré. Résolvons ce système auxiliaire par la méthode ordinaire (n° 104) et on a :
v = — (au + b*)
d'où
On a, en général, pour u, deux valeurs u' et u", auxquelles correspondent deux valeurs pour v : — (au' -f ô8) et — (au" + 0*). Il en résulte que * et y sont les solutions de l'une des deux équations du second degré :
x% — u'x — (au' + &*) = 0 ou
x* u"x— (au" + 6») = 0.
On a donc, en général, quatre systèmes de solutions.
Remarque. — Si on avait suivi, dans cet exemple, la marche ordinaire, on aurait trouvé, en tirant la valeur de y de la seconde équation du système (1 ) et en portant dans la première, une équation complète du quatrième degré en x :
x* + 2 as» + (2a* — r*)x* + 2a(6* — r*)a?+ 6* — a*r*= 0, qu'on n'aurait pas su résoudre.
