Calculer les trois côtés d'un triangle connaissant

1* Le rayon R du cercle circonscrit, la somme 2s de deux côtés et la hauteur h relative au troisième côté (On aurait un problème identique si, au lieu de connaître R ou A, on connaissait le produit k* des deux côtés dont on connaît la somme).

2a La différence d de deux côtés et leur moyenne géométrique A, ainsi que Taire

- a- du triangle. — Discuter.

3* Le périmètre fy, la moyenne géométrique k de deux côtés et la longueur p de la bissectrice de l'angle que forment ces deux côtés. — Discuter.

Faire le même problème en supposant que p soit la longueur de la bissectrice de l'angle extérieur du triangle.

4* La somme %s de deux côtés, Taire - A1 du triangle et le côté a du carré inscrit

qui repose sur le troisième côté. — Discuter.

ÀLotewi £l£uentairb. 20

5° Le périmètre 2/?, l'aire - A* du triangle et la longueur p de l'une des bissectrices. — Discuter.

Examiner le casoîi on donne la longueur p d'une bissectrice d'un angle extérieur.

G' Les volumes -wa3, -itp' , - ict' engendrés par le triangle lorsqu'on le fait

tourner, successivement, autour de chacun de ses trois côtés.

(J. Bertrand).

7e Un côté a, la somme / des deux autres côtés et la somme k% des carrés des longueurs des bissectrices, soit des angles intérieurs adjacents au côté a, soit des angles extérieurs adjacents au même côté.

Discuter dans le cas particulier où / = 4a.

(Concours d'agrégation, 1880).

152. Calculer la hauteur et les bases d'un trapèze rectangle connaissant : la

longueur / du côté oblique, l'aire a* du trapèze et le volume -*£* engendré par la

révolution du trapèze autour de son côté oblique. — Discuter. Maximum et minimum de b*. Cas particuliers : / = a et l = Sa.

(Concourt d'agrégation, 1883).

453. Dans les angles d'un triangle ABC sont inscrits trois cercles tangents entre eux, deux à deux, et dont les rayons sont R, R' et R". Les points de contact de ce< cercles avec les côtés déterminent, sur ces côtés, des segments dont les longueurs, comptées à partir des sommets, sont oc, p, -y.

1* Trouver la relation qui existe entre R, R', R" et a, p, y.

8° Exprimer, à l'aide de R, R', R", les valeurs des segments des côtés compris entre les points de contact du cercle inscrit dans le triangle et les points de contact des cercles considérés.

3* Calculer le rayon r du cercle inscrit dans le triangle ABC, en fonction des rayons R, R', R", et démontrer que l'on a :

( 4= + 4^ + -4= V - 2 (v'R + Va7 + \^f)r + WÏR'H77 = 0.

(Agrégation de V enseignement spécial 1888).

154. Calculer la raison d'une progression géométrique de quatre termes conna issant leur somme ma et la somme de leurs carrés a*.

(On dit que quatre nombres a, p, ?, S forment une progression géométrique, lorsqu'on a :

La valeur commune de ces rapports est ce qu'on appelle la raison de la progression.) (Voir n\ 131.)

155. Calculerla raison d'une progression géométrique de trois termes connaissant leur somme ma et la somme de leurs carrés «*.

156. Inscrire dans une sphère donnée, de rayon R, un cône tel que le double de la surface latérale augmenté de l'aire de la base soit égal à la surface de la sphère.

En prenant pour inconnue le quotient de la distance du centre de la sphère à la base du cône par le rayon R de la sphère, on trouve une équation réciproque par rapport à (— 1) (Voir l'exercice 125).