CHAPITRE PREMIER
109. Définitions. — I. On dit qu'une fonction y, de la variable x, a pour limite b, lorsque % tend vers a, si, à tout nombre positif s (d'ailleurs aussi petit qu'on le voudra), on peut faire correspondre un nombre positif a tel que, pour toutes les valeurs de x vérifiant l'inégalité
les valeurs correspondantes de y vérifient l'inégalité
I if — * l< ».
sauf, peut-être, pour x = a.
Exemples. — D'après cette définition, on dit que y a pour limite zéro, quand x tend vers a, si, h tout nombre positif e, on peut faire correspondre un nombre positif a tel que l'inégalité
| x— a | < a entraine l'inégal i té
Ainsi, toute puissance positive de x a pour limite zéro, quand x tend vers zéro; ce qu'on exprime plus brièvement en disant que toute puissance positive de x tend vers zéro en même temps que x.
(t) Rappelons que la notation | | indique la valeur abtolue de la quantité placée entre les deux barres.
Soit, en effet, xn une puissance positive de x (n > 0); si on a
I x J< t" on aura, évidemment,
I xn | < e.
Le nombre a est donc, ici, égala»".
Remarque. — La définition précédente n'est, au fond, qu'une façon d'exprimer, sous une forme précise, le fait suivant : on peut donner à la variable x des valeurs assez voisines de la valeur a pour que les valeurs correspondantes de y diffèrent d'aussi peu qu'on le voudra de la valeur b (puisqu'on peut choisir e aussi petit qu'on le voudra).
Lorsqu'une quantité y a pour limite 6, elle finit par être supérieure à tout nombre fixe inférieur à 6 et par être inférieure à tout nombre fixe supérieur à b ; car elle finit par être comprise entre b -f- e et b — s, e pouvant être aussi petit qu'on le veut.
II. On dit qu'une fonction y, de la variable #, croît indéfiniment, quand x tend vers a, si, à tout nombre positif A (d'ailleurs aussi grand qu'on le voudra), on peut faire correspondre un nombre positif « tel que, pour toutes les valeurs de x vérifiant l'inégalité
les valeurs correspondantes de y vérifient l'inégalité
sauf, peut-être, pour x = a.
Lorsqu'une quantité y croît indéfiniment, son inverse - tend vers
if
zéro et vice versa.
Exemple. — Toute puissance négative de x croît indéfiniment quand x tend vers zéro.
Soit x une puissance négative de x (n > 0). Si on a
on aura
et, par suite (n° 22, Th. III),
I aT" | > A.
Le nombre a, qui correspond à À, est donc, ici, A M.
Remarque. — La définition précédente exprime, sous une forme précise, le fait suivant : en donnant à x des valeurs suffisamment voisines de a, les valeurs absolues des valeurs correspondantes de y deviennent aussi grandes qu'on le voudra, c'est-à-dire, surpassent tout nombre positif A choisi à l'avance (Voir n° 52).
Lorsqu'une quantité y croit indéfiniment, elle peut le faire de deux façons : soit en étant positive et on dit, alors, qu'elle croît indéfiniment par valeurs positives ; soit en étant négative et on dit, alors, qu'elle croît indéfiniment par valeurs négatives (Voir n° 64).
III. On dit que la fonction y, de la variable x, a pour limite b, quand x croît indéfiniment, lorsqu'à tout nombre positif e (d'ailleurs aussi petit qu'on le voudra) on peut faire correspondre un nombre positif A tel que, pour toutes les valeurs de x vérifiant l'inégalité
les valeurs correspondantes de y vérifient l'inégalité
l»-»l<«(fJ-
Exemple. — Lorsque x croît indéfiniment, une puissance négative quelconque de x tend vers zéro.
Soit x~~n (n > 0) une puissance négative de .r. Pour que Ton ait
il suffit que Ton ait
Le nombre A, qui correspond à i, est donc i n.
Remarque. — Au fond, la définition précédente exprime que Ton peut donner à x des valeurs suffisamment grandes en valeur absolue pour que y diffère de b d'aussi peu qu'on le voudra.
(1) Cette définition est déjà connue en arithmétique, pour le cas particulier oh la variable x est un indice qui ne prend que des valeurs entières. (Voir : Leçon» d'arithmétique de M.Tannery, n* 238, ainsi que les numéros 463 à 471.)
IV. On dit que la fonction y, de la variable x, croît indéfiniment, en même temps que x, lorsqu'à tout nombre positif P, donné à l'avance (d'ailleurs aussi grand qu'on le voudra), on peut faire correspondre un nombre positif A tel que, pour toutes les valeurs de x vérifiant l'inégalité
les valeurs correspondantes de y vérifient l'inégalité
Exemple. — Toute puissance positive de x croit indéfiniment, en même temps que x.
Soit, en effet, xn une puissance positive de x ; si on a
on aura :
Le nombre A, qui correspond au nombre P, est donc, ici, P".
Remarque. — Cette dernière définition exprime, sous une forme rigoureuse, le fait suivant : on peut donner à x des valeurs assez grandes pour que y prenne des valeurs aussi grandes qu'on le voudra, en valeur absolue.
Pour désigner les signes de x et ?/, lorsqu'ils croissent indéfiniment, on emploie, comme nous l'avons déjà indiqué, les signes abréviatifs « — oo et -f- °° (n° 64). Ainsi, pour dire que, lorsque x croît indéfiniment par valeurs positives, y croît indéfiniment par valeurs négatives on dit, d'une façon abrégée, que, pour x = -f- oo, on a y = — oo. Mais il faut bien se garder de donner à ces signes -f- oo et — oo d'autre signification que celle que nous venons de leur donner. Ces signes ne représentent aucune grandeur numérique, car il n'y a pas de nombre plus grand ou plus petit que tous les autres (*).
110. Théorème. — Lorsque deux fonctions, d'une même variable x, sont égales pour toutes les valeurs de x, sauf peut-être pour la valeur
(1) La notion de limite parait remonter à Archimède (281-212 av. J.-C); c'est dans s«w travaux que l'on rencontre, pour la première fois, la notion • de deux quantités qui comprennent entre elles une quantité donnée et qui, d'ailleurs» en diffèrent d'aussi peu qu'on le veut». Ces idées ne se sont précisées que fort lentement, pour arriver a la forme rigoureuse actuelle.
x = a, si l'une d'elles a une limite, quand x tend vers a, Vautre en a une qui est la même.
Soient, en effet, deux fonctions y et z, de x, égales pour toutes les valeurs de x, sauf peut-être pour x = a.
Dire que y a pour limite 6, quand x tend vers a, c'est, par définition, dire qu'à tout nombre positif e on peut faire correspondre un nombre a tel que l'inégalité
entraîne l'inégalité
sauf peut-être pour x = a. Or, comme on a toujours
sauf peut-être pour x = a, on aura, pour les mêmes valeurs de x,
et, par suite, z a pour limite b.
Application. — Ce théorème important nous permet de préciser la notion de la vraie valeur d'une fraction indéterminée, notion que nous avions déjà, indiquée (n° 53).
Lorsqu'une fraction se présente sous une forme indéterminée, pour a: = «, on appelle vraie valeur de cette fraction la limite vers laquelle elle tend, lorsque x tend vers a (si cette limite existe).
Cette nouvelle définition de la vraie valeur parait, au premier abord, différer de celle que nous avions donnée plus haut (n° 53) ; mais le théorème précédent montre que les deux définitions coïncident. En effet, si on peut trouver une seconde fraction qui soit égale à la fraction proposée pour toutes les valeurs de x, sauf pour x = a, et si cette seconde fraction a une limite, quand x tend vers tf, il en sera de même de la première. Or, cette seconde fraction n'est plus indéterminée pour x = a, et, si elle est continue (Voir plus loin, n° 114), elle aura pour limite, lorsque x tend vers a, précisément la valeur qu'elle prend pour x — a. Cette valeur est donc bien, d'après notre nouvelle définition, la vraie valeur de la fraction proposée.
Exemple. — La fraction — f- se présente sous la forme indé-
0 x -4- 3 terminée -, pour x = 0. Or, elle est éfjale à la fraction ' t pour toutes
les valeurs de x, sauf pour x = 0, on a donc (d'après les théorèmes du nMil),
La vraie valeur de la fraction, pour x = 0, est donc — 3.
111. Théorème I. — La somme algébrique de plusieurs fonctions, d'une même variable x, qui ont chacune une limite, lorsque x tend vers a, a une limite, lorsque x tend vers a, qui est la somme des limites de ses termes.
Soient, en effet, y, z et w, trois fonctions de x qui ont, respectivement, pour limites 6, c et d, lorsque x tend vers «, nous allons montrer que la somme y-j-s + wa pour limite b -f- c + rf.
En effet, dire que y, z et w ont, respectivement, pour limites 6, c et d, c'est dire, par définition, qu'à tout nombre positif, donné à l'avance, e on peut faire correspondre trois nombres positifs a', a" et a'" tels : que la condition
entraîne l'inégalité
que l'inégalité
entraîne
et que l'inégalité
entraîne l'inégalité
ly-*l <^;
Désignons par a le plus petit des trois nombres a', a", a'" ; l'inégalité
entraînera, certainement, les trois inégalités
et, par suite, aussi les trois inégalités
|y-*l<g, \»-c\<\, |«-rf|<J
qui donnent, en les ajoutant, membre à membre,
ly-ft| + l*-c| + |ii-rf|<i.
Or, puisque la valeur absolue d'une somme est au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses termes, on a :
et, par suite, pour toutes les valeurs de x pour lesquelles
on a, a fortiori,
y + s+ti— (6+c + d)|<t.
Ce qui prouve que (y + * + u) a une limite et que cette limite est la somme [b -f- c + d) des limites de ses termes.
Il est clair que la démonstration que nous venons de faire pour trois fonctions se ferait de la même façon pour le cas d'un nombre quelconque de fonctions, pourvu que ce nombre soit bien déterminé.
Théorème II. — Lorsque, dans un produit de plusieurs facteurs, f ti/i des facteurs tend vers zéro et que chacun des autres facteurs reste inférieur, en valeur absolue, à un nombre fixe, le produit tend vers zéro.
Soit y celui des facteurs qui tend vers zéro. D'après l'hypothèse, chacun des autres facteurs restant inférieur, en valeur absolue, à un nombre fixe, leur produit reste inférieur, en valeur absolue, à un nombre fixe P. Pour que le produit total ait pour limite zéro, il faut, qu'à tout nombre positifs, on puisse faire correspondre un nombre <x tel que, si | x — a \ < a, la valeur absolue du produit soit plus petite que c. Or, ceci est possible car, y tendant vers zéro, on peut choisir a de façon que l'inégalité
entraine l'inégalité
La valeur absolue du produit total, qui est égale au produit des valeurs absolues de ses facteurs, sera, alors, plus petite que
Théorème III. — Le produit de plusieurs fonctions, d'une même variable x, ayant chacune une limite, lorsque x tend vers a, a, également, une limite, lorsque x tend vers a, qui est le produit des limites de ses facteurs.
1° Cas de deux facteurs. — Soient, d'abord, y et z deux fonctions de x ayant, respectivement, pour limites b et c, lorsque x tend vers a; nous allons montrer que le produit yz a pour limite bc. Pour cela, il suffit de prouver que la différence yz — bc tend vers zéro. Cette différence s'écrit :
yz — bc==y(z—c)+c {y — b).
Sous cette forme, on voit que cette différence est la somme de deux quantités, y (z — c) et c (•/ — b), qui ont chacune pour limite zéro, comme étant le produit d'un facteur qui est fixe, ou qui finit par rester inférieur à un nombre fixe, par un facteur qui a pour limite zéro (Th. //). Par suite (d'après le Th. I), yz — bc a une limite, lorsque x tend vers a, qui est la somme des limites de ses termes, c'est-à-dire zéro.
Donc le produit yz a une limite, qui est le produit ta des limites de ses facteurs.
2° Cas de plusieurs facteurs. — Soient, maintenant, quatre facteurs y,z, t, u, fonctions de x, qui ont, respectivement, pour limites 6, c, d,e, lorsque x tend vers a. D'après ce que nous venons de voir, le produit yz a une limite qui est bc. Mais, alors, on peut considérer le produit yzt comme le produit des deux facteurs yz et /, qui ont chacun une limite, et appliquer le premier cas. Le produit yzt a donc une limite qui est bcd. De même, le produit yztu peut être considéré comme le produit des deux facteurs yzt et u, qui ont chacun une limite, il a donc une limite qui est le produit des limites des deux facteurs et, par suite, bcde.
On pourrait, évidemment, continuer ce raisonnement un nombre quelconque de fois (pourvu que ce nombre soit fixé) et le théorème est donc vrai pour un nombre quelconque de facteurs (').
(I) Il faut remarquer que le théorème II n'est pas un cas particulier du théorème III, car, dans le théorème II, il n'est pas nécessaire que les facteurs* autres que celui qui tend vers aéro, aient une limite, il iuffit qu'ils restent intérieurs à des nombres Axes.
Théorème IV. — Lorsque, dans un quotient, le numérateur tend vers zéro et que le dénominateur reste supérieur, en valeur absolue, à
un nombre fixe, ce quotient tend, lui-même, vers zéro.
Soit, en effet, le quotient - de deux fonctions de x.
Supposons que, quand x tend vers a, y tende vers zéro et que z reste supérieur, en valeur absolue, à un nombre positif r,. L'inégalité
s'écrit :
et prouve que - reste inférieur à un nombre fixe.
Le quotient ^ peut donc être considéré comme le produit de deux
facteurs : l'un y qui tend vers zéro; l'autre - qui est limité. Ce
quotient a donc, d'après le théorème II, pour limite zéro.
Théorème V. — Lorsque, dans un quotient de deux fonctions d'une même variable x, le numérateur et le dénominateur ont, chacun, une limite et que la limite du dénominateur est différente de zéro, le quotient a, lui-même, une limite qui est le quotient des limites de ses termes.
Soit - un quotient de deux fonctions de x. Supposons que, lorsque x
tend vers a, y ait pour limite b et z pour limite c, c étant différent de
zéro. Nous allons montrer que — a pour limite — . En effet, la diffé-
rence s écrit :
?/ b c[y — b)—b{z — c) z c cz
Sous cette forme, on voit que cette différence est le quotient de deux quantités : la première
c(\l — h) — *(* — c), qui a pour limite zéro, quand x tend vers a, puisqu'elle est la somme
algébrique de deux quantités qui tendent chacune vers zéro (Th. I
et //) ; la seconde cz qui a une limite différente de zéro et finit, par
conséquent, par être supérieure, en valeur absolue, à un nombre
y b fixe. Donc, d'après le théorème IV, la différence- a pour limite
zéro, ^a, par suite, une limite qui est le quotient - de& limites de
ses termes (').
Théorème VI. — Lorsqu'une fonction, d'une variable x, a une limite (positivp ou nulle), lorsque x tend vers a, sa racine carrée admet aussi une limite qui est la racine carrée de sa limite.
En effet, supposons que la fonction y de x ait pour limite b(b > 0;, lorsque x tend vers a. Pour des valeurs de x suffisamment voisines de «, y sera du signe de b, donc positif; et on pourra prendre sa racine carrée arithmétique. Or, on a l'identité :
y/y + fà
Cette identité montre que la différence >ly — \Jb est égale à un quotient dont le numérateur tend vers zéro et dont le dénominateur
est supérieur à y^î donc, d'après le théorème IV, cette différence
tend vers zéro, y/y a donc pour limite y/b, quand x tend vers a. Remarque. — Cette démonstration tombe en défaut quand b est nul. Si y a pour limite zéro, on peut déterminer <x de façon que l'inégalité
| x — a | < a entraîne l'inégalité
e étant un nombre positif, donné à l'avance. Mais, alors, on aura
\ifV < «»
ce qui prouve que \y a aussi pour limite zéro.
(1) De même que le théorème II n'est pas un cas particulier du théorème III, le théorème IV n'est pas non plus un cas particulier du théorème V ; car, dans le théorème IV, il n'est pas nécessaire que le dénominateur ail une limite, il suffit qu'il soit différent de zéro et ne tende pas vers zéro. Par exemple, le théorème serait encore vrai si le dénominateur croissait indéfiniment.
Remarque générale. — Dans tous les théorèmes qui précèdent nous avons supposé que les fonctions, dont il s'agissait, tendaient vers leurs limites respectives, tandis que x tendait vers une valeur déterminée a. Tous ces théorèmes seraient encore vrais si les fonctions tendaient vers leurs limites lorsque x croît indéfiniment. Les démonstrations seraient tout à fait analogues aux précédentes.
112. Théorème I. — Lorsque, dans une somme, un seul terme croît indéfiniment, les autres restant inférieurs, en valeur absolue, à des nombres fixes, la somme elle-même croît indéfiniment.
Soit, en effet, y le terme de la somme qui croît indéfiniment, désignons par z la somme algébrique de tous les autres termes. Comme, par hypothèse, tous les termes de z restent finis, z restera fini et on peut assigner un nombre A, positif, que z ne dépassera pas, en valeur absolue. Or, comme on a (n° 11, 77i. /)
Iy + *I>M-I4-'
si nous déterminons a de façon que, pour
on ait
P étant un nombre positif donné, on aura, a fortiori,
|j, + j|>P+à-A, ou
Donc y -f- z croît indéfiniment, quand x tend vers a.
Remarque. — Le théorème précédent n'est vrai que si un seul des termes de la somme croît indéfiniment. S'il y avait plus d'un terme qui croisse indéfiniment, on ne pourrait plus rien affirmer, a priori, à moins que tous les termes qui croissent ne soient de même signe, auquel cas la somme croîtrait encore indéfiniment.
Ainsi, par exemple, la différence de deux nombres positifs, qui croissent tous les deux indéfiniment, peut avoir une limite finie. La somme suivante :
318 ALGÈBRE ÉLÉMEN TAIRE.
est toujours égale à 1, et cependant, quand x tend vers zéro, chacun de ses termes croit indéfiniment. C'est pour désigner des faits de ce genre qu'on dit qu'il y a indétermination de la forme oo — ©o. Ce langage abrégé n'ayant pas d'autre signification que d'indiquer qu'il s'agitd'une différence dont les deux termes croissent indéfiniment (!i. A priori, on ne sait rien sur de telles différences, il y a donc, en quelque sorte, indécision, indétermination sur la limite vers laquelle elles tendent, si même une telle limite existe.
Théorème II. — Longue, dans un produit de plusieurs facteurs, un des facteurs croît indéfiniment, chacun des autres facteurs restant supérieur, en valeur absolue, à un nombre fixe, le produit croit indéfiniment.
Soit, en effet, y le facteur qui croît indéfiniment lorsque x tend vers a. Soit z le produit de tous les autres facteurs. Puisque chacun des facteurs qui composent z resle supérieur à, un nombre ûxe, on peut assigner un nombre positif rk tel que la valeur absolue de z reste supérieure à r,.
D'ailleurs, comme y croit indéfiniment, on peut, étant donné un nombre positif A, déterminer un nombre positif a tel que, lorsque
| x — a | <a, on ait
comme, d'ailleurs,
on aura, pour les mêmes valeurs de x,
yx ! > À.
Donc yz croit indéfiniment, quand x tend vers a.
Remarque. — La proposition précédente ne subsiste plus si l'un des facteurs du produit tend vers zéro. Le produit d'un facteur qui croît indéfiniment par un facteur qui tend vers zéro est indéterminé. C'est ce qu'on appelle une indétermination de la forme oo x 0.
(I) Voir plus loin, au n' 113, Application IV, des exemples d'indétermination de cette nature.
Par exemple, le produit d'une puissance positive de x par une puissance négative présente une indétermination de celle forme, facile à lever, lorsque x tend vers zéro. Ainsi, dans le produit
xp X *-\
le premier facteur tend vers zéro et le second croit indéfiniment, quand x
tend vers zéro. Or le produit est égal à/"' (n° 27, Th. H). Si p > q,
p — q est positif et a^~ q tend vers zéro, avec x. Si p = q, on a x* " q s= l.
Enfin, si p < r/, p — q est négatif et xp ~ q croit indéfiniment, quand x tend vers zéro.
Théorème III. — Lorsque, dans une fraction , le dénominateur tend vers zéi*o, le numérateur restant supérieur, en valeur absolue, à un nombre fixe, la fraction croit indéfiniment.
Soit, en effet, ~ une fraction. Supposons que, lorsque x tend vers a,
s ait pour limite zéro et que Ton puisse déterminer un nombre positif -rç tel que la valeur absolue de y reste supérieure à tj.
D'autre part, soit A un nombre positif quelconque, donné à l'avance; comme z tend vers zéro, on pourra déterminer le nombre a de façon que l'inégalité
entraîne l'inégalité
comme, d'ailleurs,
on aura, pour les mêmes valeurs de x,
Donc - croît indéfiniment, quand x tend vers a.
Remarque. — Nous avions déjà indiqué cette proposition plus haut, au n° 52, et nous avons aussi montré que, pour qu'elle subsiste, il faut, essentiellement, que le numérateur ne tende pas vers zéro. Lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers
zéro, la fraction se présente . sous la forme indéterminée -. Nous
320 ALGEBRE ELEMENTAIRE.
avons montré, au n° 53, comment on pouvait, dans de nombreux cas, lever cette indétermination.-
Corollaire. — V inverse d'une quantité qui tend vers zéro croit indéfiniment.
Théorème IV. — Une fraction dont le dénominateur croit indéfiniment et dont le numérateur reste inférieur, en valeur absolue, à un nombre fixe, tend vers zéro.
Soient, en effet, y et t deux fonctions dune même variable x. Supposons que, quand x tend vers a, y reste fini et que z croisse
indéfiniment, nous allons montrer que - tend vers zéro. En effet,
on pourra assigner un nombre positif A tel que
D'autre part, soit s un nombre positif donné, puisque z croît indéfiniment, on pourra déterminer un nombre positif a tel que, lorsque
| x—a | <a, on ait
on aura, alors, évidemment,
OU
Ce qui prouve que ^ tend vers zéro, quand x tend vers a.
Corollaire. — Une fraction dont le numérateur croit indéfiniment et dont le dénominateur reste inférieur, en valeur absolue, à un nombre fixe, croît indéfiniment.
Car l'inverse de cette fraction tend vers zéro, d'après le théorème précédent, et, par suite, cette fraction, étant l'inverse d'une quantité qui tend vers zéro, croît indéfiniment (Th. III, CorolL).
Remarque. — Le théorème précédent et son corollaire nous montrent qu'on sait ce qui arrive dans une fraction dont un des deux
termes croit indéfiniment; mais on ne peut rien affirmer, a prion, sur une fraction dont les deux termes croissent indéfiniment. Dans ce cas, comme il y a doute sur ce qui arrive, comme on ne sait pas, a priori, s'il y a une limite ou s'il n'y en a pas, on dit qu'il y a indétermination y et pour rappeler l'origine de cette indétermination on
dit qu'il y a indétermination de la forme Ainsi, par exemple, le quotient
xq
de deux puissances positives de x est indéterminé, de cette forme, quand x croit indéfiniment. Celte indétermination se lève facilement car ce quotient
est égal à xv~q; il croît indéfiniment, il est égal à i ou il tend vers zéro, suivant que p est supérieur, égal ou inférieur à q.
Résumé des cas d'indétermination, — Dans les deux paragraphes précédents (111 et 112), nous avons examiné tous les cas qui peuvent se présenter pour les sommes, produits et quotients de fonctions, lorsque ces fonctions tendent vers des limites ou croissent indéfiniment. Nous avons trouvé qu'il y avait quatre cas, que nous avons nommés cas d'indétermination, où on ne pouvait rien affirmer, a priori, sur le résultat. Ce sont les cas que nous représentons par les
