DÉFINITION ET RECHERCHE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

70. Sauf dans le n" 81, les polynômes que Ton considérera dans le préseul Chapitre seront des polynômes à une seule variable, que Ton désignera habituellement par x,

La recherche des polynômes qui divisent exactement un poh-nome, ou, comme on dit, la recherche des diviseurs d'un polynôme est un des problèmes les plus importants de TAlgèbre : en particulier, la recherche des diviseurs du premier degré revient à la recherche des racines de ce polynôme (n*** 37, 38).

Si cette dernière recherche est difficile, il est au contraire aisé de ramener la recherche des diviseurs communs à plusieurs polynômes donnés, c'est-à-dire des polynômes qui divisent à la fois ces polynômes donnés, à la recherche des diviseurs d'un seul polynôme, auquel on donne le nom de plus grand commun diviseur des polynômes donnés.

On est ainsi conduit à une théorie toute pareille à celle que Ion fait en Arithmétique, sur le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres entiers donnés, théorie qui, comme on sait, conduit naturellement à des propositions capitales concernant la diMSibilité. Il en sera de même en Algèbre.

Il est clair que, si le polynôme B est un diviseur du polynôme A, le polynôme B multiplié par une constante quelconque non nulle sera encore un diviseur de A; on ne distinguera pas, dans ce qui suit, entre deux pareils diviseurs, qui ne diffèrent que par un facteur constant : ils seront regardés comme le même diviseur.

71. Occupons-nous maintenant de la recherche des diviseurs communs à deux polynômes donnés A et B, pour prouver que ces diviseurs sont les mêmes que ceux d'un certain polynôme.

Si B divise A, en sorte que l'on ait A = BQ, en désignant par Q un polynôme en x^ il est clair que tout polynôme qui divise B divise BQ ou \; en sorte que les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes que les diviseurs de B; tout est ramené à la recherche des diviseurs de B.

Si B ne divise pas A et est d'un degré inférieur ou égal au degré de A, la division de A par B, au sens du n® 31, conduit à une identité de la forme A = BQ -|- B, où Q est le quotient et B le reste, de degré inférieur au degré de B.

Les diviseurs communs à \.et àB sont les mêmes que les diviseurs communs à B et à R.

En effet tout diviseur de A et de B est un diviseur de A et de BQ, donc un diviseur de A — BQ ou de R; tout diviseur de B et de R est un diviseur de BQ et de R, donc un diviseur de BQ -h R ou de A. Les diviseurs communs à A et à B sont communs à B et à R; les diviseurs communs à B et à R sont communs à A et à B; les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes polynômes que les diviseurs communs à B et à R.

Le problème est ramené à un problème plus simple, puisque R est de degré inférieur au degré de B et, par suite, au degré de A.

Si R ne divise pas B, la recherche des diviseurs communs à R et à B se ramène de même à la recherche des diviseurs communs à R et au reste R| de la division de B par R; celle-ci, lorsque R| ne divise pas R, se ramène à la recherche des diviseurs communs à R| et au reste R^ de la division de R par R,, et ainsi de suite.

Si R divise B, les diviseurs communs à B et à R et, par suite, les diviseurs communs à A et à B, sont les mêmes que les diviseurs de R; si c'était R| qui divisât R, les diviseurs communs à R| et à R, les diviseurs communs àR età B, les diviseurs communs à B et à A, seraient les mêmes que les diviseurs de R| ; d'une façon générale, dès que l'on trouve un reste R„ qui divise le reste précédent R/i i, l'opération est terminée : les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes polynômes que les diviseurs de R,/.

On finit d'ailleurs par trouver un reste R^ qui divise le précédent,

198 CIIAPITKE V.

puisque les degrés des polynômes B, R, R, , R*, . . . vont en dirainuanl au moins d'une unité à chaque fois; il esl impossible qu'on puiss» faire plus de divisions qu'il y a d'unités dans le degré de B : le depr d'un reste ne peut tomber au-dessous de o; ou bien on trouvera un reste, contenant effectivement .r, qui divisera le précédent; ou bien on arrivera à un reste constant, non nul, dont on peut dire quil divise exactement le précédent; dans ce cas, les polynômes qui divisent à la fois A et B, devant diviser une constante, ne peuvent être eux-mêmes que des constantes; à proprement parler, \ et B n'onl pas de diviseurs communs, on dit qu'ils sont prcmieis entre eux.

Dans tous les cas, le polynôme R,/, le premier reste qui di>ise le reste précédent, jouit de la propriété annoncée : les diviseurs communs à \ et à B sont les mêmes polynômes que les diviseurs de R/|. Il est le seul polynôme qui jouisse de cette propriété, car un autre polynôme S, qui jouirait de cette propriété, devrait diviser R,, et être divisible par R„; il ne pourrait être d'un degré supérieur au dep-é de R,,, ni de degré inférieur; il serait de même degré; le (|uotient de la division de S par R„ se réduirait à une constante, S serait identique à R„, à un facteur constant près.

Tout polynôme qui divise A et B devant diviser R« est au plus du même degré que R„ ; s'il est du même degré que R,,, il lui est identique à un facteur constant près.

Le polynôme R„, trouvé par la méthode précédente, est le polvnome du plus haut degré possible qui divise A et B ; c'est pour celte raison qu'on l'appelle \e plus ^rand commun diviseur de A et de B.

Pour trouver le plus gi^and commun diviseur de deux polynômes donnés A, B, dont le premier est de degré au moins égal au degré de B, on divise le premier par le second, puis le second par le reste obtenu dans la première division, puis ce reste par le reste de la deuxième division, puis le reste de la deuxième division par le reste de la troisième, et ainsi de suite : le premier des restes qui divise le reste précédent est le plus grand commun diviseur des deux polynômes proposés. Lorsque les deux polynômes A, B sont premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est une constante quelconque, non nulle. On choisit d'ordinaire cette constante égale à 1.

72. La remarque suivante, qui concerne la nature des coefficients du plus grand commun diviseur de deux polynômes A, B, est, dans

certaines parties de l'Algèbre, d'une importance capitale : dans une division, les coefficients, soit du quotient, soit du reste, se déduisent des coefficients du dividende et du diviseur par des combinaisons d'additions, soustractions, multiplications, divisions effectuées soit sur les coefficients, soit sur les résultats d'opérations de la même nature déjà effectuées sur ces coefficients; il en sera de même des coefficients du plus grand commun diviseur, qui n'est que le dernier des restes d'une suite de divisions : c'est ce qu'on exprime en disant que les coefficients du plus grand commun diviseur sont composés rationnellement avec les coefficients des polynômes donnés, parce que les opérations précédemment énumérées sont qualifiées de rationnelles, par opposition à celles des opérations qui ne peuvent pas se réduire à une suite d'additions, de soustractions, de multiplications el de divisions, en nombre fini.

Par exemple, si les coefficients des polynômes A, B sont des nombres rationnels, il en sera de même des coefficients du plus grand commun diviseur. Si, en particulier, celui-ci est du premier degré, c'est que les deux polynômes A, B auront une racine commune, qui sera un nombre rationnel : on obtiendra cette racine par la résolution de l'équation du premier degré obtenue en égalant à o le plus grand commun diviseur.

Si les coefficients des polynômes A, B sont des nombres irrationnels de la forme a -f- ^ y^2, où a, ^ sont des nombres rationnels, les coefficients du plus grand commun diviseur sont aussi de la même forme; puisqu'il en est évidemment ainsi des nombres obtenus en ajoutant, retranchant, multipliant des nombres de la forme précédente, ou encore en divisant deux pareils nombres : on a, en effet,

73. L'opération décrite au numéro précédent peut être un peu simplifiée par la remarque suivante : dans chaque division, c'est le reste, non le quotient, qui importe; il n'y a pas d'inconvénient à fausser le quotient. D'autre part, quand on multiplie le dividende d'une division par une constante, sans toucher au diviseur, on multiplie le quotient et le reste par ce facteur constant. Cette remarque est utile si l'on veut éviter les dénominateurs dans les coefficients du

aOO CHAPITRE V.

quotient et du reste (n** o5, note); on peut l'utiliser au cours d'une division, et multiplier, ou diviser un reste partiel par un facteur constant, quitte à fausser le quotient.

Si, toutefois, on veut conserver aux coefficients du plus grand commun diviseur la propriété établie au numéro précédent, il importe de n'employer comme multiplicateurs que des nombres qui soienl composés rationnellement avec les coefficients des polynômes proposés.

Les calculs pour la recherche du plus grand commun diviseur entre les polynômes

sont faits ci-dessous tout au long; en suivant, ces calculs, le lecteur reconnaîtra qu'on a faussé les quotients, en multipliant ou divisant certains restes par des facteurs numériques.

ia:^—%x^-^gx^ — 4^-+- 4 — 2a** H- 6x* — 4^'-*- 8a* — i6

— ix^-h 5x^-\- 4^' — 120?

— ar'-h 8ar*— 2oa? -h i6

— 2a?'-+- lôa** — 4o^-l-32 l 2a?' — 5ar* — ix-{-i2,

a»* — 3j7'-|-2X* — 4xH-8

iiar«— 4^^-4-44

aar» — 5x^-{- 4^-l-i2 — 2ar»-+- 8a?*— 8x

3ar* — 120? -H 12 — 3a7*-H 120? — 12

Le plus grand commun diviseur cherché est 0?* — 4^ + 4 = (a? — 2)*. Dans l'exemple suivant, relatif au plus grand commun diviseur entre les polynômes x^-^-px-^q, 3x*-i-/?, les divisions sont faites régulièrement : on

suppose/? différent de o.

T^-h px -h q "^ 3

3ar' + p

•xpx

îx« -+-/>

•\p -fr + q

Si le nombre ip^-^ijq^ n'est pas nul, les deux polynômes sont premiers entre

eux; s*il est nul, leur plus grand commun diviseur est-^j:-+-^. Si p était

nul, il est manifeste que les deux polynômes proposés ne pourraient avoir de diviseur commun que si q était nul ; dans ce cas le diviseur commun serait or* : la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes aient un diviseur commun dépendant de x est 4/''-r- 27^*= o.

Soit encore à chercher le plus grand commun diviseur de ir* — i et âex? — i ; on sait trouver le reste de la division de x* — i par arP— i ; en appliquant la régie donnée au n*^ 34, on voit de suite qu*on est conduit à faire sur les nombres naturels a, ^ les opérations relatives à la recherche du plus grand commun diviseur de ces deux nombres, au sens de rArithmétique. Si à est ce plus grand commun diviseur, x^-r i est le plus grand commun diviseur algébrique de X* — 1 et de arP — I.

TA. Si Ton considère trois polynômes A, B, C, on peut, dans la recherche des communs diviseurs à ces polynômes, remplacer deux d'entre eux, A et B par exemple, par leur plus grand commun diviseur A; les diviseurs communs à A, B, G seront les mêmes que les diviseurs communs aux polynômes A, G, puisque les diviseurs communs à A, B sont les mêmes que les diviseurs de A; les diviseurs communs à A, G sont les mêmes que les diviseurs du plus grand

commun diviseur A' de A et de C; les diviseurs communs à A, B, C seront donc les mêmes que les diviseurs de A'; il y a donc un polynôme A' dont les diviseurs sont les mêmes que les diviseurs communs à A, B, C; ce polynôme, évidemment unique d'après les raisonnements précédents, est, par définition, le plus g^rand commun diviseur des polynômes A, B, C.

Du cas de trois polynômes, on passe à celui de quatre, cinq, etc. Etant donnés des polynômes A, B, . . ., L en nombre quelconque, il existe un polynôme (leur plus grand commun diviseur) tel que les diviseurs de ces polynômes soient les mêmes que les diviseurs de ce plus grand commun diviseur.

Pour l'obtenir on peut remplacer tels des polynômes donnés que l'on veut par leur plus grand commun diviseur A, et chercher ensuite le plus grand commun diviseur de A et des polynômes que Ton a laissés de côlé. Comme on sait trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes, on sait trouver le plus grand commun diWseur de trois, quatre, etc., polynômes.

Quand le plus grand commun diviseur des polj'nomes A, B, ...,L est une constante (l'unité si l'on veut), on dit que ces polynômes sont premiers entre eux, dans leur ensemble. On dit qu'ils sont premiers deux à deux, quand chacun des polynômes est premier à chacun des autres.