AB...L "" A B L

82. Quels que soient les polynômes ^(x) et A, on peut mettre la fraction ationnelle — .

sous la forme

rationnelle — » w~' ^^ * désigne un nombre naturel, et cela d*une seule façon,

AÏ "^ Â^^ -^ . . . -f- -^ -+- E(x),

où aj, «1, . . ., aat-i désignent des polynôme*? en x^ dont les degrés sont inférieurs à celui de A et où E(x) est le quotient entier de la division de ^'(r) par A« (voir Ex. 51).

Si A, B, C, ..., L sont des polynômes premiers entre eux deux à deux et a, p, ..., X des nombres naturels, on peut mettre la fraction rationnel!**

fr(x)

. ^.^Q rr sous la forme

A*Bp . . . L>'

A«BP...L>"" A«"^A«-' ^ ""^ A

où E(r) désigne le quotient entier de la division de g{x) par V*B?...lA et où a©. ..., «a-i sont <!es polynômes don le degré est inférieur à celui de A, 6o, ..., b^-i des polynômes dont le degré est inférieur à celui de B, etc.. ..

Que devient cette proposition quand les polynômes A, B, ..., L sont du premier degré?

83. Étant donnés le polynôme ^(r) d'une part et, d'autre part, les polvnomes ^(x) et A, premiers entre eux, il existe un polvnome rt, de degré inférieur à A, et un seul, tel que g{x) — a ^(x) soit divisible par A.

Déduire de là que la fraction rationnelle , — > où a désigne un nombre

PLUS GRAND COMMUN DIVISRIR. 2fg

natarel, peut se mettre sous la forme

où ^i(x), «Oï ^lï » ûtfli-i sont des polynômes en x dont les a derniers sont

de degré inférieur au degré de \. Il n'existe qu'un seul système de polynômes ^i(x), ao, «1, ..., «flt-i, satisfaisant à cette dernière condition, tels que IVgalité précédente soit une identité.

En conclure une nouvelle démonstration de la proposition principale de l'exercice précédent, et montrer que, lorsqu'on se donne les polynômes ^(.r), V, B, . . ,, L et les nombres naturels a, ^, . . ., X, la fraction

A*Hîi...L^

ne peut se mettre sous la forme indiquée que d'une seule façon, c'est-à-dire que les polynômes «o, ..., «a-ii •••i ^X-i sont entièrement déterminés, en supposant que la condition relati>e au degré de ces polynômes soit vérifiée.

84. Si A et B sont deux polynômes en .t premiers entre eux, il ne peut exister de polynômes en ir, y (dont l'un ne se réduise pas à une constanlc) tels que leur produit soit identique à A^ -f- B.

83. Si A, B, C sont trois polynômes en j*, premiers entre eux dans leur ensemble, et tels que le polynôme B* — 4 VC ne soit pas le carré d'un polynôme en ar, il ne peut exister deux polynômes en jt^ y (dont l'un ne se réduise pas à une constante) tels que leur produit soit identique à A/' h- B^ -h G.

86. En désignant par m un nombre naturel, il y a deux polynômes (n® 82) /•>) et g{T) de degré m — i, tels que l'on ait identi(iuement,

ar'«/(jr)-+- (i — xY^ g{x) — i ;

montrer que l'on a identiquement

f{\—x)=zff{X), Jir(l — X)=/(X).

87. Si A est le plus grand commun diviseur des polynômes V, B, C, . . ., L, il existe des polynômes A', B', G', .. ., L' tels que l'on ait identiquement

AA'h- BB'-h GC'h- ... -h LV = A.

88. Si les polynômes Ai, Aj, A3 ont le même plus grand commun di\iseur que les polynômes B,, B,, il existe des polynômes a,, «j, aj, «;, a,, a^, ^,, p,,

Pn Piî ?n Pj l^ïs que Ton ait

B, = aiA, -4-a,Aî -haaAa, Ba = at'i Al -4- a^ Aj -f- aj A3, A,= p,BiH-p,B„

réciproquement, rexistcnce de polynômes aj, ..., ^j vérifiant ces idenlilés, implique que les polynômes Ai, Aj, A3 aient le même plus grand commua diviseur que les polynômes Bi, Bj.

Généraliser cette proposition.