DÉFINITIONS : OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES IMAGINAIRES

83. Les théories précédentes sont susceptibles de recevoir une extension considérable par l'introduction des nombres complexes (*) ou imaginaires, dont je vais maintenant m'occuper.

Ces nombres ont leur origine dans la résolution de Féquation du second degré.

Soit

(i) ax--^bx->rC=^o

one telle équation, à coefficients réels. On sait que, si ces coefficients vérifient la condition b^ — \ac^o^ l'équation a deux racines distinctes

CCS deux racines deviennent égales quand b- — .\ac esi nul; lorsque i^— ^ac est négatif, les formules (2) n'ont plus de sens, et il n'y a Jacnn nombre réel qui vérifie l'équation (i).

Si, dans le premier membre de l'équation (1), on remplace x par Pune ou l'autre des expressions (2) et que l'on développe les calculs en remplaçant le carré de y/6^ — ^ac par b'^ — ^ac^ on trouve identiquement o; lorsque 6- — ^ac est négatif et que, par conséquent, le calcul que l'on vient de décrire n'a pas de sens, peut-on attribuer <|uelque signification à ce résultat?

(*) L'expression nombre complexe s'emploie dans un sens plus général que celui ^ sera défini dans le présent Chapitre.

Dans ce cas, b'^ — l^ac peut s'écrire ( — i)(4«c — b^)\ le fadeur \ac — b' est positif.

Lorsque a, ^ sont des nombres positifs, on peut écrire, en donnanl aux radicaux leur signification arithmétique, y/a^ = ^/ây/^. On a eu ridée d'employer la même formule lorsque a est négatif, plus particulièrement égal à — I, et d'écrire

\/6*— 4«c = /— I /4 ac — 6* ;

le premier membre n'a pas de sens ; dans le second membre, le facteur y/ — 1 n'en a pas non plus; quoi qu'il en soit, les expressions (a), avec cette notation dénuée de sens, s'écrivent

'-h±L yf^\ y/.\ ac — b*

En remplaçant, dans ax''-^- bx-\- c, x par Tune ou l'autre de ces expressions, en calculant, d'après les règles ordinaires, et en remplaçant, dans le résultat, (y' — i)' par — i , on trouve encore o; ce calcul n'a pas plus de signification que le précédent, dont au fond il ne diffère pas; mais il devient facile de lui en donner une.

Le résultat de ce calcul peut en effet s'exprimer en disant que, si l'on désigne par i une variable réelle quelconque, et si Ton remplace, dans ax'^ -f- bx -h c, x par l'expression

— b zt i \l \ ac — />*

qui a une signification très claire dans le cas où nous nous plaçons (4«c — 62>>o), le résultat, qui est évidemment un polynôme du second degré en /, s'annule identiquement quand on y remplace (^ par — I, c'est-à-dire (n"o3) qu'il est divisible par i'^-^- 1. Au reste, la vérification est immédiate et l'on trouve que l'on a, identiquemenl en /,

ax^-T- bx-h c = (e*-h i).

quand on remplace dans le premier membre x par ^ "

Cette remarque, au premier abord, pai*aît bien peu importante;

mais le lecteur soupçonnera tout au moins sa portée en lisant Faffirmation suivante, qui est une des formes que l'on peut donner à la proposition connue sous le nom de théorème fondamental de V Algèbre et sur la démonstration de laquelle je reviendrai plus tard.

Étant donné un polynôme à deux variables x et /, dont les coefficients sont des nombres réels, il existe un binôme a-j-fl/, à coefficients réels a et ^3, tel que si, dans le polynôme donné, on remplace or par a -h ^/, le résultat soit divisible par/^*-^!. La proposition subsiste quand, dans le polynôme donné, tous les termes qui contiennent i disparaissent, c'est-à-dire quand ce polynôme se réduit à un polynôme en x^ à coefficients; réels.

Le simple énoncé de ce théorème montre suffisamment que Tobser- \alion faite sur le cas d'un trinôme du second degré est loin d'être isolée.

Si, par exemple, dans le polynôme x^ — 2j?-|-4j on remplace x par I 4- /, il devient

(i-ht)3— 2(i-hO-+-4 = i»H-3t*-i- /-f-3

en y remplaçant de même x par i — i, il deviendrait évidemment (t*-f- 1) ( — /-f- 3). Le polynôme proposé devient divisible par /--h i quand on y remplace x par i -j- « ou i — i.

Ainsi, quand on remplace dans le polynôme ax- -f- bx -\- c, où a, 6, c sont des nombres réels vérifiant la condition ^ae — 6^ > o, x par

• î-î î OU, dans le polynôme x^ — 2^ + 4, x par 1 ± i^

c'est le reste de la division par i^ -\- \ du résultat de la substitution qui est nul. On sera en droit de dire que les polynômes s'annulent

respectivement quand on y remplace x par » ou x

par i ± I , à condition de remplacer le résultat de la substitution par ce reste.

86. On est ainsi amené à développer des règles de calcul relatives à des expressions de la forme a -\- a' i^ où a et a sont des nombres réels quelconques et où i désigne, pour le moment, une variable réelle, règles dans lesquelles les résultats obtenus d'abord en suivant les règles ordinaires du calcul algébrique sont systématiquement remplacés par les restes d'une division par 4*-f- i .

Les expressions de la forme a-\-a!i^ lorsque Ton convient de les soumettre à ces règles de calcul, prennent le nom de nombres complexes ou de nombres imaginaires.

Règle générale, — Si Ton a à effectuer des additions, des soiiî>tracllons, des multiplications sur des expressions de la forme a-j-a'/, où a et a sont des nombres réels, on commencera par effectuer ces opérations, d'après les règles habituelles du calcul des polviiomes, comme si i désignait une variable réelle, puis on cherchera le reste de la division du résultat par /=*+!; ce reste sera, par dénnition. le résultat des opérations à effectuer sur les expressions de la forme a -h a' i.

Si le reste est nul, le résultat sera regardé comme égal à o.

On trouve, par exemple, un résultat nul quand on remplace x par I -+- / ou par i — i dans le poljnome x^ — 2 j: -f- 4 ; c'est ce qu'on entend en disant que ce poljnome admet les racines imaginaires i + i, I — i. On trouve encore un résultat nul lorsque, dans le polynôme ax^-\- bx -h c, où a, 6, c sont des nombres réels vérifiant la condition ^ac — è^^o, on remplace x par Tun ou l'autre des deux nombres

à ^ y/j ac — b* .

'la 'la *

et c'est ce qu'on entend en disant que, dans ce cas, réqualion ax''-{- bx 4- c = o admet deux racines imaginaires, dont rexpression est écrite plus haut.

La lettre i tient ainsi un rôle très particulier : dans un polynôme où elle figure à la place d'une ^ariable, on ne s'inquiète que du reste de la division par /--Hi; deux pareils polynômes sont regardés comme égaux quand les restes sont les mêmes, ou, ce qui revient au même, quand leur différence est divisible par /*-hi ('). En particulier, un polynôme en i est regardé comme égal à son reste. Plus particulièrement le polynôme i- est regardé comme égal à — 1 ? qui ^^^ le reste de la division de i- par 4^-h 1. Dès que l'on fait celle con-

(*) Cetlc définition de Fégalité satisfait aux trois conditions que doit vérifier loaie définition de l'égalité : un objet est égal à lui-même; si un premier objet est égala un second, le second objet est égal au premier; si deux objets sont égaux à un troisième, ils sont égaux entre eux.

NOMBRBS IMAGINAIRES. l'iS

venlion, il est clair qu'on ne peut plus regarder la lettre «comme une variable réelle.

11 faut se garder, partout où quelque confusion serait possible, d'employer la lettre / avec le sens qu'on vient de spécifier et un autre sens.

Ln nombre imaginaire a -\-a'f est défini quand on donne les deux nombres réels a, a' au moyen desquels il est formé : ces deux nombres jouent un rôle très différent; l'un a s'appelle la partie réelle du nombre imaginaire, l'autre a s'appelle le coefficient de /.

Deux nombres imaginaires formés avec la même partie réelle et le même coefficient de i doivent naturellement être regardés comme le même nombre imaginaire; si, dans les deux nombres, les parties réelles ou les coefficients de i ne sont pas les mêmes, les deux nombres sont distincts.

En d'autres termes, deux nombres imaginaires a -\- a' i^ 64- é't, où a, a', ft, 6' sont des nombres réels, sont dits égaux et l'on écrit

lorsque l'on a a = a'j b=^b' et seulement dans ce cas; l'égalité unique a-\-a'i=b-{-b'i remplace en réalité deux égalités.

Cette définition de l'égalité de deux nombres imaginaires est la même que celle qu'on a adoptée plus haut pour deux polynômes en /, puisqu'un binôme a-\~di^ du premier degré en 1, est le reste de la division de ce binôme par t^ -h i .

Lorsque, dans l'expression a -ha'i^ le coefficient de i est nul, on la confond avec le nombre réel a : les nombres complexes comprennent donc les nombres réels comme cas particulier. De même, en Arithmétique, une fraction dont le dénominateur est i est regardée comme la même chose que son numérateur.

Cette convention est légitime, puisque les calculs sur des nombres imaginaires dans lesquels les coefficients de i seraient nuls, effectués d'après la règle qu'on a donnée plus haut, se réduisent évidemment aux calculs effectués sur des nombres réels, d'après les règles qui concernent ces nombres. Cette observation s'appliquera à la division quand on l'aura définie.

Les nombres imaginaires comprenant les nombres réels, il est permis de dire un nombre, au lieu de dire un nombre imaginaire; cette T. 10

asi6 CHAPITRE VI.

convention, toute pareille à celle qu'on fait en Arithmétique quand on passe des nombres entiers aux fractions, est d'autant plus avantageuse qu'il est naturel d'opposer dans une certaine mesure les nombres imaginaires aux nombres réels, c'est-à-dire de sous-entendre, quand on parle d'un nombre imaginaire, que le coefficient de /, dans ce nombre, n'est pas nul.

Un nombre imaginaire dans lequel la partie réelle est nulle et qui, ainsi, est représenté par un symbole tel que a' i est dit purement imaginaire.

Lorsque la partie réelle et le coefficient de i d'un nombre imaginaire sont nuls l'un et l'autre, et seulement dans ce cas, le nombre imaginaire est dit nul; on le représente par o. Cette convention esl contenue dans celle qui fait comprendre les nombres réels dans lej» nombres imaginaires.

Deux nombres imaginaires a -^ a'i, a — a' i dans lesquels les parties réelles sont les mêmes et les coefficients de i des nombres symétriques sont dits conjugués : deux nombres imaginaires conjugué5 ne peuvent être égaux sans que les coefficients de / soient nuls; un nombre réel est son propre conjugué.

Deux nombres imaginaires a -{- a'i^ — a — a' i dans l'un desquels la partie réelle et le coefficient de / se déduisent de la partie réelle el du coefficient de / dans l'autre en les changeant de signe sont dits symétriques. L'expression égaux et de signes contraires que l'on emploie quelquefois est incorrecte, puisque le signe d'un nombre imaginaire n'est pas quelque chose de défini (*). Deux nombres symétriques ne peuvent être égaux que s'ils sont nuls l'un et l'autre. Deux nombres purement imaginaires conjugués sont symétriques.

87. D'après ce qu'on vient de dire, un nombre imaginaire est entièrement défini par deux nombres réels a, a' qui jouent un rôle distinct; rien n'empêche, si on le veut, de regarder la lettre i comme un simple signe accolé à l'un des deux nombres a, a' pour le distinguer de l'autre : on peut même la supprimer et, au lieu de a H- a'/, écrire

(') Il y a en réalité deux signes à considérer: le si;;ne de la partie réelle, le sigoc de la partie imaginaire. Toutefois, j'emploierai à l'occasion l'expression changer de signe un nombre imaginaire avec le même sens que remplacer un nombre imaginaire par son symétrique.

par exemple (a, a'), en convenant d'écrire toujours le premier le nombre qui tiendra le rôle de la partie réelle et, le second, le nombre qui tiendra le rôle du coefficient de /; dans cette notation, le nombre réel a se représenterait par (a, o), le nombre purement imaginaire a'i par la notation (o, a), le nombre / par la notation (o, i), le nombre o par la notation (o, o).

Le lecteur peut, s'il le veut, se représenter ainsi un nombre imaginaire comme un couple de nombres réels, de même qu'on peut, en Arithmétique, se représenter une fraction comme un couple de deux nombres entiers. Naturellement, sur ces nouveaux nombres (ces couples de nombres réels), toutes les définitions relatives à l'égalité, à l'addition, à la soustraction, à la multiplication, à la division doivent alors être reprises l'une après l'autre. Ce qui précède suffit évidemment à la définition de l'égalité.

Quant aux opérations d'addition, de soustraction, de multiplication sur les nombres réels ou imaginaires, je les définirai toutes par la règle du numéro précédent en insistant, pour chacune de ces opérations, sur la façon dont on calcule la partie réelle et le coefficient de I dans le résultat.

Rien n'empêcherait de prendre chacune des règles particulières à laquelle je parviendrai ainsi comme la définition, au point de vue qu'on vient d'indiquer, de l'opération correspondante, effectuée sur des couples de nombres réels, et d'établir ensuite les propriétés fondamentales de cette opération, qui, pour nous, résulteront de la considération des restes de la division par /^ -h i .

Avant d'entrer dans le détail des opérations, je dois faire observer qu'il n'y a aucun inconvénient à représenter par une seule lettre un nombre imaginaire : on s'est déjà souvent servi d'une lettre pour désigner tout un polynôme; il s'agira maintenant d'un polynôme en «, ou plutôt du reste de la division de ce polynôme par t^ -i- i .

88. Addition et soustractioii. — Étant donnés deux ou plusieurs nombres (réels ou imaginaires)

A = a -+- a' «, B = 6 4- 6' t , C = c 4- c' i , . . . , où a, 6, c, ..., a', 6', c', ... sont des nombres réels, on doit, pour

effectuer leur somme, faire la somme

a-^ a'i-^- b -h b'i-¥ c-h c'i -h,. .= (a-^ b-hc -h.. .)-h (a'-h b'-h c' ■^,.,)i,

comme si i était une variable réelle, puis prendre le reste de la division par fi-\-i; puisque la somme est du premier degré, au plus, en «, elle est précisément le reste cherché : la partie réelle de la somme est la somme des parties réelles; le coefficient de i est la somme des coefficients de /. En se plaçant au point de vue du numéro précédent, ce serait là la définition de l'addition des nombres imaginaires.

Par exemple, la somme des nombres 2 H- 3i, — /, 5, 4« est | -f-6'; la somme des nombres 2 /, i — /, — / est 1 .

(1 est manifeste que, dans une somme de deux ou plusieurs nombres, on peut ranger les termes dans l'ordre qu'on veut, remplacer tels termes que Ton veut par leur somme effectuée, ajouter o à un nombre sans le changer, supprimer les termes qui se détruisent. On peut dire encore que l'addition des nombres réels ou imaginaires, pour laquelle on adopte le même signe -|- que pour les nombres réels, obéit aux lois qu'expriment les égalités qui suivent :

A-hB =B-hA,

A-h{B4-C)=(A-+-B)H-C, Ah-o = a,

qui constituent les propriétés fondamentales de l'addition.

Un nombre a-^- a' i peut être regardé comme la somme de sa partie réelle a et de sa partie (purement) imaginaire a' i,

La somme de deux nombres imaginaires conjugués est le double de la partie réelle de ces nombres.

La somme de deux nombres symétriques (réels ou imaginaires) est o; la somme de deux nombres ne peut être o que s'ils sont symétriques.

La différence A— B des deux nombres a-f-a'i, b-hb'i est le nombre a— b -\- {a' — b')i; c'est le seul nombre qui, ajouté à B, reproduise A; elle est nulle si A est égal à B, et seulement dans ce cas.

On peut affecter du signe 4- ou du signe — une lettre qui reprë-

NOMBRES IMAGINAIRES. 2ig

sente un nombre imaginaire ; -H A désigne le même nombre que A,

— A le nombre symétrique de A.

Dans une expression telle que A — B -h C — D, les signes — , H-,

— peuvent être regardés comme des signes d'opération : on a à retrancher B de A, à ajouter C au résultat, puis à retrancher D; ces signes peuvent être attachés aux lettres qui les suivent; l'expression précédente représente alors la somme des nombres A, — B, -h C, — D ; les deux significations sont équivalentes.

89. Multiplicatioii. — Pour faire le produit de deux ou plusieurs nombres, des nombres

par exemple, on doit faire le produit des trois binômes, comme si i était une variable réelle; on obtient ainsi

abc -^{a' bc -h ab' c -h abc')i -h {ab' c' -\- a' bc' -^ a'b'c)i^-ha' b'c' î*;

on a ensuite à chercher le reste de la division par £^-i- i, ou à remplacer i'^ par — I, «' par — i, ce qui donne

(abc — ab'c* — a' bc' — a'b'c) -\-(a'bc -h ab'c -^-abc' — a'b'c')L

On ne modifie pas le reste de la division par /=*-h i quand on intervertit Tordre des facteurs, ou que Ton remplace deux ou plusieurs facteurs par leur produit eflectué, ou encore par le reste de la division par /^-H i de ce produit partiel : dans un produit de facteurs imaginaires on peut intervertir Tordre des termes, grouper les facteurs comme on veut. On ne change pas un produit en introduisant ou en supprimant un facteur égal à i , ou en supprimant un groupe de facteurs dont le produit est égal à i .

Lorsque, dans un produit de nombres réels ou imaginaires, un facteur est nul, le produit est nul : car le polynôme en /, obtenu en faisant la multiplication comme si /était une variable réelle, est divisible par t* H- I .

Réciproquement, si un produit de facteurs est nul, Tun des facteurs est nul. En effet, dire que le produit des nombres imaginaires a -l- «'/, b-^b' i, c H- c' ij par exemple, est nul, c'est dire que le polynôme en i

23o CHAPITBE VI.

obtenu en développant

(a-^a'£)(b-hb'i)ic-hc'i)

comme si i était une variable réelle, est divisible par t^ -h i . Restons un moment à ce point de vue ; si aucun des binômes a H- a' r, 6 -H b'i, c -h c'/ n'est identiquement nul, c'est que chacun d'eux est premier avec t^-h I ; il en est de même de leur produit (n** 76), qui, ainsi, ne peut être divisible par i'^ -+- i ; le produit ne peut donc être nul, si l'on se place au point de vue du calcul des nombres imaginaires.

Pour multiplier une somme de deux nombres imaginaires A, B par un troisième C, on peut multiplier successivement les deux nombres A, B par C et faire la somme des produits. En d'autres termes on peut écrire, en employant pour les nombres imaginaires les mêmes notations que pour les nombres réels,

(Ah-B)C = AC-hBC.

L'égalité est en effet évidente, quand on effectue simplement les opérations sur les binômes a -\- aUj b -\- b' i^ c H- c'i, comme si i était une variable quelconque (n" 33); les restes de la division par l'-hi des deux membres sont les mêmes ; et le reste relatif au premier membre n'est pas changé quand on remplace A 4- B par son reste, le reste relatif au second membre n'est pas changé quand on y remplace A, B, G par leurs restes (n® 76).

La proposition et la démonstration s'étendent au cas où la somme contient autant de termes qu'on veut; elle s'applique aussi bien à une différence qu'à une somme, puisqu'une différence peut être regardée comme une somme. Elle s'applique en particulier à la multiplication d'un nombre imaginaire, 3 — 5/ par exemple, par un nombre réel — 2, ou purement imaginaire 3/; le produit est dans le premier cas, — 6 -t- loi, et, dans le second cas, 9/ — 1 5/^, que l'on doit remplacer par 1 5 -h 9 £.

90. Arrêtons-nous sur le cas où il s'agît du produit de deux facteurs A = a 4- rt'f, B = 6 4- b'i.

Le produit développé de ces deux nombres est

ab -h (a6'-h a'b)i -+- a' b' i^

NOMBRES IMAGINAIRES. 23l

OU, en remplaçant /'•* par — i ,

ab — a'b'-{-{ab'-^a'b)i;

par exemple, le produit de 7 — 5/ par i -f- * est 1 2 -|- 21,

L^ expression obtenue pour le produit des deux nombres imaginaires a -h Cl' il b -i-b'i pourrait, en se plaçant au point de vue du n" 87, être regardée comme la définition du produit de deux, nombres imaginaires; le produit de deux nombres imaginaires A, B étant défini, le produit de trois nombres A, B, C s'obtiendrait, par définition, en faisant le produit des deux premiers par le troisième d'après la même règle; ainsi, en supposant comme plus haut C = c-hc'i, on aurait par définition

ABC = {ab - a'b')c — {ab'-h a'b)c'-h[iab ~ a' b' ) c' -h ( ab' -^ a'b)c]i;

le résultat est naturellement le même que plus haut. En se plaçant à ce point de vue, on aurait à vérifier les égalités

AB = BA, {AB)C= A^BC), A X I = A, A(B-i-C) = AB-h AC,

qui constituent les propriétés fondamentales de la multiplication, et qui sont comprises dans les propositions générales établies au numéro précédent; ces propositions peuvent, inversement, être déduites des égalités qu'on vient d'écrire.

Signalons quelques cas particuliers :

Le produit de / par * est — i ; en d'autres termes on a 1=*= — i .

Le carré d'un nombre imaginaire a -h a' i est a^ — a^'^-h 2aa' i. Il est réel quand le nombre dont on fait le carré est ou réel, ou purement imaginaire et seulement dans ces deux cas; il est positif dans le premier, négatif dans le second.

91. Valeur absolue d'un nombre imaginaire. — Le produit de deux nombres imaginaires conjugués a-^a'i^ a — a'i est réel : c'est la somme a^ 4- a'^ du carré de la partie réelle et du carré du coefficient dei.

On désigne sous le nom de module ou de valeur ahsolue (' ) d'un nombre imaginaire a -h a' ij la racine carrée prise avec le sens arithmétique de la somme des carrés de la partie réelle et du coefficient de £. La valeur absolue de a -f- a' i est donc le nombre positif y/a* -h a'* ; si le nombre a-^a'i est réel, c'est-à-dire si a' est nul, la valeur absolue se réduit au nombre positif y/a'-', c'est -h- a, ou — a suivant que a est positif ou négatif; c'est, pour les nombres réels, la signification à laquelle le lecteur est habitué; la valeur absolue du nombre réel ou imaginaire A= a -h a't se représente par le symbole j A | ou |a-|-a'/|.

La valeur absolue d'un nombre nul est o; si la valeur absolue d'un nombre réel ou imaginaire est nulle, on peut affirmer que ce nombre est o, puisque ^a*^ H- a'*, où a, a' sont des nombres réels, ne peut être nul que si l'on a séparément a = o, a'= o.

Les valeurs absolues de deux nombres conjugués sont égales.

Le produit de deux nombres conjugués est égal au carré de la valeur absolue de l'un ou de l'autre.

La valeur absolue du produit de deux nombres est égale au produit des valeurs absolues de ces nombres. On vérifie en effet de suite l'identité

{ab — a'6')»-h(a6'H- a'6)« = (a«-h a'«)(6«-H 6'«)

qui exprime que le carré de la valeur absolue du produit des deux nombres a -h «' i, b -{- b' i est égal au produit des carrés des valeurs absolues de ces deux nombres : comme la valeur absolue est essentiellement positive, le théorème énoncé est démontré.

11 s'étend évidemment, de proche en proche, au cas de trois, quatre, . . ., nombres : au reste, on peut démontrer directement que. pour un nombre quelconque de facteurs, le carré de la valeur absolue du produit est égal au produit des carrés des valeurs absolues des facteurs, en faisant d'abord la remarque suivante, qui est importante par elle-même.

(') C'est le terme dont je me servirai, d'autant que le mot module a une foule de significations en matiiérnatique». li est désirable d'en supprimer au moins une. Autrement on est amené à dire le module du module^ en employant le mol module dans deux sens absolument différents.

Ld norme d'un nombre imaginaire a -h a'i est a^-h a'»; c'est le carré de sa valeur absolue.

Si, en effectuant des additions, soustractions, multiplications^ sur des nombres imaginaires, on a trouvé comme résultat le nombre imaginaire />-!-/>'«, {p et // réels), et que Ton effectue ensuite les mêmes opérations sur les nombres conjugués, on trouvera comme nouveau résultat le nombre p — p' i^ conjugué du premier résultat.

Cette proposition devient évidente si Ton se reporte à la règle du n^ 86, et qu'on regarde i comme une variable réelle. Les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, effectuées sur les nombres imaginaires donnés conduisent à un certain polynôme /(t) à coefficients réels; les mêmes opérations effectuées sur les nombres conjugués, qui se déduisent des premiers en changeant i en — «, conduiraient au polynôme f{ — /), obtenu en changeant i en — i dans/(i); dire que le résultat des premières opérations, effectuées d'après la règle du n" 86, est p -h ///, cela revient à dire que p -\~ p' i est le reste de la division par i^-f- i de f(i), en d'autres termes que Ton a, en désignant paro(i) un polynôme en * à coefficients réels, l'identité en i\

/(i)=/?H-y5't-h(ï«-h*)(p(i); si l'on change dans cette identité i en — /, elle devient

elle montre que p — p'i est le reste de la division de /( — i) par i^-{-i; c'est ce qu'il fallait établir.

Revenons, après cette remarque générale, au théorème concernant le produit de plusieurs facteurs. Considérons, par exemple, les trois facteurs a-f-a'*, b -\- b' i^ c-^-c'i et désignons leur produit par p -\-p'i] l'égalité

( a -H a' « ) ( 6 -h 6' I ) (c -H c' i ) = /> -i- p i entraine

en multipliant membre à membre et en groupant ensemble les facteurs conjugués, on a

C'est ce qu'il fallait établir.

Celte proposition fournil une seconde démonstration de ce fait qu'un produit ne peut être nul sans qu'un facteur soit nul; en effet, si p -\' p' i est nul, c'est-à-dire si Ton a /> = o, p'=o^ le produit des nombres réels, a^-k-a''^, 6*4-6'*, c^H-c'*, est nul; l'un de ces nombres est nul; si c'est «/'H- a'*, par exemple, il faut que Ton ait a = o, 0^= o, c'est-à-dire que a -h a'i est nul.

92. Il me reste à définir la division de deux nombres imaginaires : On appellera quotient de la division du nombre imaginaire a -h ai

par le nombre b-h b' i un nombre imaginaire c -^ c i dont le produit

par b -h b'i soit égal à « H- a'i.

L'égalité

(6-i-6'ï)(c-hc'i)=aH-a'i

équivaut aux deux égalités

bc — b' c' = a, b'c -4- bc' = a';

ces deux égalités peuvent être regardées comme deux équations du premier degré dont les deux inconnues seraient c, c'; le déterminant des deux équations est b'^ -^ V^ ; il n'est pas nul, sauf dans le cas où le diviseur b -\- b' i serait nul; si l'on exclut ce cas, les deux équations admettent une solution et une seule; le problème posé admet une solution et une seule, à savoir le nombre imaginaire

ab-^a'b' a'b--ab' .

par exemple, le quotient de la division de 3 4- 1 par 1 -|- 1 est a — /. L'égalité

en y changeant i en — i montre que, si c -h d i est le quotient de la division de a -f- a'i par b H- 6'/, le quotient de la division de a — ai par b — b' i sera c — c' i.

Au lieu de dire « le quotient de la division de A par B » je dirai le plus souvent « rapport de A à B » et je représenterai ce rapport par

la notation ^ : c'est le nombre qui, multiplié par B, reproduit A. Les

mots dividende et diviseur sont remplacés alors par les mots numérateur, dénominateur.

La valeur absolue d^un rapport est le rapport des valeurs absolues du numérateur et du dénominateur, ainsi qu'il résulte du théorème analogue relatif à la multiplication.

L'inverse d'un nombre non nul B, ou le nombre qu'il faut multiplier par B pour que le produit soit i , se représente, d'après la notalion précédemment expliquée, par g*

En supposant B = 6 -h é'i, on a

le rapport C de A à B est le produit de A par-^> comme on le vérifie sans peine et comme il résulte de l'égalité

Les propriétés des fractions à termes réels qui reposent sur la définition^ en vertu de laquelle le numérateur est égal au produit du dénominateur par la valeur de la fraction, s'étendent sans changement aux fractions à termes imaginaires.

On peut, par exemple, multiplier ou diviser les termes d'une fraction à termes réels ou imaginaires, par un même nombre non nul.

Ce théorème donne le mojen le plus commode pour effectuer une

division; considérons par exemple la fraction t jr-'^ on multipliera

le numérateur et le dénominateur par le nombre b — b' i conjugué du dénominateur ; on trouve ainsi

(a-^a'i)(b-'b'i) __ ab -ha'b -^(a' b — ab)i b*-hb'^ " b^-^b'^

On peut réduire deux ou plusieurs fractions au même dénominateur, ajouter des fractions qui ont même dénominateur.

Le produit de deux fractions se fait en divisant le produit des numérateurs par le produit des dénominateurs. Pour obtenir l'inverse d'une fraction, il suffit de la renverser. Pour diviser une fraction par

a36 CHAPITRE VI.

une fraction, on muUiplie la fraction dividende par l'inverse du diviseur.

93. Raoine carrée. — On montrera bientôt comment on peut obtenir, en général, la racine n**"* d'un nombre imaginaire; je veux dire ici un mot de la racine carrée :

La racine carrée d'un nombre imaginaire a H- bi (a, b réels) sera, par définition, un nombre imaginaire x -\-iy {x^ y réels) tel que Ton ait {x -h iyY = a -h bi^ ou

(i) ar* — ^« =;= a, ixy=-b.

Supposons b différent de o^ x ely devront être différents de o; on tire de la seconde équation

et en portant dans la première,

4 j** — 4 ûtar» — 6* = o.

L'équation en x'^ ainsi obtenue a une racine positive

ar«= 1

et une racine négative, qu'il faut écarter, puisqu'on veut avoir pour j une valeur réelle; on aura ainsi deux valeurs symétriques pourz, à savoir

à chacune desquelles correspond une valeur de y par l'équation (2). On reconnaît immédiatement, en remontant la suite des calculs, que les valeurs ainsi trouvées pour J7, y vérifient les équations (i).

Le problème admet deux solutions et deux solutions seulement: ces deux solutions sont des nombres symétriques qu'on peut écrire sous la forme

(3) ± -1- (\in. ^ /.ii-u ht ^ ^' .y

en donnant aux radicaux la signification arithmétique.

De Tégalilé on lire de suite

en désignant par e un nombre égal à + i ou à — i , suivant que b est positif ou négatif; le facteur e a été introduit afin que le second membre soit positif comme le premier (* ) ; on en déduit

d'où cette seconde forme de la solution

qui est plus élégante, mais moins avantageuse pour le calcul numérique, puisqu'elle exige une extraction de racine carrée de plus que la première.

Enfin, si b est nul, c'est-à-dire si le nombre proposé est réel, la seconde équation (i) montre que l'un des nombres y, J7 doit être nul ; en vertu de la première équation, on doit avoir alors soit J7^=a, soit j'* = — a\ puisque J7, y doivent être réels, on prendra yz=.o^ X = ± yja si a est positif, x = o, j^ = ±: \J — a si a est négatif; dans le premier cas, les deux solutions du problème proposé sont les nombres réels dt y/a ; dans le second cas, les deux nombres purement imaginaires ±: i>J — a.

Ces deux solutions sont d'ailleurs comprises dans la formule (4), puisque \Ja^-\- 6^ se réduit alors à y^a^ , c'est-à-dire à a si a est positif, à — a si a est négatif.

(' ) Le nombre t ainsi déâni se représente souvent par le symbole sgn b ( signe de 6).

238 CHAPITRE Vl.

Exemple. — Les deux nombres dont le carré est i -h i sont

les deux nombres dont le carré est i sont dt -— (n- i),

Si l'on applique les formules précédentes, dans le cas où a=— i, 6 = o, on trouve que les deux nombres dont le carré est — i sont ± i. Si Ton convient de représenter en général par y/a H- bi un nombre imaginaire dont le carré est a -i- 6{, on sera conduit à poser

el à écrire un nombre imaginaire a-|- pi (a, ^ réels) sous la forme a -H ? v^ — I . On est ainsi ramené à la notation qui nous a servi de point de départ, mais qui, maintenant, est justifiée.

§ 2. — REPRÉSENTATION OÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES IMA6INAIRCS.

94. Les nombres imaginaires sont susceptibles d'une représentation géométrique sur laquelle je vais maintenant insister. Mais, auparavant, je rappellerai quelques définitions.

Fig. 25.

Considérons un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaire*. Pour fixer, dans ce plan, une direction, il suffit évidemment de fixer la par»'-

NOMBhBS IMAGINAIRES. iSg

lèlc menée à cette direction, dans le même sens, à partir de l'origine : je ne considérerai donc que des directions partant de ce point; en particulier l'angle de deux directions sera l'angle des deux parallèles à ces directions, à partir de l'origine.

Pour fixer une direction à partir de l'origine O, ou, si l'on veut, une demidroite ayant son origine au point O, il suffit évidemment de se donner un point A situé sur cette demi-droite (et non sur la demi-droite opposée), ou, ce qui revient au même, les coordonnées a, b de ce point. Le point unique M où la demi-droite considérée rencontre le cercle décrit de O comme centre avec un rayon égal à l'unité de longueur est particulièrement utile à considérer; ses coordonnées a, P s'appellent les cosinus directeurs de la demidroite considérée; elles vérifient la relation at*-hP*=i. Inversement, deux nombres réels quelconques vérifiant cette relation sont les coordonnées d'un point unique sur le cercle et sont les cosinus directeurs de la demi-droite qui part de l'origine et aboutit en ce point.

^i l'on désigne par r le nombre positif qui mesure la longueur OA, on a

le radical est pris avec son sens arithmétique. Ces formules permettent, quand on se donne a, 6, de calculer r, a, p sans ambiguïté.

Soient X, Y les points où les directions positives des axes des x et des y rencontrent le cercle; un mobile M, qui se meut sur le cercle toujours dans le même sens (sans oscillations), se meut dans le sens direct ou positif s'il se meut dans le même sens qu'un mobile qui partirait du point X pour aller vers le point Y en décrivant le quart du cercle; dans le cas contraire, il se meut dans le sens indirect ou négatif. Dans les mêmes conditions, on dit que le rayon DM, ou une parallèle quelconque à ce rayon, menée dans le même sens à partir d'un point fixe, tourne dans le sens direct ou dans le sens indirect.

Un nombre 9 quelconque peut être regardé comme V abscisse circulaire d'un point M sur le cercle : on obtient ce point M en imaginant un mobile qui se meuve sur le cercle, sans osciller, en partant du point X (origine des arcs), dans le sens positif ou dans le sens négatif, suivant que 8 est positif ou négatif, et qui s'arrête lorsqu'il a parcouru, sur le cercle, un chemin dont la longueur est la valeur absolue de 0. Le point où le mobile s'arrête est le point M dont l'abscisse circulaire est 6. Son abscisse et son ordonnée sont, par définition, les nombres cosO et sin6; tangO est, par définition, la pente de la droite qui joint le point O au point M.

Inversement, à chaque position du point M sur le cercle correspondent une infinité de nombres dont chacun peut être regardé comme l'abscisse circulaire du point M : ces nombres forment une progression arithmétique, indéfinie dans les deux sens, dont la raison est itz. Tous ces nombres ont même cosinus, même sinus, même tangente.

Si l'on considère deux directions OM, OM', définies, comme on l'a expliqué plus haut, par deux points M, M' du cercle, et si Ton attribue un ordre à ces

a^O CHAPITRE VI.

deux directions, en sorte que OM soit la première et OM' la seconde, langle (OM, OM') de ces deux directions, ou l'arcMM', sera, par définition, l'abscis$< circulaire du point M', définie comme plus haut, mais en prenant le point M comme origine des arcs (et non le point X). Le sens positif reste celui qu'on a défini plus haut. Cet angle ou cet arc ne sont définis qu'à un multiple près de ÀTt.

En d'autres termes, toutes leurs déterminations s'obtiennent en ajouunt à l'une quelconque d'entre elles le produit de -n: par un nombre entier quelconque : la valeur principale de l'angle (OM, OM') ou de l'arc MM' est celle de ces déterminations qui est comprise entre — t: et -h ir ; elle est entièrement déterminée, sauf dans le cas où les deux directions sont opposées, où les deux points M, M' sont diamétralement opposés; elle peut alors être prise, à volonté, égale à ir ou à — tt. En écartant ce cas d'exception, la valeur principale de l'angle (OM, OM') est positive ou négative, suivant que l'angle de CM et de OM' considéré comme une figure géométrique a, ou non, la même disposition que l'angle (OX, OY) considéré aussi comme une figure géométrique.

La somme des deux angles (OM, OM') et (OM', OM) est nulle ou égale à un multiple de -àt:.

Si l'on considère irois directions à partir du point O ou, si l'on veut, trois points M, M', M' sur le cercle, il est clair qu'on peut se mouvoir sur le cercle, à partir du point M, de manière à rencontrer d'abord le point M', puis le point M'; on voit ainsi qu'il existe une détermination des angles telle que Ion ait

(OM, OM') = (OM, OM') -h (OM', OM*),

et, par conséquent, on aura, pour n'importe quelle détermination des angles,

(OM, OM') = (OM, OM')H-(OM', 0M')-+-2^i:, (OM', 0.\r)-h(OM', OM )-h(OM, OM') = iAiî,

k et h étant des nombres entiers dont la valeur dépend des déterminations choisies pour les angles, ou les arcs.

Si l'on se donne la direction OM, ou \e point M, et l'une des déterminations de l'angle (OxM, OM'), la direction OM'. ou le point M', sont déterminés sans ambiguïté.

En particulier, la direction OM, elle-même, peut être déterminée par

l'angle 6 = (OX, OM): - —9 est alors une des déterminations de l'angle (OM, OY); les cosinus directeurs de OiM sont

a = cose, ^= cos ( - — O) = sinô.

Lorsqu'on se donne les coordonnées a et 6 du point A, on a vu plus haol comment on pouvait calculer les cosinus directeurs de la direction O A ou OM, en désignant par M le point unique où le cercle est rencontré par la demidroite OM; l'angle 6 est alors dét<-rminé, à un multiple près de aie, parles

NOMBRES IMAGINAIRES. i4 I

formules

cosO =-—==—, smO =

Cela revient à dire que, si Ton se donne deux nombres a, 6 qui ne soient pas nuls à la fois, il existe un seul nombre positif r et un seul angle (abstraction faite des multiples de itz) tels que l'on ait a = rcos6, 6 = rsinO. Si Ton veut choisir pour sa détermination principale, comprise entre — tc

et r, devra être pris entre et H — si a est positif, entre o et - ou

entre o et suivant que à est positif ou négatif; entre — et tt ou entre

^ et — 7c si a est négatif; dans le premier intervalle si b est positif, dans

le second si b est négatif; si b est nul et a négatif, la détermination principale peut être prise égale à -rr ou à — tt. Dans ces conditions, les tables trigonométriques (centésimales, par exemple) permettent de trouver un angle exprimé en grades, compris entre o et loo, dont le cosinus ou le sinus aient la même valeur absolue que cosO ou sinO, et les remarques précédentes permettent de calculer ensuite Tangle 0.

Toutefois, il est préférable, quand on se donne les valeurs numériques de a et de b et que Ton veut calculer /* et 0, de faire le calcul en partant de la formule

tangO = — •

On cherche dans la table le nombre g de grades compris entre o et loo, tel que la tangente correspondante soit la valeur absolue de — ; on prend à la même page le logarithme du cosinus ou du sinus du même arc, en sorte que 1*«D ait en posant 6'= - — >

tanffO'= -

cosr^L^-1, sinO'-'^'-

Viine des deux dernières formules donnera r par un calcul facile, puisque Ton a déjà les logarithmes de | a | et de | 6 |. D'après les règles précédentes, si a est posiiif, on prendra 6 = 0' ou = — 6' suivant que b sera positif ou négatif, et, si a est négatif, = 7: — O'ou 6 = — r-hO' suivant que b sera positif on nê;;atif ( * ).

(') Il convient de prévenir le lecteur, une fois pour toutes, que les angles ou arcs <lontil sera question dans le présent Livre seront toujours exprimés en radiants (ou en parties du rayon) et non en grades ni en degrés. C'est pour appeler son attention ^r ce point et sur les précautions à prendre dans les calculs numériques, que j'ai insisté sur les détails que Ton vient de lire.

l\l CHAPITRE VI.

J'ai cru utile de rappeler les défioitioDS et propositions foudamentaie» qai précédent; je me servirai d'ailleurs, sans revenir sur leur démonstration, de> formules de trigonométrie élémentaire qui reposent sur ces définition» et sur remploi du théorème des projections.

FÎK. i6.

95. Imaginons un pian rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy.

Un nombre imaginaire a -+- bi est déterminé si Ton se donne les deux nombres réels a, 6; à ce couple de deux nombres réels a, b correspond un point A dont Tabscisse est la partie réelle a et l'ordonnée le coefficient de i dans le nombre a -h bi. Le point A sera, si l'on veut, V image du nombre a-{-bi. Inversement, à un point A, dont les coordonnées sont a, 6, correspond le nombre imaginaire a 4- i'' qui est dit Yaffixe du point A.

Si b est nul, le nombre a + bi est réel : les nombres réels sonl représentés par des points situés sur Taxe des abscisses; de même les nombres purement imaginaires sont représentés par des points situés sur l'axe des ordonnées : aussi ces axes sont-ils souvent appelés respectivement axe des quantités réelles, axe des quantités purement imaginaires, ou, plus brièvement, axe réel, axe imaginaire. Au nombre o correspond Forigine O des coordonnées. Le nombre positif r = sJa^-\- b'^, qui mesure la longueur du vecteur OA, est ce qu'on a appelé plus haut la valeur absolue du nombre a -h 6/, l'angle (OX, OAi de la direction positive prise sur l'axe des abscisses et de la direction du vecteur OA qui va de l'origine au point A, est Vargument trigcnométrique (*) du nombre a + bi. Cet argument est déterminé à ua multiple près de 2-^, pourvu que a H- bi ne soit pas nul, que le point A

(') On supprime cette épithéte quand il n'y a pas de confusion possible «*«« quelque autre argument.

ne coïncide pas avec le point O. Quand a-\-bi est nul, la valeur absolue est nulle, et l'argument complètement indéterminé.

La valeur principale de l'argument est comprise entre — tc et H- ir ; elle est complètement déterminée, sauf dans le cas où b est nul et a négatif ou nul. Elle est nulle ou égale k ± tz si a + bi est réel (6 = 0), nulle si Ton a affaire à un nombre positif, égale à ±: 77 si Ton a affaire à un nombre négatif.

Elle est égale à ni - si a -\- bi est purement imaginaire (a = o),

à 4- - ou à suivant que b est positif ou négatif.

Elle est, en général, du même signe que 6; elle est comprise entre

et H- - si a est positif, entre H — et 7t, ou entre — - et — it si

a est négatif.

Puisque Ton a a = r cosô, b = r sinô, on peut écrire

a -f- 6t = r(cos6 -T- t sin6),

le second membre, où la valeur absolue r et l'argument 6 sont mis en évidence, est ce qu'on appelle la forme trigonométrique du nombre a H- bi.

En particulier, tout nombre dont la valeur absolue est i peut se mettre sous la forme cosÔ4-*sin6; pour mettre le nombre i sous celte forme, on pourra prendre 6 = o, ou 6 égal à un multiple de ait; pour mettre le nombre — i sous cette forme, on prendra 6 = tt ou 6 égal à un multiple impair de it.

Deux nombres imaginaires égaux sont représentés par le même point; leurs valeurs absolues sont égales et leurs arguments ne peuvent différer que d'un multiple de 21^; ces dernières conditions sont nécessaires et suffisantes pour que deux nombres imaginaires mis sous forme trigonométrique soient égaux, sauf dans le cas où l'une des valeurs absolues est nulle; dans ce cas, l'autre valeur absolue doit aussi être nulle; cela suffit pour que les deux nombres soient nuis.

Deux nombres imaginaires symétriques sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'origine. Deux nombres imaginaires conjugués sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

96. Pour faire la somme de plusieurs nombres imaginaires a -}- 61,

a' 4- b'i, 0!'+ b"i^ . . . , représentés par des points A, .V, A" il

suffit de faire la somme géométrique des vecteurs OA, OA', OA", ... en lui donnant pour origine le point O; je rappelle la construction de cette somme géométrique : on regarde le point A comme rorigine d'un vecteur AA; équipollent au vecteur O V, le point A; comme Torigine d'un vecteur a; A", équipollent au vecteur 0A% etc.; Texlrémité du dernier vecteur est l'extrémité de la somme géométrique cherchée; c'est le point qui figure la somme des nombres représenlé^ par les points A, A', A", ....

Il suffira, pour démontrer cette proposition, de raisonner sur troi'^ nombres a + bi, d -\- b' i, d' -^ b"i, représentés parles trois points A.

A', A''. L'extrémité A", de la somme géométrique OA", des trois vecteurs OA, O V, OA" est, d'après la construction précédente, Texlrémité d'une ligne brisée OAA', A; dont les côtés OA, AA;, A', A", soni respectivement équipollents aux vecteurs OA, OA', OA"; les projections Oa, aa', a' a'' des côtés de la ligne brisée sur l'axe des x sont respecti\ement équipoUentes aux projections sur cet axe des vecteur? OA, OA', OA'', projections dont les équivalents algébriques sont respectivement a, a', a". On a d'ailleurs, entre les équivalents algébnques Ôâ, ôw?, 7Ï", Ôô^ des vecteurs Oa, aa', a'a% Oa^, la relation

L'abscisse Oa'' du point A", est donc a -i- a' -i- d \ son ordonnéee^i de même 6 + 6'H- 6"; c'est bien là l'abscisse et l'ordonnée du pom' qui représente la somme a -h a' -h a" 4- (6 -+- 6'+ 6")/ des troi^ nombres a + 6/, a' -h y i^ a" 4- b' i.

On sait qu'une somme géométrique est indépendante de Tordre de ses éléments; au reste, ce résultat apparaît immédiatement sur la démonstration, puisque les coordonnées a -\- a' -{- a'\ 6 4- 6' -f- 6" de l'extrémité de la somme ne dépendent pas de Tordre des nombres réels a, a\ «"; 6, 6', b".

Le nombre (positif) qui mesure la longueur du vecteur OA''^, c'està-dire la valeur absolue de la somme des nombres imaginaires donnés, est inférieur ou égal à la somme des nombres positifs qui mesurent les côtés de la ligne brisée OAA', A", , c'est-à-dire à la somme des valeurs absolues des nombres donnés; pour qu'il y eût égalité, il faudrait que la ligne brisée se réduisît à une ligne droite et que les points A, A', fussent entre O et A", : il faudrait pour cela que les points A, A', A" fussent sur une même demi-droite partant du point O, c'est-à-dire que les arguments des nombres a -H bi, a -h 6'/, a! -\' b" i fussent égaux (à un multiple près de 27r); l'argument commun de ces nombres serait aussi l'argument de leur somme.

D'après la notation adoptée au n** 91, on peut écrire

|a-T- 6* -ha'-f-6't-ha'-+-6'/|^|a -+- bi\ -h \a'-\-b'i\ -+- | a*-h ^'i|.

Dans le cas où l'on veut faire la somme de deux nombres a •+• bi^ «'-r é'i, représentés par les points A, A', cette somme est représentée par le point B, sommet opposé au point O du parallélogramme dont OA, OA' sont deux côtés. Dans le triangle OAB le côté OB est plus petit que la somme des deux côtés OA, AB plus grand que leur différence. Outre cette proposition déjà connue la valeur absolue de la somme de deux nombres est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ces deux nombres, nous obtenons donc celle-ci :

La valeur absolue de la somme de deux nombres est supérieure ou égale à la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs absolues de ces deux nombres.

Il y aurait égalité dans le cas où les points iV, A' seraient en ligne droite avec le point O, mais de part et d'autre du point O, ou, ce qui revient au même, quand les arguments des nombres a 4- 61, a' -h b' î diffèrent d'un multiple impair de it.

On peut, écrire

\a -^ bi-ha'"*-b'i\^\a-hùi\ — \a'-i-b'l\;

cette égalité restant vraie quand on a \a -{- bi\<Z\a' -\- b' i\^ puisque, alors, le second membre de l'inégalité est négatif.

Fig. ig.

La différence (a -h bi) — (a'-f- b'i) entre les deux nombres a -h fe/, a'-^ b'i, représentés par les points A, A', sera représentée par l'extrémité C d'un vecteur OC, différence géométrique des vecteurs OA et OA'; ce vecteur est équipoUent au vecteur A' A dont l'origine représente le point qui figure le nombre à soustraire, dont l'extrémité figure le nombre dont on soustrait. La figure montre nettement que le point A représente la somme des nombres représentés par A' et par C, que le point G représente la somme des nombres représentés d'une part par le point A, d'autre part par le point A" symétrique du point A' par rapport au point O, c'est-à-dire la somme des nombres a -f- bij — a' — 6' i.

Deux nombres imaginaires sont regardés comme voisins, comme

différant peu l'un de l'autre, quand la valeur absolue de leur différence est petite. Cette valeur absolue est mesurée par la dislance des deux points qui représentent ces deux nombres : ces deux points sont donc voisins; a fortiori, la différence entre les abscisses des deux points, ou entre leurs ordonnées, qui est inférieure à leur distance, est petite, en valeur absolue.

La valeur absolue d'une différence est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ses termes, supérieure ou égale à leur différence.

Cette proposition ne diffère pas de celle qui concerne une somme, puisque les deux nombres symétriques a + é/, — a — bi ont même valeur absolue.

97. Considérons maintenant le produit des deux nombres imaginaires mis sous la forme trigonométrique (n° 96)

r(cos6 ->r I sinO), r'(cosO'-h i sinO').

En effectuant leur produit par la règle du n** 90, on trouve pour la jiartie réelle

/•/•'cos6 cos6'— rr'sinO sinO'= rr' cos(6 -h 0'),

et pour le coefficient de i

rr' cos 6 sin 6' -i-rr' cosO'sinB = rr'sin(0 + 6').

Le produit se trouve donc rais sous la forme trigonométrique

r/-'[cos(0 -H 6) H- t sin(0 -+- 6')].

C'est un nombre dont la valeur absolue r/-' est le produit des valeurs absolues /•, r^ des deux facteurs, dont l'argument 6 -j- 0' est la somme des arguments des facteurs.

Du cas de deux facteurs on s'élève immédiatement au cas de trois facteurs r(cosô H- «sinO), /'(cosô'-f- / sinô'), /'''(cos6"-+- /sinô"); la valeur absolue du produit est le produit de vH par /'^', l'argument du produit est la somme de 6 + ô' et de 8".

D'une façon générale, le produit d'autant de nombres que l'on veut, mis sous forme trigonométrique, est un nombre dont la valeur

absolue est le produit des valeurs absolues des facteurs el dont l'arguinenl est la somme des arguments des facteurs.

Sur celte forme donnée à un produit, la possibilité d'intervertir Ie> facteurs, de grouper ces facteurs comme on veut, est évidente.

Supposons que le nombre /-(cosô + /sin9), que Ton veut mulliplier par le nombre r^(cos6'-l- /sinô'), soit représenté par le point A,

Fi g. 3o.

le multiplicateur étant représenté par le point A'. On aura alors

(OX, OA) = e, (OX, OA') = 6'.

On fera tourner la demi-droite qui porte le vecteur OA d'un angle égal à 9'; elle prend alors une position OB telle que l'angle (OA.OB) soit égal à 6'; on prend ensuite un point B tel que le nombre positif qui mesure la longueur OB soit égal au produit des nombres r, r^ qui mesurent les longueurs OA, OA'. B représentera le produit

/•/•'[cos(0 -+- 6') -f- i sin(e -f- 6')].

Si, en particulier, la valeur absolue du multiplicateur est égale à i, la multiplication par cosô'-f- /sin9' revient à faire tourner de l'angle 0' le vecteur dont l'extrémité représente le multiplicande; l'extrémilédu nouveau vecteur représente le produit.

Plus particulièrement, la multiplication par le nombre t, dont la valeur absolue est i et l'argument -, revient à faire tourner le vecteur qui aboutit au point qui représente le multiplicande d'un angle droit, dans le sens direct; la multiplication par — i, dont la valeur absolue est 1 et l'argument zh tt, revient à faire tourner le même vecteur de deux angles droits dans un sens ou dans l'autre; la multiplication

NOMBRES IMAGIXAIRF.S.

par — /, dont la valeur absolue est i et l'argument — 7^» revient à faire tourner le même vecteur d'un angle droit dans le sens indirect.

Fig. 3i.

Le nombre i est représenté par le point 1 situé sur la partie positive de l'axe des ordonnées à l'unité de dislance de l'origine. En faisant tourner le vecteur 01 d'un angle droit, dans le sens direct , puis encore d'un angle droit dans le méuie sens, etc., on l'amène successivement en 01', en OF, en OU, puis on le ramène en 01, etc. ; c'est la traduction géométrique des égalités numériques

Lorsque le multiplicateur est un nombre réel, l'argument du produit est égal à l'argument du multiplicande si le multiplicateur est positif, à l'argument du multiplicande augmenté ou diminué de tî si le multiplicateur est négatif.

98. En regardant la division comme l'opération inverse de la multiplication, ou voit de suite que la valeur absolue d'un rapport doit être le rapport de la valeur absolue du dividende à la valeur absolue du diviseur, et que l'argument du rapport doit être égal à la diflérence entre Targument du dividende et l'argument du di\iseur, afin que le produit du quotient par le diviseur soit égal au di\idende; en d'autres

termes, on peul écrire

r(cosO -h I sin6) r ^ ,^ n,. . • « «# ,

et cette égalité est susceptible (ruiie interprétation géométrique analogue à celle qu'on a donnée pour la multiplication.

En particulier, en supposant /• r^ i , 9 = o, on a pour l'expression trigonométrique de l'inverse d'un nombre

= i(cose'— isinO');

<roii résulte la construction suivante pour obtenir le point qui représente rin\erse du nombre figuré par le point A'.

On décrit du point O comme centre le cercle de rayon i; on prend le point A', qui serait l'inverse (*) du point A' dans une inversion faite par rapport à ce cercle ; Taffixe du point A, est --, (cosô' -i- l'sinî' i:

le point cherclié V, dont Taffixe est -^(cosô' — i sinS'), est le symétrique du point A\ par rapport à Taxe des abscisses.

Plus particulièrement encore, en supposant /•'== i, on voit que Tinverse d'un nombre dont la valeur absolue est i est le conjugué de ce nombre: pour que deux nombres conjugués soient inverses l'un de l'autre, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales à i. Dans ce cas, les deux points A', A', de la figure précédente sont confondus sur le cercle.

S 3. - RACINES n'»".

9i). Cherchons à déterminer la racine /i'*"* d'un nombre donné, que l'on peut toujours supposer mis sous la forme trigonométrique r(cosO + I sinÔ); il s'agit de trouver, s'il est possible, un nombre dont la puissance /i*'™*' soit égale à r(cosO -1- « sinO); en supposant ce nombre mis lui-même sous la forme trigonométrique o(cosci> -h i sinw

( ') C'esl, comme on sait, le point où la polaire du point A' par rapport au ccrclf rencontre la droite qui joint les deux points O, A'; c'est encore le second point commun à tous les cercles qui passent par le point A' et qui sont orthogonaux aa cercle de centre O : au lieu de dire que les points A', A', sont inverses par rapport à ce cercle, on dit souvent qu'ils sont symétriques par rapport à ce cercle.

il s'agîl de déterminer p et w de façon que Ton ail

[p(cos(i) -f- £ sinci>)]«= r(cosO -j- i sinO);

mais, d'après la théorie de la multiplication, la valeur absolue du premier membre est p", son argument est /iw; pour que deux nombres soient égaux, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales et que leurs arguments ne diffèrent que d'un multiple de 311; on doit donc avoir

pn ^ ^^ no) = 6 H-aArir,

en désignant par k un nombre entier quelconque; on en déduit

«/— ^ -*- ikiz

iaversement, ces valeurs de p, (o, où \^r est la racine /i'*""^ arithmétique de r, répondent à la question; en d'autres termes, la formule

ces h i sm

fournit toutes les solutions du problème posé. Si, dans cette formule, on remplaçait ô par quelque autre valeur de l'argument du nombre «lonné, on ne ferait que modifier le nombre entier k] on ne changerail pas l'ensemble des résultats, puisque, pour avoir toutes les solutions du problème posé, on doit remplacer k par tous les nombres entiers possibles.

Si le nombre dont on veut chercher la racine n'*""* était i , il n'y aurait qu'à faire dans la formule précédente r = i , ô = o; on trouverait ainsi, pour l'expression des nombres dont la puissance n'**"^ est i, ou, comme l'on dit, des racines /i'*™*"" de l'unité, la formule

ikt: . . ikTz

cos h i sin j

où k est un nombre entier quelconque.

On a d'ailleurs, en général (n" 97),

ni- / ÔH-^Air . . 0-h9./:7r\

V r ( cos h i sin

«/- / 6 . . 0\ / ikr. . . -xkr.X

= \ r ( cos — h t sin — ) x ( cos h i sm :

V n nj \ n n )'

dans le second membre, de facteur ('Vfcos — |-«sîn- j> esl Fun des nombres dont la puissance /i'*™*' reproduit /'(cosO -+- t sinÔ) ; c'est Tuoe des racines /i**"" du nombre donné; l'autre fadeur

cos h i sin

est l'une des racines /i'*"*** de Tunité; on obtient toutes ces racines en donnant à k toutes les valeurs entières possibles. En d'autres termes :

On obtient toutes les racines n'^"^^' d'un nombre en multipliant l'une d'elles, choisie arbitrairement, par les diverses racines /i'«^'"^' de r unité.

100. Racines de 1 unité. — C'est de ces dernières racines que je vais m'occuper maintenant.

Le nombre cos^^ — ^ 4- /sin ^ a 1 pour valeur absolue et -^-^ pour

arguuient : les divers points qui figurent les nombres de cette sorte, où k est entier, sont tous situés sur le cercle de centre O et de rajon 1; ils correspondent aux arguments

*JLr. ^t: Or

C'est d'abord les points Ao, A|, Aj, Aj, ... dont le premier, qui

correspond à l'argument o, est le point du cercle qui se trome surb partie

positive de Taxe des abscisses, point dont l'affixe est i ; les suivants Ai , Aa, A3 s'obtiennent en portant bout à bout, à partir de Ao, dans le sens positif, des arcs égaux à — > à la /î*^"" partie de la circonférence du cercle. Quand on a porté ainsi l)out à bout n de ces arcs, on retombe sur le point Aq, puis, en continuant à tourner dans le inéuie

sens, les points A,, Aa, A3, En portant bout à bout des arcs de la

même longueur — ^-y dans le sens négatif on retombe sur des points déjà obtenus A,||, A„3, ..., mais on les rencontre successivement dans le sens inverse de celui où on les a obtenus d'abord; les points Ao, Vi, .... \/,i ainsi obtenus, qui représentent toutes les racines /i**™*"* distinctes de Tunité, sont les sommets d'un polygone régulier de n côtés. On voit ainsi qu'il y a /i racines distinctes de l'unité, dont l'une, qui correspond au sommet A^, est elle-même égale à i . Le polygone n'existe, à proprement parler, que pour /i>2; pour /i = 2, la figure se réduirait au point Aq et au point diamétralement opposé ; les deux racines carrées de i sont

coso -4- t sino = I, COS7C -h « sin?: = — i;

pour n = 3, la figure formerait un triangle équilatéral, les trois racines cubiques de l'unité sont

JTZ . . '?.TZ I 1/3

cos — — h i sia -— = h * -^— >

/ir

cos