A-+-B)G = AC-+-CB

auxquelles je joins encore celle-ci :

que j'ai signalée plus haut comme une définition.

NOMBRES IRRATIONNELS. 3l

Les égalités (i), (2) expriment ce que l'on appelle les propriétés commutative et associative de la multiplication, l'égalité (3) la propriété distributive relativement à l'addition.

Les propositions bien connues relatives a un produit de plusieurs facteurs se déduisent sans peine de celles qu'on vient d'écrire. 11 en est de même de celles qui concernent les exposants.

A chaque nombre A, non nul, correspond son inverse B, tel que Ton ait AB = i. Supposons d'abord que A soit positif, la séparation des nombres rationnels en classes qui définit le nombre B s'obtiendra comme il suit : dans la première classe on range tout nombre qui est i'in\erse d'un nombre rationnel plus grand que A, le nombre o et les nombres négatifs ; dans la seconde classe, tout nombre qui est Tinversé d'un nombre rationnel positif plus petit que A.

11 est bien aisé de voir que cette définition implique l'égalité AB = 1 elquelle est nécessitée par cette égalité.

Si le nombre A est négatif, son inverse est un nombre négatif dont la valeur absolue est l'inverse de la valeur absolue du nombre A.

Si B est l'inverse de A, A est l'inverse de B. L'inverse de A se représente par ^*

Le nombre o ne peut avoir d'inverse, à cause de l'égalité (5).

I^s deux nombres A, B étant donnés, et le second n'étant pas nul, le rapport de \ à B, ou le quotient (exact) de A par B, est, par définition, un nombre x tel que l'on ait

Ce nombre est unique et s'obtient en multipliant A par l'inverse de B; c'est ce qu'on reconnaît sans peine en copiant le raisonnement qui a été fait pour la soustraction : il se représente par -^ ou A : B.

Les propriétés qu'expriment les égalités

km Bm