PRÉFACE. VII

suis proposé d'y présenter les choses, sous une forme abstraite, avec une entière rigueur logique : cette rigueur est indispensable quand on veut pénétrer dans certains domaines de la Science, où celui qui prétendrait s'en passer commettrait à coup sûr les plus lourdes erreurs ; celles-ci ne sont guère à craindre, au moins actuellement, dans les applications des Mathématiques, et il n'est pas mauvais, en commençant, de ne pas se laisser paralyser par la terreur d'y tomber : quelques lecteurs, toutefois, peuvent désirer connaître le complément d'un raisonnement, la suite d'une théorie : c'est à ce désir possible que j'ai voulu répondre. En achevant la rédaction, j'ai été quelque peu effrayé de la longueur de mon manuscrit : je voudrais me persuader que cette longueur tient à l'abondance des explications et au nombre des exemples : je serai heureux si le lecteur trouve trop facile la lecture de ces Leçons et s'il juge qu'il aurait bien pu traiter seul les exemples que j'ai développés. Toute brièveté a son mérite, même la brièveté verbale, que je n'ai nullement cherchée; mais la véritable brièveté n'est pas celle-là : le parfait enseignement serait, à mon sens, un enseignement tel que celui qui l'a reçu et qui se l'est complètement assimilé s'étonne du peu de place que tiennent dans sa propre pensée les principes fondamentaux, les théories qui s'en déduisent, les méthodes qui en résultent, parce que ces principes sont si clairs, ces déductions si naturelles, ces méthodes si aisées qu'il peut à chaque instant les retrouver sans effort. Est-il besoin de dire que je n'ai nullement la prétention de m'étre approché de cet idéal, même de loin?

Jules TANNERY.

Bertholène, i6 septembre 1906.

LEÇONS

NOTION DE COUPURE. NOMBRES IRRATIONNELS. CALCUL DES RADICAUX. EXPOSANTS l'HACTIONNAIKES, NÉGATIFS, IRRATIONNELS.

§ 1. — DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS. OPÉRATIONS SUR CES NOMBRES.

1. Je suppose acquises les règles relatives au calcul des nombres entiers y des nomhves fractionnaires, des nombres relatifs (•) dont la valeur absolue est un nombre entier ou une fraction à termes entiers. Ces nombres, y compris o, sont dits rationnels. De tels nombres, si on les combine par addition, soustraction, multiplication, division (la division par o étant exclue) reproduisent toujours des nombres rationnels.

.\u point de vue pratique, ces nombres suffisent à la mesure des grandeurs; le problème pratique de la mesure d'une grandeur, de la longueur d'une droite limitée, par exemple, n'est pas complètement déterminé : on peut substituer à cette droite, qui n'est d'ailleurs qu'imparfaitement délimitée, une autre droite qu'on ne saurait discerner de la première : il y a ainsi une infinité de nombres rationnels, très rapprochés les uns des autres, qui peuvent servir à mesurer la

(' ) C'est sous ce nom que je désignerai les nombres positifs et négatifs.

même longueur; comme le résultat des opérations arithmétiques change très peu quand on change très peu les données, peu importe celui des nombres que Ton choisit pour la mesure, lors même que ce nombre doit être soumis à certains calculs : c'est par des raisons de commodité qu'on décide le choix ; on ne conserve, par exemple, qu'un certain nombre de décimales.

Les nombres rationnels permettent aussi de résoudre avec telle approximation qu'on voudra des problèmes comme celui-ci : trouver un nombre dont le carré soit égal à v. ; mais les nombres rationnels ne suffisent à résoudre exactement ni ce dernier problème, ni le problème théorique de la mesure des grandeurs, puisque la Géométrie met en évidence l'existence de grandeurs incommensurables entre elles.

Les explications qui suivent (n**'2, 3, ..., 7)ont pour but de préparer la définition des nombres irrationnels, dont l'introduction conduit à une solution exacte de ces problèmes et d'autres analogues : ces nombres sont, comme on le verra, une façon de parler plutôt qu'une réalité; cette façon de parler, qui condense en un seul mot l'infinité des solutions approchées, permet de donner une forme simple à des raisonnements parfaitement rigoureux. Jusqu'à ce que la définition des nombres irrationnels ait été donnée (n"*8, 9), les nombres dont il sera question seront des nombres rationnels.

2. Etant donné un nombre rationnel positif (non nul), il est toujours possible de trouver un nombre rationnel positif plus petit que lui; il suffit, en efiet, si le nombre proposé est donné sous forme d'une fraction à termes entiers, d'augmenter le dénominateur de cette fraction.

Il y a en particulier des nombres décimaux ^ autres que o, comportant un nombre limité de chiffres décimaux et plus petits que tel nombre positif a que l'on voudra : on peut prendre en effet le

nombre naturel (* ) n assez grand pour que Ton ait io"> -, ~-^<^a.

Entre deux nombres rationnels distincts a, 6, il y a d'autres

(') Les nombres naturels sous les nombres de la suite naturelle i, a, 3, ...,à l'exclusion du nombre o. Les nombres entiers sous les nombres o et dii, ira, ±3

NOMBRES IRRATIONNELS. i

nombres rationnels; si l'on suppose a <i b^ on les obtiendra en ajoutant à a un nombre rationnel plus petit que le nombre positif b — a. Soit c un nombre rationnel compris entre a et b; FArithmétique enseignée trouver des nombres décimaux (') qui diffèrent de c aussi peu qu'on veut, dont la différence avec c soit en particulier moindre que c — a et que b — c : un tel nombre est forcément compris entre a et b; entre deux nombres rationnels quelconques il y a des nombres décimaux.

3. Considérons un axe X'X, c'est-à-dire une droite indéfinie sur laquelle on a fixé Funité de longueur et le sens positif. Cette unité et ce sens sont représentés par un vecteur unité UV placé sur la

Fig. I

droite X'X ou sur une parallèle à cette droite : la longueur de ce vecteur est Funité de longueur, son sens (de U vers V) est le sens positif; je supposerai que ce sens soit celui de la gauche vers la droite. Je supposerai enfin qu'on ait pris sur l'axe une origine O. Un tel axe nous servira, tout le long de ce Chapitre, à figurer soit les nombres rationnels, soit ces nombres irrationnels qu'on se propose de définir.

Si Ton considère un point M de l'axe, autre que le point O, deux cas peuvent se présenter : ou le segment (^) OM est commensurable au segment UV, ou il lui est incommensurable.

Dire que les deux segments OM et UV sont commensurables, c'est dire qu'il existe un segment (leur commune mesure) qui est contenu

{') En parlant ici et plus loin d'un nombre décimal, y entends toujours parler d'un nonobre comportant un nombre limité de chiffres décimaux. Un nombre décimal

\ est de la forme — -» où A est un nombre entier et n un nombre naturel.

lO"

(') Dans le cours de ce Livre, les mots segment de droite ou segment seront pris avec la signification de e/roi/e /im<7e>, abstraction faite de tout sens de parcours. Un segment dont on distingue l'origine et l'extrémité, auquel on attribue ainsi un sens de parcours, devient un vecteur.

exactement un nombre entier de fois dans OM et dans UV, par exemple p fois dans OM et q fois dans UV ; la mesure du segment OM

est alors - •

Le nombre relatif dont la valeur absolue est - et dont le signe

est -h ou — , suivant que le point M est à droite ou à gauche du point O, est V abscisse du point M : cette abscisse est rationnelle.

Dire que les segments OM et UV sont incommensurables entre eux, c'est dire qu'il n'existe aucun segment de droite qui soit contenu exactement un nombre entier de fois dans OM et dans UV : s'il en est ainsi, Tabscisse du point M n'est pas définie pour le moment.

A chaque point M, tel que le segment OM soit commensurahle à UV, correspond un nombre relatif, son abscisse : ce nombre serait o si le point M était en O. Inversement, à chaque nombre relatifs correspond un point A, dont Fabscisse est a : si la valeur absolue

de a est ^> on obtient ce point A en divisant le segment unité UV

en q parties égales et en portant bout à bout sur l'axe p de ces parties, à partir du point O, vers la droite ou vers la gauche, suivant que a est positif ou négatif; l'extrémité de la yp'*^""* partie est le point A. Si rt, b sont deux nombres rationnels et A, B les points dont ils sont les abscisses, le point A sera à droite ou à gauche du point B suivant que l'on aura a >> 6, ou ci <; 6. Le nombre b — a est dans tous les cas l'équivalent algébrique du vecteur AB, e'est-à-dire l'abscisse de B quand on prend A pour origine sur l'axe. Si A, B, C sont trois points d'abcisses rationnelles, on a

ÂC = ÂB-hBG,

en désignant par AB, BC, AC les équivalents algébriques des vecteurs AB, BC, AC.

4. Supposons que le segment OM soit incommensurable à UV. Si a est un nombre rationnel quelconque, il sera l'abscisse d'un point A qui ne pourra coïncider avec M, qui sera donc à gauche de M, ou à

(^) J'emploierai, à Toccdsion, les mots au delà ou en deçà avec la même signitication que à droite ou à gauche.

NOMBRKS IRRATION NKLS. 5

droite : rangeons dans une première classe tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à gauche de M, dans une seconde classe, tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à droite de M ; il est clair que chaque nombre rationnel a sa place dans l'une ou l'autre des deux classes, et que chaque nombre de la première classe est plus petit que chaque nombre de la seconde classe.

Je désignerai sous le nom de coupure (des nombres rationnels) tout procédé qui permet de séparer tous les nombres rationnels en deux classes, telles que chaque nombre de la première soit inférieur à chaque nombre de la seconde.

On verra tout à l'heure que, lorsque OM est incommensurable à UV, il n'y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que les autres nombres de cette classe, et qu'il n'y a pas dans la seconde classe de nombre qui soit plus petit que les autres nombres de cette classe.

Lorsque OM est commensurable à UV, le point M a une abscisse rationnelle m; on peut bien ranger tous les nombres rationnels autres que m en deux classes, contenant, comme tout à l'heure. Tune tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à gauche de M, c'est-à-dire les nombres rationnels plus petits que m, et l'autre tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à droite de M, c'est-à-dire les nombres rationnels plus grands que m\ mais le nombre rationnel m échappe lui-même à la classification : on n'a pas une coupure au sens qui vient d'être donné à ce mot; pour obtenir une telle coupure, il faut placer le nombre rationnel /n, soit dans la première classe, soit dans la seconde; tous les nombres rationnels sont alors séparés en deux classes, et chaque nombre de la première est plus petit que n'importe quel nombre de la seconde : dans le premier cas m est le plus grand des nombres de la première classe, dans le second, m est le plus petit des nombres de la seconde classe.

o. Soit UV un segment commensurable à UV et a le nombre rationnel positif qui en mesure la longueur; si l'on se donne le nombre a, on peut construire le segment UV'. On a vu plus haut que, si petit que soit un nombre rationnel e, il y a des nombres rationnels a plus petits que lui. De même, si Ton se donne un

CHAPITRK I.

segment de droite quelconque PQ, on peut trouver un segment UV, commensurable à LV, qui soit plus petit que PQ; il suffira pour

Fig. 2.

X' A-2 A-, A, Aa A3

cela de diviser UV en un nombre k de parties égales, assez grand pour que ces parties soient plus petites que PQ ('); Tune d'elles

pourra être prise pour UV, sa mesure sera a = j»

Ceci posé, imaginons qu'on ait marqué sur Taxe tous les points dont l'abscisse est de la forme n a, n étant un nombre entier positif, nul, ou négatif : je désignerai en général par A,,, le point dont l'abscisse est /la; A© n'est autre que le point O, les points A,, Aj, A3, ..., d'une part, A,, A 2, A 3, ..., de l'autre, s'obtiennent en portant bout à bout à partir du point O, vers la droite, ou vers la gauche, des segments égaux à UV; j'appellerai tous ces points les points A. Il y a des points A en deçà et au delà de n'importe quel point de l'axe (2). Un point quelconque de l'axe est compris entre deux points A consécutifs ou coïncide avec un point A.

Considérons sur l'axe deux points quelconques R, S; on peut supposer le segment UV (commensurable à UV) plus petit que le segment RS; s'il en est ainsi, il y a forcément un point A entre R et S; l'abscisse de ce point étant rationnelle, on voit qu'il y a sur l'axe, entre deux points quelconques, aussi rapprochés qu'on veut, des points d'abscisse rationnelle ; il y a donc de tels points aussi près qu'on voudra d'un point de Taxe, soit en deçà, soit au delà. En particulier,

en prenant le nombre a de la forme — > on voit qu'il y a, aussi près

qu'on voudra de n'importe quel point de l'axe, des points dont l'abscisse est un nombre décimal, avec un nombre limité de chiffres; c'est d'ailleurs ce qui apparaîtra clairement au lecteur s'il veut bien se

(') Que cela soit possible, c'est un postulat qui est contenu dans Tidée vague de ligne droite.

(^) Cest encore là un postulat du rnéme genre que celui qui a été signalé plus haut.

représenter l'axe X'X comme une sorte de règle divisée en mètres, décimètres, centimètres, etc. Le mot mètre est pris ici avec le sens d'unité de longueur.

Soit M un point quelconque de la droite; on vient de dire que ce point tombe entre deux points A consécutifs, ou sur un point A. Ce dernier cas ne peut pas se présenter quand OM est incommensurable à UV, et cela quels que soient le segment UV (commensurable à UV ), ou le nombre rationnel a.

Si le point M tombe entre deux points A consécutifs, je désignerai par A„ celui qui est en deçà de M, par A,,^| celui qui est au delà; les abscisses de ces points, situés l'un et l'autre à une distance du point M inférieure à UV, seront n% et (/i -|- i )a; /la est, par définilion, la valeur approchée de l'abscisse du point M, à a près, par défaut ; ( /2 -h I ) a est la valeur approchée de l'abscisse du point M, à a près, par excès. Dans le cas exceptionnel où le point M tombe sur l'un des points A, sur le point A„, par exemple, dont l'abscisse est /«a, on confond la valeur approchée de l'abscisse à a près, par défaut, avec la valeur exacte de cette abscisse ; la valeur approchée, à a près, par excès, est toujours (ai -h i)a. Dans tous les cas la valeur approchée de Tabscisse du point M, à a près, par défaut, est le plus grand multiple de a qui soit l'abscisse d'un point de l'axe situé en deçà du point M, ou coïncidant avec le point M; la valeur approchée, à a près, par excès, est le plus petit multiple de a qui soit l'abscisse d'un point de l'axe, situé au delà du point M.

Dans les expressions /za, (/i -|- i)a de ces valeurs approchées, n est un entier positif, nul ou négatif; les mots plus grand et jAus petit qu'on a employés plus haut ont leur signification algébrique, en sorte que, si n est négatif, la valeur approchée par excès, (/i -h i)a, est plus petite, en valeur absolue, que la valeur approchée par défaut.

il convient encore de remarquer que les valeurs approchées, à a près, de l'abscisse du point M sont ainsi définies avant que cette abscisse ait elle-même été définie, lorsque OM est incommensurable à UV. Lorsque OM est commensurable à UV, les nombres /la, ( Al -h i)a sont bien les valeurs approchées du nombre /;«, abscisse du point M, au sens de l'Arithmétique, au moins lorsque m est positif; lorsque m est négatif, l'extension est toute naturelle.

Plaçons-nous dans le cas où OM est incommensurable à UV, et reportons-nous à la séparation des nombres rationnels en deux classes,

qui a été décrite au n" i; quel que soit le nombre rationnel positif a, ou le segment UV commensurable à UV, la valeur approchée par défaut; /la, sera Tabscisse d'un point A,, situé en deçà de M; la valeur approchée par excès, (/i 4- i)a, sera l'abscisse d'un point A,,^., situé au delà de M : //a appartiendra à la première classe, ce sera le plus grand mulliple de a contenu dans cette classe; (/i -h i)a appartiendra à la seconde classe, ce sera le plus petit multiple de a contenu dans cette classe; puisque a peut être pris aussi petit qu'on le veut, on voit qu'il y a dans la première classe d'une part, dans la seconde classe de l'autre, des nombres qui diflerent entre eux aussi peu qu'on le veut.

Il n'y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe. Un nombre /• de cette classe est en effet l'abscisse d'un point R de l'axe situé en deçà du point M; entre R et M, il y a des points d'abscisse rationnelle : or l'abscîsse d'un tel point est plus grande que /•, et elle appartient à la première classe. De même, il n'y a pas, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

6. Les considérations qui précèdent sont purement théoriques : les opérations que l'on a décrites ne sont pas réalisables; on ne peut pas diviser effectivement un segment donné en un nombre de parties égales aussi grand qu'on le veut : au-dessous d'un certain degré de petitesse on ne pourra plus distinguer le segment UV; on ne pourra plus distinguer les points A„, A„^i du point M; les segments UV, OM ne peuvent pas être délimités exactement. C'est sur une droite idéale, sur une droite et des points géométriques, que l'on a raisonné, non sur des éléments réalisables.

Il y a quelque chose d'un peu choquant à parler d'opérations irréalisables comme si l'on pouvait les effectuer, et il y a lieu de reprendre les considérations précédentes sur un problème purement arillimétique, où on les retrouvera dans tout ce qu'elles ont d'essentiel. La définition des nombres irrationnels se trouvera ainsi convenablemenl préparée.

Dans le numéro qui suit, les nombres dont il sera question seront de ceux que Ton considère en Arithmétique; ils ne seront jamais négatifs; je me dispenserai de toujours dire nombres positifs; quand

NOMBRES IRRATIÛNMSLS. 9

y sera question d^une différence entre deux nombres, on devra entendre la différence entre le plus grand et le plus petit.

7. J'emprunterai à l'Arithmétique les propositions et notions que %oici :

11 y a des nombres rationnels qui ne sont le carré d'aucun nombre rationnel ;

Etant donné un nombre quelconque, on sait trouver sa racine carrée à une unité près, par défaut, c'est-à-dire le plus grand nombre entier dont le carré soit inférieur ou égal au nombre donné;

La racine carrée d'un nombre A, à a près, par défaut, est un nombre de la forme na, où n est un nombre entier positif ou nul, qui vérifie les inégalités

(/i«)«£A<[(/i-hi)ap;

ce nombre entier n est entièrement déterminé quand on se donne A

et a; c est la racine carrée, à une unité près, par défaut, du nombre -j

ou de sa partie entière ; (n -|- i)a est la racine carrée à après, par excès.

Supposons, par exemple, qu'on prenne Ac=: 2, le problème qui consiste à trouver un nombre rationnel dont le carré soit égal à 2 est insoluble.

Le carré d'un nombre rationnel quelconque étant plus petit ou plus grand que 2, on peut ranger les nombres rationnels en deux classes dont la première contient tous les nombres dont le carré est moindre que 2, dont la seconde contient tous les nombres dont le carré est plus grand que 2; il est clair que tout nombre de la première classe est moindre que n'importe quel nombre de la seconde, puisque le carré du premier nombre est moindre que le carré du second.

Soit a un nombre rationnel quelconque; les racines carrées de 2, à ï près par défaut et par excès, sont les nombres /la, (/i -j- i)a, où /i est un nombre entier positif ou nul tel que l'on ait

(/ia)î<2<[(/i-4-i)a]».

[Il n'y a pas lieu, ici, d'écrire (/?a)=^^ 2, puisque l'égalité (/ia)^= 2 est impossible.] ne/, est le plus grand multiple de a qui figure dans la première classe, (^/^ -h i)a le plus petit multiple de a qui figure dans •a seconde; puisque a peut être supposé aussi petit qu'on veut, il y a

des nombres appartenant à l'une et à l'autre classe et qui différent entre eux aussi peu qu'on le veut.

Les différences entre 2 et les nombres (noL)^ et [(/t -h i)a]^ sont moindres que {n -h i)=*a^ — Ai^a-= (2na 4- a) a, moindres par conséquent que (2/?a-|-i)a, si Ton suppose a << i et, a fortiori^ que (2rt-f- i)a, si l'on désigne par a un nombre dont le carré est plus grand que 2 et qui, par suite, est plus grand que noL, Dans les raisonnements qui suivent on prendra pour a un nombre fixe quelconque, qui satisfasse à la condition précédente.

Pour que (2a-l-i)a soit inférieur à un nombre e, il suffit de

prendre a<I ; pourvu qu'il en soit ainsi, la différence entre 2

et (/la)^, ou (n -\- i)-a^, sera moindre que s; on peut donc trouver, tant dans la première classe que dans la seconde, des nombres dont le carré diffère de '^ aussi peu qu'on le veut : si le problème qui consiste à trouver un nombre dont le carré soit égal à 2 est insoluble, il peut cependant être résolu avec l'approximation qu'on veut.

Il n'y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe, car s'il y avait un tel nombre r, on aurait r'^<i 2, puisque le nombre r appartient à la première classe; or, on pourrait trouver dans cette même classe un nombre r' tel que l'on eût 2 — r''^<^ 2 — r^, puisqu'on peut trou\er des nombres dont le carré approche de 2 plus que ne fait r^ : cette inégalité implique r^> r. On démontrerait de même qu'il ne peut v avoir dans la seconde classe de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de celte classe.

Lorsque l'on se donne le nombre a, le nombre entier positif n qui vérifie la condition (/ia)-<; 2 < [(/< -h 0^]' ^^^ parfaitement déterminé, ainsi que les nombres /la, (n -f- i)a, les racines carrées de 2, par défaut et par excès à a près; quand a change, tous ces nombres n. noLj (/i-|-i)a changent : les quantités 2 — /i-a-*, (/H-i)a=^ — 2 moindres que (2a -h i)a, si a est moindre que 1 , restent aussi petites qu'on le veut, pourvu qu'on prenne x suffisamment petit; c'est ce qu'on exprime en disant qqe 2 est la limite des quantités (/la)-, ( /i -h i)^a^ quand a tend vers o.

8. Définition des nombres irrationnels. — J'arrive maintenant à la définition des nombres irrationnels. Supposons qu'on donne une

règle qui permette de décomposer tous les nombres rationnels en deux classes, telles que les nombres de la première classe soient plus petits que n'importe quel nombre de la seconde classe ; on aura réalisé ce qui a été appelé plus haut une coupure. 11 est à peine utile de formuler les trois observations suivantes, tant elles sont évidentes : si un nombre rationnel a appartient à la première classe, il en sera de même de tout nombre rationnel b plus petit que a ; car si b n'apparlenail pas à la première classe il appartiendrait à la seconde et, par conséquent, a devrait être plus petit que lui. Si un nombre rationnel a' appartient à la classe supérieure, il en est de même de tout nombre rationnel b' plus grand que a. Tout nombre de la seconde classe est plus grand que n'importe quel nombre de la première. Divers cas peuvent maintenant se présenter.

I. Il peut se faire qu'il n'y ait pas, dans la première classe, de nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe el qu'il n'y ait pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe ; c'est ce qui arrive quand on range dans la première classe les nombres rationnels négatifs, le nombre o, tous les nombres rationnels positifs dont le carré est moindre que 2 ; dans la seconde classe tous les nombres rationnels positifs dont le carré est plus grand que 2.

II. Il peut se faire qu'il y ait dans la première classe un nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe et qu'il n'y ait pa> dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres nombres de celte classe. C'est ce qui arrivera si l'on range dans la première classe le nombre 3 et tous les nombres rationnels plus pt'tits que 3, dans la seconde classe tous les nombres rationnels plus grands que 3.

Soit \ un nombre quelconque de celte seconde classe : entre A et.> il va des nombres rationnels, qui appartiennent à la seconde classe? puisqu'ils sont plus grands que 3; il y a donc, dans la seconde classe, des nombres plus petits que A ; il ne peut pas y avoir, dans la seconde* classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

III. Il peut se faire qu'il n'y ait pas dans la première classe de nombre plus grand que les autres nombres de cette classe, mais qu'il

CHAPITRK 1.

y ait dans la seconde classe un nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe. C'est ce qui arriverait si l'on rangeait dans la première classe tous les nombres rationnels plus petits que 3, dans la seconde le nombre 3 et tous les nombres rationnels plus grands que lui. Le même raisonnement que tout à Theure montrerait alors qu'il ne peut y avoir dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe.

IV. Il ne peut pas se faire qu'il y ait à la fois dans la première classe un nombre A plus grand que tous les autres nombres de cette classe, et dans la seconde classe un nombre B plus petit que tous les autres nombres de cette classe. S'il en était ainsi, en effet, le nombre B, de la seconde classe, serait plus grand que le nombre A, de la première classe. Entre les nombres rationnels A et B il y aurait des nombres rationnels qui ne pourraient appartenir ni à la première classe, puisqu'ils dépassent le plus grand A des nombres de celte classe, ni à la seconde classe, puisqu'ils sont moindres que le plu'i petit B des nombres de cette classe. Tous les nombres rationnels n'auraient donc pas été rangés dans les deux classes.

9. Il convient de dire que, dans le cas II, la coupure définit précisément le nombre rationnel qui est le plus grand des nombres de la première classe; que, dans le cas III, la coupure définit précisément le nombre rationnel qui est le plus petit des nombres de la seconde classe; que, dans le cas 1, la coupure définit un nombre irrationnel qui, par définition, est regardé comme plus grand que tous les nombres de la première classe, et comme plus petit que tous les nombres de la seconde classe, comme compris entre un nombre quelconque de la première classe et un nombre quelconque de la seconde classe.

Ainsi la séparation de tous les nombres rationnels en deux classes, dont la première comprend les nombres négatifs, le nombre o, les nombres positifs qui ont un carré moindre que 2, et dont la seconde contient tous les nombres positifs dont le carré est plus grand que h définit un nombre irrationnel, que l'on appelle la racine carrée At a, et que l'on représente par le symbole v'2-

Bien entendu, il n'est pas actuellement permis de dire que le carré

NOMBRES IRRATIONNELS. l3

de ce nombre soit égal à 2 : on n'a pas encore dit ce qu'était le carré d'un nombre irrationnel.

De même, si Ton considère sur l'axe X'X un point M tel que le •se^^raent OM soit incommensurable à UV, ce point permet de définir une coupure appartenant au type I et, par conséquent, un nombre irrationnel : ce nombre est l'abscisse du point M.

Il ne sera pas inutile de remarquer qu'un point quelconque M sur laie X'X partage cet axe en deux demi-droites (D), (D') qui s'étendent indéfiniment, l'une vers la droite, l'autre vers la gauche : si l'on veut considérer ces deux demi-droites comme entièrement distinctes, comme n'ayant aucun point commun, il faut regarder le point M luimême comme appartenant à l'une des demi-droites et n'appartenant pas à l'autre, ou bien comme n'appartenant ni à l'une ni à l'autre. Dans le premier cas, chaque point de l'axe X'X appartient à l'une des demi-droites, et seulement à une. Dans le second cas, chaque point de Taxe, sauf le point M, appartient à l'une des demi-droites et seulement à une.

10. En adoptant la façon de parler que l'on a expliquée plus haut, on voit qu'à chaque point M de l'axe X'X correspond un nombre rationnel ou irrationnel. A un nombre rationnel donné correspond de même un point que l'on sait construire. Y a-t-il aussi un point qui corresponde à un nombre irrationnel donné, c'est-à-dire à une coupure du type I?

La réponse affirmative à celte question est, au fond, un postulat qu'il n'y a pas lieu de démontrer, mais que l'on peut illustrer par une in^age, un peu grossière, qui suffira, sans doute, à convaincre le lecteur que ce postulat est conforme à l'intuition vague que nous avons <le la ligne droite. Dans cette image, on parlera de points bleus, blancs, rouges, il est à peine utile d'insister sur ce qu'il y a de vicieux dans cette façon de parler : un point géométrique, sans dimensions, ne peut être coloré.

Ouoi qu'il en soit, supposons qu'on ait défini une coupure quelconque, qui permette de séparer tous les nombres rationnels en deux classes, chaque nombre de la première étant plus petit que n'importe quel nombre de la seconde. Cette coupure peut d'ailleurs appartenir à l'un ou l'autre des types I, II, III.

J'imagine qu'on marque en bleu chaque point de l'axe X'X dont

l4 CHAPITRE 1.

l'abscisse est un nombre (rationnel) de la première classe, et qu'on colore en bleu toute la partie de Taxe qui est en deçà d'un tel point, puis qu'on marque en rouge chaque point de Taxe dont l'abscisse esi un nombre (rationnel) de la seconde classe, et qu'on colore en rouge toute la partie de Taxe qui esl au delà d'un tel point; enfin, que l'oo appelle /?o//2^ bfanc, tout point (s'il y en a) qui n'a été coloré ni en bleu ni en rouge.

Tout point d'abscisse rationnelle est rouge ou bleu.

Chaque point bleu est en deçà de n'importe quel point rouge; la partie bleue et la partie rouge n'empiètent pas l'une sur Fautre. Entre ces deux parties de la droite il n'y a pas d'intervalle blanc, il ne peut même pas y avoir deux points blancs, car entre ces deux points, s'ils existaient, devraient se trouver des points d'abscisses rationnelles, rouges ou bleus; s'il y avait, par exemple, un point bleu, celui des deux points blancs qui est en deçà de ce point bleu aurait dû être coloré en bleu :il ne peut donc y avoir sur l'axe qu'un seul point blanc.

Quoi qu'il en soit, la façon même dont la droite est séparée en une partie bleue et une partie rouge définit un point, soit qu'on regarde ce point comme étant bleu et limitant à droite la partie bleue (coupure du type II), soit qu'on le regarde comme étant rouge et limitant à gauche la partie rouge (coupure du type III), soit qu'on le regarde enfin comme étant blanc et séparant la partie bleue de la partie rouge (coupure du type 1). Dans ce dernier cas, le seul qui nous intéresse pour la réponse à la question posée, le postulat que j'ai prétendu illustrer par cette image revient à affirmer l'existence de ce point blanc. Dans ce cas, au delà de chaque point bleu, il y a encore des points bleus; en deçà de chaque point rouge, il y a des points rouges.

H. J'ai supposé jusqu'ici que les coupures que l'on considérait, permettaient de séparer tous les nombres rationnels en deux classes : il est manifeste que, si l'on définit un moyen de partager tous les nombres rationnels compris entre les deux nombres rationnels a et h (a <C b) en deux classes telles que chaque nombre de la première classe soit plus petit que n'importe quel nombre de la seconde classe, il suffira d'adjoindre à la première classe le nombre a et les nombres rationnels plus petits que lui, d'adjoindre à la seconde classe le

nombre b et les nombres rationnels plus grands que b pour compléter les deux classes du n" 8, et définir ainsi un nombre rationnel ou irrationnel.

12. 11 sera avantageux, pour l'uniformité du langage, de réunir en un même type les coupures des types II et III et de ne plus considérer que deux modes de décomposition des nombres rationnels : Tun en deux classes, l'autre en trois classes.

Si Ton a affaire à une coupure du type II ou du type III, on sépare les nombres rationnels en trois classes, dont l'une ne contient qu'un seul nombre, à savoir le nombre rationnel que définit la coupure, le plus grand de la première classe (type II), ou le plus petit de la seconde classe (type III) : ce nombre rationnel est alors supprimé soit de la première classe, qui ne contient plus que des nombres rationnels plus petits que lui, soit de la seconde classe, qui ne contient plus que des nombres plus grands que lui.

Je donnerai respectivement le nom de classe inférieure et de classe supérieure, à la première et à la seconde classe ainsi modifiées, et j'emploierai les mêmes mots pour désigner la première et la seconde classe d'une coupure du type I; la classe inférieure, telle qu'elle vient d'être définie, ne contient jamais de nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe, la classe supérieure ne contient jamais de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe. Si l'on a affaire à une coupure du type I, les nombres rationnels sont ainsi séparés en deux classes ; c'est cette séparation qui définit un nombre irrationnel. Si l'on a affaire à une coupure du type II, ou du type III, les nombres rationnels sont séparés en trois classes : la classe inférieure, la classe supérieure, et la classe intermédiaire composée d'un seul nombre, le nombre rationnel que définit la coupure.

On peut modifier légèrement l'image du n" 10 de manière qu'elle corresponde à ce nouveau point de vue; s'il s'agit d'une séparation en trois classes, on imaginera que le point d'abscisse rationnelle que définit cette séparation soit blanc, que tout point dont l'abscisse appartient à la classe inférieure soit bleu ainsi que tous les points situés à sa gauche, que tout point dont l'abscisse appartient à la classe supérieure soit rouge ainsi que tous les points situés à sa droite.

Qu'il s'agisse d'un nombre rationnel ou d'un nombre irrationnel, ce nombre est l'abscisse d'un point blanc, à gauche et à droite duquel

l6 CH\P1TRE I.

s'étendent une deaii-droite bleue et une demi-droite rouge; le point blanc limite, en quelque sorte, ces deux demi-droites colorées, auxquelles il n'appartient pas. L'image est la même dans les deux ca>. L'analogie entre les deux sortes de nombres ressort mieux, mais elle ne doit pas faire oublier leur diflerence essentielle : un nombre rationnel est un nombre entier, ou une fraction à termes entiers, qui n'est autre chose qu'un système de deux nombres entiers: il s'exprime ainsi au moyen d'un nombre limité de chiflres. Un nombre irrationnel n'est pas susceptible d'une pareille représentation, ce n'est qu'une coupure, une règle pour séparer les nombres rationnels en deux classes ; ce n'est pas un ou deux nombres entiers, c'est une infinité de nombres entiers ou fractionnaires, une infinité de chiHres qu'il faut pour le définir. Afin de pouvoir raisonner à la fois sur les nombres rationnels et irrationnels, ou, comme on dit, sur les nombres réels, on a introduit plus haut les classes inférieure et supérieure relatives à un nombre rationnel; mais cette introduction n'ajoute rien à l'idée d'un tel nombre et lui est, en quelque sorte, postérieure. Au contraire, il n'y a rien de plus, dans l'idée d'un nombre irrationnel, que ces deux classes inférieure et supérieure : c'est elles qui le constituent. On ne peut représenter un tel nombre que par un symbole, un«" lettre par exemple, ou une façon d'écrire, comme v/2, qui, lorsqu'on va au fond des choses, doit toujours rappeler cette décomposition en classes à laquelle les pages précédentes ont été consacrées. Quand on a dénommé ainsi un nombre irrationnel, en parlant des classes inférieure ou supérieure relatives à ce nombre, on entendra parler des classes qui le définissent.

En disant qu'il est plus grand que le nombre rationnel a, et plus petit que le nombre rationnel 6, ou encore qu'il est compris entre a et 6, que la coupure qui le définit tombe entre a et 6, au delà de eu en deçà de 6, on entend simplement que a appartient à la classe inférieure, que 6 appartient à la classe supérieure. Au reste ces façons de parler peuvent évidemment s'employer pour un nombre rationnel aussi bien que pour un nombre irrationnel.

13. Je dois m'arréter un peu sur la représentation décimale d'un nombre irrationnel ; le lecteur suivra sans peine les explications relatives à ce sujet, s'il veut bien se représenter Taxe X'X comme une sorte de règle divisée, indéfinie dans les deux sens, se reporter à la

façon dont on mesure effectiveinenl une longueur et imaginer qu'on puisse poursuivre indéfiniment des opérations qui, dans la pratique, sont forcément limitées. Pour nous conformer à des habitudes de langage qui lui sont familières, appelons mètre l'unité de longueur : sur Taxe X'X, on a marqué o à l'origine, puis i, 2, 3, ... à droite, — 1, — sî, — !i, ... à gauche, afin de distinguer les points qui sont à une distance de l'origine égale à un, deux, trois, . . ., mètres. L'axe est ainsi divisé en une infinité d'intervalles égaux chacun à un mètre ; chacun de ces intervalles est ensuite divisé en dix décimètres, chaque décimètre

en dix centimètres, chaque centimètre en dix millimètres, Si l'on

considère un point quelconque A de l'axe, on pourra lire facilement sur la règle divisée les valeurs approchées par défaut ou par excès de de son abscisse à un mètre, un décimètre, un centimère, un millimètre près. Il est d'ailleurs clair qu'au lieu de diviser l'axe de celte façon, on peut le diviser et le subdiviser autrement; je supposerai toutefois que les subdivisions d'un certain ordre soient toujours égales entre elles.

Soit A un nombre irrationnel donné : il faut, comme on l'a déjà dit, entendre par là qu'on se donne un moyen pour pratiquer une coupure dans l'ensemble des nombres rationnels, pour reconnaître si tel nombre rationnel que l'on veut appartient à la classe inférieure ou à la classe supérieure. Considérons la progression arithmétique indéfinie dans les deux sens dont le nombre rationnel positif a est la raison et dont o est un tenue. La coupure qui définit A tombe forcément entre deux termes consécutifs wa, [n -i- i)a de cette progression ; le premier de ces nombres est le plus grand multiple de a qui appartienne à la classe inférieure relative à A, c'est par définition la \aleur approchée de A à a près, par défaut ; le second (/? -h i)a est le plus petit multiple de a qui appartienne à la classe supérieure, c'est la valeur approchée de A à a près, par excès.

Entre deux termes consécutifs quelconques de cette progression, insérons k — i moyens, de manière à former une nouvelle progression

arithmétique indéfinie dans les deux sens dont la raison soit ^ = -r»

et qui englobe la progression arithmétique de raison a; la coupure qui définit A tombera entre deux termes consécutifs de cette nouvelle progression ; le plus grand de ces deux termes doit appartenir à la classe supérieure; il est, par conséquent, plus grand que /la; le plus T. 2

petit doit appartenir à la classe inférieure; il est donc moindre que (/2 -f- i)a; autrement dit, il n'y a pas lieu de considérer les termes de

la progression /^rf^'/iVi/e, de raison ^=: j, qui précèdent na. ou qui

suivent {n -+- i)», mais seulement la progression limitée

que l'on obtient en insérant k — i moyens entre /ia = /îA',3 ei (n -\- i)a = (nk -h k)^. La coupure qui définit \. tombe nécessairement entre deux termes consécutifs de celte progression limitée : si Ton désigne ces deux termes par (/i/r-hr)^ et {/lA* -j- r -H i),3, le premier est au moins égal à /la, le second est au plus égal à (/i -h i )a; ces termes sont les valeurs approchées de A, à |3 près, par défaut et par excès.

Remarquons en passant que, si l'on désigne par />j3 la valeur approchée de A à ^ près par défaut, on a

p = nk -h r, o S '' < A%

en sorte que n est le quotient entier de la di>ision de p par A* et /• le reste (*).

Il est clair qu'on peut continuer ainsi, insérer / — i moyens arithmétiques entre />j3 et (p-^ i)^, et former une progression arith nié-

tique dont la raison soit y = ^, ....

14. Arrêtons-nous sur le cas où l'on prend a = i, A" ==/ = .. . = 10;

il correspond à cette sorte de règle divisée, dont on a parlé au début du précédent numéro.

Le plus grand nombre entier // qui appartienne à la classe inférieure est la valeur approchée de A à une unité près, par défaut (ou la partie entière de A); elle peut être positive, nulle ou négaii\e; dans ce dernier cas, au lieu de placer le signe — en avant, il est

(*) Lorsque p est négatif et n'est pas divisible par A% ai s'obtient en prenant le quotient entier de la division par k de la valeur absolue de/?, en augmentant d'une unité ce quotient entier et en aflectanl le résultat du signe — .

commode de placer le signe — au-dessus du dernier chiffre ; c'est une notation à laquelle le lecteur est sans doute habitué par l'usage des tables de logarithmes. La valeur approchée à un dixième près, par défaut, s'obtiendra en ajoutant à cette partie entière un certain nombre entier de dixièmes, 9 au plus ; on l'écrira en plaçant une virgule à la suite de la partie entière et en faisant suivre cette virgule d'un chiffre représentant le nombre de dixièmes que l'on doit ajouter à la partie entière ; le chiffre des dixièmes peut d'ailleurs être un zéro ; la valeur approchée à un centième près, par défaut, s'obtiendra en ajoutant à la valeur approchée à un dixième près un certain nombre de centièmes ; on l'écrira en plaçant, à la suite de la valeur approchée à un dixième près, un chiffre représentant les centièmes, etc. On obtiendra ainsi une suite indéfinie de nombres décimaux

tto, Wi, Ml, — ,

dont chacun se déduit du précédent par l'adjonction d'un chiffre de plus, dont chacun est ainsi égal ou supérieur à celui qui le précède;

c'est la suite des valeurs approchées de A, par défaut, à 1, — > — 5» . . .

près. L'égalité entre deux termes consécutifs a lieu quand le dernier chiffre du second terme est un zéro. La suite des valeurs approchées

de A par excès à i, — > — > . . . près se déduit de la précédente en

ajoutant respectivement à ses termes 1, — > — » . . . ou, comme l'on

dit, en forçant le dernier chiffre de chacun des termes, écrits sous la forme décimale. En vertu des explications données dans le numéro précédent, pour le cas général, on voit que chaque terme de la nou- >elle suite est supérieur à n'importe quel terme de la première et que chaque terme de la nouvelle suite est supérieur ou égal à ceux qui viennent après lui; l'égalité entre deux termes consécutifs de la nouvelle suite a lieu quand, des deux termes correspondants de la suite des valeurs approchées par défaut, le second se termine par un 9. Les termes de la première suite appartiennent tous à la classe inférieure relative à A, les termes de la seconde appartiennent tous à la classe supérieure.

Au lieu d'écrire successivement les termes «o» «n "2? ••• de la suite des valeurs approchées par défaut à i, à 0,1, à 0,01, . . . près, on se borne habituellement à écrire l'un de ces termes w«, en pre-

nant n suffisamment grand et en faisant suivre de points suspensifs le /i'*"'* chiffre décimal. Ainsi, pour le nombre tc que Ton définit en Géométrie, on écrira, en prenant /i = lo,

Cette notation, avec ses points suspensifs, est faite pour éveiller l'idée d'un symbole qui commencerait par les chiffres que l'on a écrits et qui se poursuivrait indéfiniment, de façon qu'en l'arrêtant à un chiffre décimal quelconque on obtint la valeur approchée du nombre considéré A, par défaut, à une unité près de l'ordre de ce chiffre; en forçant ce chiffre, on obtiendrait la valeur approchée, par excès, à une unité près du même ordre. Un tel symbole, avec son infinité de chiffres décimaux, est ce qu'on appelle la représentation décimale du nombre A ; lorsqu'on se donne la coupure qui définit ce nombre A, chaque chiffre de la représentation décimale peut être calculé quand on connaît son rang.

Il convient de remarquer qu'en allant assez loin dans la suite K|,

Wa, ..., W/,, ... des valeurs approchées de A à —> — j» • •» — ;j» -•

près, par défaut, on finit par dépasser tel nombre a de la classe inférieure qu'on voudra ; car on peut trouver un nombre b de cette même classe qui soit plus grand que a, puis, entre a et 6, un nombre décimal S ; si le nombre 5, plus grand que a, comporte n chiffres décimaux, il sera inférieur ou égal à Un qui sera par conséquent plus grand que a, ainsi que £//<^.i, £^/<+2 9 - • • ; en particulier, il y a dans la suite u%s ^2) • • n ^nt . • . un terme plus grand que n'importe quel terme Up de cette suite qu'on voudra ; il est donc impossible que, dans la représentation décimale de A, tous les chiffres qui suivent le/?''*"* soient des zéros, car, si tous ces chiffres étaient des zéros, on aurait

On voit de la même façon que, en allant assez loin dans la suite des valeurs approchées par excès, on finit par descendre au-dessous de tel nombre de la classe supérieure qu'on voudra; que, en particulier, il y a forcément, dans celte suite, des termes qui sont plus petits que tel terme que l'on voudra; que, ainsi, il est impossible que tous les termes de cette suite, à partir de l'un d'entre eux, soient égaux ; que.

enfin, il est impossible que, dans la représentation décimale de A, tous les chiffres à partir de l'un d'entre eux soient des 9.

J'ai supposé, dans ce qui précède, que A était irrationnel; les raisonnements s'appliquent lorsque A est rationnel; si ce n'est que, en procédant comme on l'a expliqué, il peut arriver, sous des conditions que le lecteur connaît, qu'où tombe sur une valeur approchée par défaut qui soit égale à A; les suivantes se déduisent de celles-là en la faisant suivre de zéros; elle est la représentation décimale de A. Lorsque A ne peut pas être exactement converti en fraction décimale, sa représentation décimale est périodique, ainsi qu'on l'enseigne en Arithmétique. 11 ne peut jamais arriver que tous les chiffres de cette représentation décimale, à partir de l'un d'eux, soient des 9.

15. Inversement, imaginons qu'on se donne un symbole tel que ceux qu'on vient de décrire, formé d'une partie entière, qui peut d^ailleurs être positive, nulle ou négative, suivie d'une infinité de chiffres décimaux : dire qu'on se donne un pareil symbole, c'est dire qu'on se donne le moyen d'en trouver le /i'*"* chiffre, quel que soit n.

Tel serait par exemple le symbole

O, I23456789IOII 12.. .,

où la partie décimale est obtenue en écrivant, sans séparation, la suite naturelle des nombres.

En excluant, conformément à ce qui a été dit dans le précédent numéro, le cas où tous les chiffres à partir de l'un d'eux seraient tous des zéros ou tous des 9, je vais indiquer comment un tel symbole permet de définir une séparation des nombres rationnels en classes, séparation qui définit elle-même un nombre rationnel ou irrationnel A, dont le symbole donné est la représentation décimale.

Après le /i'*"* chiffre décimal donné, il peut y avoir quelques zéros, mais on finira par rencontrer un autre chiffre ; le nombre décimal que Ton obtient en limitant le symbole après ce chiffre est alors plus grand que le nombre décimal obtenu en le limitant au /i**"*^ chiffre ; ainsi chaque nombre décimal déduit du symbole, en le limitant quelque part, est certainement surpassé par un nombre décimal obtenu en le limitant plus loin. De même, après le /i»^"« chiffre, il peut bien y avoir quelques 9, mais en continuant assez loin on rencontre un autre

chiffre; en forçant ce chiffre et en s'arrétant là, on ohtient un nombre décimal plus petit que le nombre décimal obtenu en forçant le ai*'"' chiffre et en s'arrètant là.

Ces remarques faites, j'arrive à la séparation des nombres rationnels en classes, que Ton déduit du symbole donné.

On rangera dans la première classe tous les nombres rationiieU inférieurs ou égaux à l'un des nombres décimaux obtenus en limitant quelque part le symbole donné et dans la seconde classe tous les nombres rationnels supérieurs ou égaux à l'un des nombres décimaux obtenus en limitant le symbole quelque part et en forçant le dernier chiffre.

On voit de suite que chaque nombre de la première classe est inférieur à n'importe quel nombre de la seconde classe, et qu'il y a des nombres appartenant, l'un à la seconde classe, l'autre à la première, qui diffèrent aussi peu qu'on veut.

D'autre part, il n'y a pas, dans la première classe, de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe, car un nombre quelconque a de celte classe est inférieur ou égal à quelqu'un des nombres décimaux obtenus en limitant le symbole quelque part ; en limitant le symbole plus loin, on trouve un nombre plus grand et, par conséquent, plus grand que a. De même il n'y a pas, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

On serait sûr d'avoir défini une coupure et, par conséquent, un nombre A s'il était certain que la classiiication précédente n'a laissé échapper aucun nombre rationnel.

Or, si un nombre rationnel échappe à cette classification, c'est qu'il est, d'une part, plus grand que tous les nombres qui figurent dans la première classe, d'autre part, plus petit que tous ceux qui figurent dans la seconde : il est alors seul de son espèce, car, s'il y avait deux tels nombres a, ^(a<:; ^), la diffé-^ence entre un nombre de la seconde classe et un nombre de la première serait toujours supérieure à ^ — a.

Si un nombre rationnel échappe à la classification, on a affaire à une séparation de tous les nombres rationnels en trois classes, telle qu'elle a été décrite au n" li; le nombre rationnel unique qui échappe à la classification constitue précisément la clatise intermédiaire : c'est lui qui est défini par la séparation précédente. Désignons-le par A.. Puisque .\

est compris entre le nombre décimal obtenu en limitant le s^'mbole donné au /i'*"* chilfre décimal, et le même nombre dont on a forcé le dernier chiffre, ces deux nombres décimaux sont les valeurs approchées de \, par défaut et par excès, à — - près; le symbole donné est

donc la représentation décimale du nombre rationnel A; le symbole donné ne peut être que la fraction décimale périodique dont A est la fraction génératrice.

Si aucun nombre rationnel n'échappe à la classification, on a bien affaire à une coupure proprement dite. Cette coupure définit un nombre irrationnel A, puisqu*ei)e appartient au type I et, dans ce cas encore, |on voit de suite que le symbole donné est la représentation décimale de A.

Le mode de raisonnement qu'on vient d'employer se rencontre assez fréquemment; en y réfléchissant un peu, le lecteur apercevra ce qu'il comporte d'essentiel, à savoir, les deux ensembles de nombres formés, dans ce cas particulier, l'un par les nombres décimaux déduits du symbole proposé eu le limitant quelque part, l'autre par ces mêmes nombres dont on a forcé le dernier chiffre; tout nombre du premier ensemble est plus petit que chaque nombre du second; il y a des nombres pris respectivement dans les deux ensembles qui diffèrent aussi peu qu'on le veut : la coupure est formée en considérant d'une part les nombres rationnels inférieurs ou égaux aux éléments du premier ensemble, d'autre part les nombres rationnels supérieurs ou égaux aux éléments du second ensemble. On touche ici à une théorie très importante, celle des ensembles infinis, dans laquelle je ne pénétrerai pas davantage.

Il est à peine utile de parler des deux cas exclus au commencement du numéro. Si, dans le symbole donné, à partir d'un certain chifl're décimal, tous les chiffres sont des zéros, on ne tiendra aucun compte de ces zéros; on obtient ainsi un nombre décimal limité; c'est ce nombre que définit le symbole donné et dont ce symbole est la représentation décimale. Si tous les chiflVes, à partir d'un certain rang, étaient des 9, comme dans le symbole 0,36999..., on reconnaît de suite que les termes de la suite indéfinie-

0,369; 0,3699; 0,36999; ••• s'approchent autant qu on veut, pourvu qu'on aille assez loin dans

2l CHAPITRE I.

cette suite, du nombre 0,3^, obtenu en forçant le dernier des chiffres décimaux du symbole qui n'est pas un 9; c'est ce qu'on exprime en disant que cette suite a le nombre 0,87 pour limite : on pourrait bien dire qu'elle définit ce nombre; mais alors il ne serait plus exact de dire que le symbole, en le limitant au n'*"** chiffre décimal, fournît la valeur approchée, par défaut, du nombre 0,87 qu'il définit : le symbole donné ne serait plus la représentation décimale du nombre qu'il définit. Aussi convient-il d'exclure complètement les symboles de cette sorte.

16. Égalité, inégalité des nombres irrationnels. — Ni l'égalité ou l'inégalité de deux nombres irrationnels, ni leur somme, leur différence, etc., n'onl encore été définies. Dans une exposition purement logique, toutes ces notions doivent être reprises l'une après l'autre, en s'appuyant uniquement sur cette notion de coupure qui sert à définir un nombre irrationnel (* ); je ne loucherai que quelques points de cette théorie, de manière à faire comprendre comment elle peut se développer, et je ne craindrai pas d'avoir recours, au besoin, à l'intuition géométrique qui résulte de la représentation, sur l'axe X'X, des nombres rationnels ou non.

Je me placerai, dans ce qui suit, au point de vue du n° IS, 011 la définition d'un nombre A est obtenue par la séparation de tous les nombres rationnels en deux classes, s'il s'agit d'un nombre irrationnel, en trois classes, s'il s'agit d'un nombre rationnel. Je pourrai ainsi raisonner à la fois sur les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Deux nombres A, B sont dits égaux quand leur définition est la même, quand les deux ou trois classes qui définissent l'un sont composées respectivement des mêmes nombres rationnels que les deux ou trois classes qui définissent l'autre. Ils sont le même nombre, ce que l'on marque en écrivant A= B. Ils sont représentés, sur Taxe X'X, par le même point, dont l'un ou l'autre est l'abscisse. Inversement, on a vu qu'à un point de cet axe ne correspond qu'un seul nombre.

( ' ) C'est dans ce sens qu'elle est développée dans le premier Chapitre de moD Introduction à la Théorie des fonctions, i' édition, t. I, A. Herniaan, 1904 J'aurai plusieurs fois à renvoyer le lecteur à cet Ouvrage, où les démonstrations sont présentées à un autre point de vue que dans les présentes Leçons, Ces renvois seront faits sous la rubrique : Intr,

son abscisse. Lorsque deux nombres sont égaux ils ont même représentation décimale : réciproquement, quand les représentations décimales de deux nombres sont les mêmes, ces deux nombres sont égaux.

Lorsque la définition des nombres A et B n^est pas la même, c'est que les classes qui définissent l'un des nombres ne sont pas les mêmes que celles qui définissent l'autre, que les points de l'axe X'X dont ces nombres sont les abscisses respectives ne sont pas les mêmes.

J'introduis ici la convention commode d'employer le même symbole, numérique ou littéral, pour désigner à la fois un nombre et le point de l'axe X'X dont ce nombre est l'abscisse. En mettant le mol nombre ou le mot point devant ce symbole, on évite toute confusion.

Si les deux nombres A, B ne sont pas égaux, c'est que les deux points A, B ne coïncident pas; l'un de ces points, B par exemple, est au delà de l'autre A; on dit alors que le nombre B est plus grand

Fig. 3.

que le nombre A, que le nombre A est plus petit que le nombre B, et l'on écrit B>AouA<;B; ilya entre les points A, B des points d'abscisse rationnelle; si a est un tel point, on voit que le nombre rationnel a appartient à la classe supérieure relative à A, à la classe inférieure relative à B; réciproquement, s'il existe un tel nombre, le point dont il est l'abscisse est ù droite du point A, à gauche du point B; le point B est à droite de A, le nombre B est plus grand que le nombre A. L'existence d'un nombre rationnel plus grand que le nombre A, plus petit que le nombre B, peut donc être prise pour la définition abstraite {^) de l'inégalité B>A. Les inégalités B> A, C>B entraînent C> A, car le point B étant à droite du point A, le point C étant à droite du point B, il faut bien que le point C soit à droite du point A.

Un nombre est Aïl positif sW est plus grand que zéro, négatif s^W est plus petit que zéro ; les nombres positifs sont représentés par des

C) C'est sur cette déiinition abstraite que, logiquement, la théorie de rincgalité doit être fondée {Jntr,, p. 17).

points situés à droite du point O; les nombres négatifs, par des poinb situés à gauche du point O.

Fig. 4.

A tout point de Taxe correspond un point V, symétrique de A par rapport au point O. Les nombres A et A' sont dits symétriques ('); chacun d'eux est le symétrique de Fautre; le nombre zéro doit être regardé comme son propre symétrique. Des deux nombres A, A', s'ils ne sont pas nuls tous deux, l'un est positif, l'autre est négatif.

Si A désigne un nombre, on convient de représenter par -h \ le même nombre que A, par — A le symétrique de A.

Si le nombre A est défini par une coupure, il est bien aisé de voir quelle est la coupure qui définit le nombre symétrique A' : les nombres rationnels plus petits que V sont les nombres rationnels plus grands que A changés de signe; les nombres rationnels plus grands que A' sont les nombres rationnels plus petits que A, également changés de signe; cette remarque contient évidemment la définition abstraite de deux nombres symétriques.

Celui des deux nombres A, — A qui est positif peut être regardé comme la valeur absolue commune à ces deux nombres.

17. Addition, soustraction. — Soient A, B deux nombres quelconques; la somme A -h B de ces deux nombres est, par définition, un nombre plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que A, B et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus grands que A, B.

Voici comment on doit pratiquer la séparation des nombres rationnels en deux ou trois classes qui définit cette somme au sens du n** 12.

On range dans une première classe tout nombre rationnel égal ou inférieur à la somme de deux nombres rationnels, respectivement plus petits que A fi

(') On dit plus souvent égaux et de signes contraires : outre qu'elle est longac, cette façon de parler est contradictoire; si deux nombres sont égaux, ils ne sont pas de signes contraires. Il faudrait, pour la rendre correcte, rallonj;er encore et dire égaux en valeur absolue et de signes contraires. Enfin on verra plus loin qu'elle oe peut s'appliquer aux nombres imaginaires, qui n*ont pas de signe. ^

NOMBRES IRRATI0I4.NELS. 27

que B: dans une seconde classe tout nombre rationnel égal ou supérieur à la H)innie de deu\ nombres, respectivement plus grands que A et que B. Il est clair que chaque nombre de la première classe est inférieur à n'importe (quel nombre de la seconde classe.

Il n'y a pas, dans la première [classe, de nombre plus grand que tous les autres nombres de celle classe, car, si le nombre c a été rangé dans la première classe, c*est qu'il est inférieur ou égal à la somme de deux nombres rationnels a, 6, respectivement plus petits que A, B; or, dans la classe inférieure relative à A, il y a un nombre rationnel a' plus grand que a, dans la classe inférieure relative à B, il y a un nombre rationnel 6' plus grand que b; leur somme a'-i- 6' a dû être rangée dans la première classe de notre classification : or, elle est plus grande que a -h 6 et, par suite que c. De même, il n'y a pas., dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

Enfin il y a des nombres pris respectivement dans la première et dans la seconde classe, qui diffèrent aussi peu qu'on le veut : si l'on veut avoir deux pareils nombres, dont la différence soit moindre que e, il suffira de choisir deux nombres rationnels a et ai, l'un plus petit, l'autre plus grand que A et tels

que Ton ait ai — a < -9 puis deux nombres rationnels 6, bi l'un plus petit.

l'autre plus grand que B et tels que l'on ait 61 — 6 < -; a -h 6 appartiendra à la

première classe, ai -h ôj à la seconde, et l'on aura (ai -h 61) — (a-+-6)<e.

D'après cela, il ne peut échapper qu'un seul nombre rationnel à notre classification : en effet, un nombre rationnel a qui échappe à cette classification est forcément plus {grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que A, B, c'est-à-dire que n'importe quel nombre de la première classe, et plus petit que n'importe quel nombre de la seconde classe; il ne peut donc y avoir deux nombres rationnels a, p (a < P) qui échappent à la classification, puisque alors la différence entre un nombre de la seconde classe (plus grand que 3) et un nombre de la première (plus petit que a) devrait être supérieure à ^ — a.

S'il n'échappe aucun nombre à la classification, celle-ci définit une coupure du type I, c'est-à-dire un nombre irrationnel, qui satisfait manifestement à la définition de la somme qu'on a donnée au début.

S'il échappe un seul nombre rationnel à cette classification, c'est ce nombre rationnel lui-même qui est la somme des nombres A, B. On est dans le cas de la séparation en trois classes.

La déiinition adoptée pour la somme de deux nombres A, B s'étend de suite à la somme d'autant de nombres A, B, C, . . ., L que Ion voudra. Celle-ci est plus grande que la somme de nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que \, B, C, ..., L, et plus petite que la somme de nombres rationnels quelconques, respecllveinent plus grands que A, B, C, . . ., L.

Que celle concliiion définisse une séparalion des nombres raiionnels eD deui ou irois classes (n" là), c'esl-à-dire un nombre irralionnel ou ralionnel, c'est ce qui résulle éTidemment des raisonnemeats employés pour le cas de deux nombres.

11 résulle de celle définition, el de ce fail que la somme de plusieurs nombres rationnels ne dépend pas de l'ordre de ces nombres, que la somme des nombres A, B, C, . .., L ne dépend pas non plus de leur ordre, puisque, quel que soil cel ordre, les classes inférieure ou supérieure relatives à la somme seront constituées de la même façon.

Au lieu de définir tout d'un coup la somme des nombres A, B, . . ., L, on peut les supposer rangés dans un certain ordre, ajouter le second au premier, le troisième au résultat, le quatrième au nouveau résultai, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les nombres. En se reportant au cas de deux nombres, on reconnaît de suite que la somme, ainsi défmie, satisfait à la condition imposée par la première définition, en sorte que les deux définitions S'int équivalentes.

Comme on peut amener aux premiers rangs tels termes de la somme que l'on veut, et que, d'après la seconde définition, on doit, pour efiectuer la somme, ajouter d'abord entre eux ces premiers termes, on voit que, dans une somme quelconque, on peut remplacer tels termes que l'on veut par leur somme efiectuée.

Pour figurer la somme de nombres représentés par des lettres ou des symboles quelconques, rangés dans un ordre déterminé, on commence par placer le signe -h devant ceux de ces symboles qui n'ont pas de signe apparent, et l'on écrit les uns à la suite des autres ces symboles ainsi afTectés de signes : toutefois l'habitude est de supprimer le signe qui précède le premier symbole, si c'est un signe 4- . Ainsi A — B -h C représente la somme obtenue en ajoutant à A le nombre — B, puis le nombre C au résultat.

Les propriétés fondamentales de l'addition peuvent être résumées dans les formules suivantes :

(i) A-hB = B -+- A,

(2) A-h(B-hC) = (A-hB)-hC.

(3) A-Ho=A,

Les deux premières se trouvent avoir été démontrées par ce qui précède : elle constituent ce que Ton appelle la propriété commuta tive et la propriété associative de l'addition.

NOMBRES IRRATIONNELS. ig

En les admettant, et en regardant une somme d'un nombre quelconque de termes comme obtenue en ajoutant le second au premier, le troisième au résultat, etc., elles suffisent à montrer que, dans une pareille somme, on peut intervertir l'ordre des deux premiers termes, des deux derniers, de deux termes consécutifs; qu'on peut ranger les termes dans l'ordre qu'on veut, remplacer enfin tels termes que l'on veut par leur somme effectuée. A cause des égalités (3) et (4), qui se démontrent sans peine en recourant aux définitions, on peut, dans une somme quelconque, supprimer des termes dont la somme est nulle et, en particulier, deux termes symétriques.

Deux nombres A et B étant donnés, la différence entre le nombre A et le nombre B est, par définition, un nombre x tel que l'on ait

B -+-jr = A.

Supposons que ce nombre x existe, en ajoutant — B aux deux membres de l'égalité précédente, on voit qu'on doit avoir

B-+-ar — B = A— B;

or, le premier membre est égal à x, d'après les remarques précédentes; le nombres:, s'il existe, est la somme du nombre A et du symétrique — B du nombre B; d'ailleurs, si l'on ajoute B à cette somme A — B, elle devient A — B -i- B ou A, en vertu des mêmes remarques; le nombre j: existe, il est unique, et égal à A — B; ce dernier symbole représente aussi bien la différence entre A et B que la somme de A et de — B.

Je laisse au lecteur le soin de démontrer régalité

PR = PQ -f- QR,

Fig. 5.

où PR, PQ, QR sont les équivalents algébriques des vecteurs PR, PQ, QR situés sur Taxe X'X, dans le cas où ces vecteurs ne sont pas tous commensurables à Tunité de longueur. Cette démonstration, lorsque les nombres PH, PQ, QR sont positifs et mesurent ainsi les longueurs des segments PR, PQ, QR, résulte de ce que le segment PR est plus grand que les segments obtenus en plaçant bout à bout deux segments respectivement plus petits que PQ, QR et plus petit que le segment obtenu en plaçant bout à bout deux segments respectivement plus grands que PQ, QR, en sorte que le nombre qui mesure la longueur de PR doit être plus grand que la somme de deux nombres ration-

3o CHAPITRE I.

nels mesurant les longueurs de deux segments, commensurables à l'unité de longueur, respectivement plus petits que PQ, QR, On reconnaît la définition de la somme des deux nombres PQ, QR. La proposition, démontrée dans c^ cas, s'étend ensuite, comme on le sait, à tous les autres, en examinant les diverses dispositions que peuvent avoir les points P, Q, R sur l'axe X'X.

18. Multiplication, division. — Pour définir le produit de deux nombres A et B, je supposerai d'abord que ces deux nombres soient positifs; alors le produit AB de ces deux nombres est, par définition, un nombre positif plus grand que le produit de deux nombres rationnels positifs plus petits respectivement que A, B et plus petit que le produit de deux nombres rationnels plus grands que A, B.

La séparation des nombres rationnels en deux ou trois classes, qui, d'après cela, définit le nombre AB, est pareille à celle qu'on a expliquée tout au lon^ pour l'addition; elle repose sur ce qu'un pr<»duit de deux facteurs augmente quand on augmente ces facteurs et sur ce qu'il varie très peu quand on modifie très peu les facteurs; je ne m'y arrêterai pas davantage.

Quand l'un des nombres A, B est nul, le produit AB est nul par définition.

Quand Tun ou l'autre des nombres A, B est négatif, on définit la valeur absolue du produit comme le produit des valeurs absolues de ces deux nombres, et l'on complète la définition du produit AB parla règle des signes, telle qu'on l'enseigne au début de l'Algèbre. Pour définir le produit de plusieurs nombres positifs A, B, C, ..., L rangés (ou non) dans un certain ordre, on peut procéder comme pour l'addition, Jdéfinir ce produit tout d'un coup, ou de proche en proche. Dans le premier cas on suppose d'abord, comme pour deux facteurs, que les nombres A, B, C, . . ., L sont positifs et l'on complète la définition encore par la règle des signes.

Il est aisé de déduire des définitions les propriétés qu'expriment

les égalités