DÉFINITIONS. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

103. Le Chapitre précédent, consacré aux opérations sur les nombres imaginaires, a montré que les calculs effectués sur ces nombres se faisaient d'après les mêmes lois que les calculs sur les nombres réels. Les conséquences qui se déduisent de ces lois, établies pour les nombres réels, s'étendront naturellement aux nombres imaginaires.

On a rappelé au n° 27 la définition d'un monôme, ou d'un polynôme, à variables réelles. Ces définitions s'étendent immédiatement, en admettant que les coefficients et les variables puissent être imaginaires. Chacune des variables x^ y^ z, ... pourra représenter uu nombre imaginaire quelconque, c'est-à-dire que sa partie réelle et le <!oefficient de i pourront être des nombres réels quelconques. Les coefficients seront des nombres réels ou imaginaires fixes, qui peuvent d'ailleurs être représentés par des lettres. Quand on attribue aux variables des valeurs déterminées, le monôme ou le polynôme prend «ne valeur déterminée que l'on sait calculer par les règles ptécéilenles. Ainsi le polynôme en x, y,

(i -f- i)x^ — ixy -{- y — «,

si Ton attribue à :r la valeur i, à^ la valeur i -|- /, prend la valeur i.

Il n'y a rien à changer à la définition du degré.

La valeur absolue d'un monôme s'obtient en remplaçant dans ce monôme le coefficient et les variables par leurs valeurs absolues.

La valeur absolue d'un polynôme est au plus égale à la somme des valeurs absolues des monômes qui le constituent; elle est au plus

égale à la somme des valeurs absolues de tous les coefficients, si les valeurs absolues des variables sont inférieures ou égales à i. Si, dans un polynôme, tous les coefficients sont des nombres réels et positifs, et si les variables x^y, z^ ... sont assujetties à avoir respectivement des valeurs absolues inférieures ou égales aux nombres positifs a, é, c, ..., la valeur absolue du polynôme sera inférieure ou égale au nombre positif obtenu en remplaçant les variables j:, j-, z, ...par a, 6, c, . . ..

Par exemple, le polynôme 2X^-\- iy^ -h 'ixy + x -+- i , si Ton suppose I X I < I , I J^ I < 2, sera moindre, en valeur absolue, que 20.

C'est surtout des polynômes à une variable que j'aurai à m'occuper: d'ordinaire, je désignerai la variable par la lettre 5, el je poserai w = X 4- iy^ en désignant par x ely des variables réelles. Cette con- \ention, qui est d'accord avec l'habitude qu'on a de désigner parx,/ les coordonnées d'un point, du point qui, suivant les conventions du n'* 93, représente 5, n'a évidemment rien de nécessaire. Elle e^l commode en commençant; le lecteur, une fois habitué à l'emploi des variables imaginaires, ne craindra pas de les désigner par x^y, ..., ou n'importe quelles autres lettres.

Une habitude commode, généralisation immédiate de celle qu'on a introduite au n" 10, consiste à employer la même lettre ou le uiéme symbole pour désigner le nombre imaginaire d'une part el, d'autre part, le point dont ce nombre est l'affixe.

Par exemple, \ -\- %i désignera à la fois le nombre imaginaire dont la partie réelle est i et dont le coefficient de i est 2, ou le point dont l'abscisse est i, l'ordonnée 2. S'il y a lieu de craindre quelque confusion, il suffira, pour l'éviter, de dire le nombre 1 + 21, dans le premier sens, \e point 1 -h 2/, dans le second sens. Cette façon de parler s'appliquera naturellement soit aux nombres réels, soit aux nombres purement imaginaires. Pour les nombres réels, représentés par des points de l'axe des abscisses, c'est la même convention qu'au n** 10. Le point O est l'origine des coordonnées.

Un polynôme

/(z) = (ao-h «6o)^"-+-(aiH- eA,)^«-«-i-. . .-h a«-t- ib,n

où «0, 6oî • • -î «//) b„ sont des nombres réels, est une /onction delà variable z = x -\- iy^ c'est-à-dire que, si l'on se donne la valeurnu-

mériquede s (ou plutôt les valeurs numériques réelles de x,^), on sait calculer la valeur numérique dey(s) (la partie réelle et le coefficient de /). L'étude de la façon dont varie /(s) avec z revient à Tétude de la variation simultanée de deux polynômes à coefficienis réels en x, y^ quand ces deux variables varient simultanément. Ces deux polynômes s'obtiennent en remplaçant z par x H- iy, dans le |)récédent polynôme en j, en effectuant les calculs indiqués, et en séparant la partie réelle et la partie imaginaire ' /{z) se met alors sous la forme

©(x, r) et '|(jT, y) sont les deux polynômes en question.

Au lieu de dire qu'à chaque valeur de z correspond une valeur de f(z)y il revient au même de dire qu'à chaque point z [de coordonnées x^y) correspond un [)oint/(:;) [de coordonnées cp(j?, j^), '}(jr, V)], ou que la fonction donnée (le polynôme) définit une correspondance entre le point z et le point /(s), un mode de transformation qui permet de passer du point z au point /(z) : étudier la fonction, c'est au fond étudier cette correspondance, ou cette transformation : on aura, en particulier, à traiter des questions comme celles-ci : quand le point z décrit un certain lieu, quel est le lieu correspondant décrit par le point /(z); quand le point z est assujetti à rester dans une certaine région, dans quelle région le point correspondant /(z) est-il assujetti à rester?