Considérons quelques exemples simples

Vis. 33.

Soit d'abord /(c) = :; -f- A, V étant un nombre imaginaire quel-

262 CHAPITRE Vil.

conque ; d'après le n" 97, le point 5 -H A se déduira du point z en lui faisant subir une translation définie par le vecteur qui va du point O au point A : En d'autres termes, le vecteur qui va du point z au point ^ -f- A est équipollent au vecleur fixe qui va du point au point A.

Quand le point z décrit une courbe quelconque, le point 54- A décrit une courbe égale : on passe de la première courbe à la seconde par la translation qu'on vient d'expliquer; de même, quand le point z est assujetti à rester dans une certaine région, le point s -+- A est assujetti par là à rester dans une région égale, qui se déduit de la première par cette même translation.

Soit /{z) = Az, Désignons par a la valeur absolue de A : On commencera par déduire du point z un point 5', homothétique du point z

Fig. 34.

/Ax.

par rapport au centre O, le rapport d'homothétie étant a; le point:;' sera l'image du nombre az\ puis on fera tourner le vecteur qui part du point O pour aboutir au point :;' d'un angle égal à l'argument de A: l'extrémité du vecteur viendra au point S.z ; c'est ce qui a été expliqué au n" 97; le point A;; se déduit donc par une homothétie, définie par son centre (le point O) et son rapport (le nombre positif «), suivie dune rotation efl'ectuée autour du point O, rotation dont Tangle esl l'argument de A, qui est fixe. Si le point :; décrit une figure quelconque, la figure décrite par le point Kz s'en déduira par une homothétie, suivie d'une rotation; ce sera une figure semblable à la figure décrite par le point z^ le centre de similitude (le point qui coïncide avec son homologue) étant le point O; elle lui serait homothétique si A était réel, directement si A était positif, inversement si A était négatif. Si le point z décrivait, dans le sens direct, un cercle ayant son

centre au point O, le point \z décrirait, dans le même sens, un cercle concentrique; le rapport des rayons des deux cercles serait a. Si le point z était assujetti à rester dans le premier cercle, le point A^ serait assujetti à rester dans le second.

Soit /(z) = Az H- B. On déduira le point Az du point 5, comme on vient de l'expliquer, puis on fera subir à ce point Az une translation égale au vecteur qui part du point O et aboutit au point B; si le point z décrit une figure quelconque, le point A5 -h B décrira une figure semblable, mais le centre de similitude ne sera plus le point O. Si le point z décrivait, dans le sens direct, un cercle ayant son centre en O, et de rayon égal à p, le point A^-t- B décrirait, dans le sens direct, un cercle ayant pour centre le point B, et un rayon égal à ao, en continuant de désigner par a la valeur absolue de A. Si le point z était assujetti à rester à l'intérieur du premier cercle, le point Az-|-B serait assujetti à rester à l'intérieur du second.

Soit/(>3)= z'*. Désignons par p et par la valeur absolue et l'argument de z; la valeur absolue et l'argument de z" seront respectivement p" et n6; si l'on considère les deux cercles décrits du point O comme centre avec les rayons p et p", le point z sera sur le premier, le point z" sur le second; s'il faut faire tourner de l'angle 8 la direction positive de l'axe des abscisses pour l'amener à passer par le point Zj il faudra la faire tourner de l'angle /i6 pour l'amener à passer par le point z".

Supposons que p, et par conséquent p", soit constant, et que le point z se meuve sur le cercle de rayon p, le point 5" se mouvra sur le cercle de rayon p". Si le point z se meut dans le sens direct, il en sera de même du point 2" ; si le point z décrit la n'*™* partie du premier cercle, dans le sens direct, le point z" décrira, dans le sens direct, le second cercle tout entier; si le point z décrit le premier cercle tout entier dans le sens direct, le point 5" décrira n fois le second cercle, dans le même sens ; il passe alors n fois par un point quelconque de ce second cercle. Si, pour la position Zq du point z sur le premier cercle, le point 5" est au point Zq sur le second cercle, lorsque le point z aura décrit sur le premier cercle, à partir de Zqj la n'*"* partie de la circonférence, le point 5" se retrouvera en Zo, ..., les n positions du point z sur le premier cercle pour lesquelles le point 5" coïncide avec le point Z© sont les sommets d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans ce premier cercle ; ils figurent les n va-

a64 CHAPITBB VII.

leurs de z pour lesquelles le nombre z" est égal à Z©, les /i racines /ï^*** de Z^, ces résultats sont bien conformes avec ceux des n*** 99, 100. Si le point z était assujetti à rester à Tintérieur du premier cercle, le point :;" serait assujetti à rester à l'intérieur du second. Les deux cercles coïncident si Ton suppose p = i ; le second cercle est intérieur au premier si p est plus petit que i, extérieur si p est plus grand que I.

So'il/(z) = Az" ; après avoir déduit le point z" du point z^ on déduira le point Az" du point z" par une homothétie, dont le centre est le point O, dont le rapport est le nombre a = | A [, suivie d'une rotation autour du point O, rotation dont l'angle est l'argument de A. Si l'on suppose encore que le point :; décrive, dans le sens direct, le cercle de rajon p dont le centre est le point O, le point A^" décrira, dans le sens direct, le cercle concentrique, dont le rayon est np"; il le décrira n fois si le point z décrit une fois le premier cercle.

Soit enfin /(s) = As^H- B. Ayant construit, comme on vient de l'expliquer, le point A^" en partant du point Zj on lui fera subir une translation définie par le vecteur qui va du point O au point B, et l'on aura ainsi le point Az"-i-B. Si l'on suppose toujours que le point z décrive, une fois autour du [mint O, le cercle de ravon p, dans le sens direct, le point A 3"-!- 13 décrira n fois, dans le sens direct, le cercle déduit du point B comme centre avec le rayon az^y en passant n fois par chaque point de ce cercle; si le point z est assujetti à rester à l'intérieur du premier cercle, le point A:;"-hB sera assujetti à restera l'intérieur du second.

g 2. - ÉTUDE D'UN POLYNOME POUR LES VALEURS DE LA VARIABLE VOISINES D'UNE VALEUR DONNÉE.