EXTENSION DE DIVERS RÉSULTATS

109. La formule du binôme (n** 43) s'applique aussi bien, qu'il •s'agisse .de nombres réels ou de nombres imaginaires. On peut, en

particulier, l'appliquer au développement de (a -h bi)"^ en supposant que a, b soient réels; on trouve ainsi

(a-h6*)«= A H- Bi,

A et B étant des nombres réels définis par les formules

|A= a* — C;a«-»é»»-f-C;a«-*é»* — ...H-(— i)pCJp a'*»/* b^P -4-...,

les coefficients numériques C^, C^, . . . ont été définis au n" i3. Les derniers termes de A, B sont respectivement

(— 1)^6'», — (— i)"«na6'»-», si n est pair et

(— i)"^/iaé»«-«, —(—1) « 6",

si n est impair.

En prenant en particulier a = cos6, 6=sin6 et en se rappelant (n* 97) la formule de Moivre

(cos6 -h i 8in6)«= cosnÔ h- e sinnO,

on obtient les relations

i cosnB = cos«6 — Cl* cos'*-«e sin«e -h G? cos^-^Ô sin*6 — ..., / sinne = G? cos«-» sinO — GJ cos«-»0 sin»6 -h. . .,

dont les seconds membres sont des polynômes homogènes en cosft etsinO.

En posant cosô = ^, on a

sin6 =ih /i — ar*,

et l'on reconnaît, puisqu'il n'entre dans le développement de cosnO que des puissances paires de sin6, dans le développement de sinÔ que (les puissances impaires, que cosnO est un polynôme en x et que sin/iO est un polynôme en x multiplié par ^i — x^\ ces deux polynômes sont de degrés respectifs n el n — i ; les coefficients numériques des

termes du plus haut degré sont respectivement

Go-hCj-hCi-H...,

Cl -+- C3 -H Cj -+-...,

c'est-à-dire qu'ils sont tous deux égaux à 2" * (n" 43).

Enfin, en divisant membre à membre les égalités (2) et en divisant par cos"Ô les deux termes de la fraction que Ton obtient alors au second membre, on trouve

Cy tan-0 — C« tangiO -h Cï tang^O . . .

tang/iO = ' '^ 4 n 5 r> .

I — C'i tang*0 -,- C'/ lang'»0 -

lang/26 est une fraction rationnelle en tang8.

En combinant la formule de Moivre avec celle qu'on en déduit en changeant Ô en — Ô, on voit qu'on peut aussi écrire

. (cos6 ■+- isin6)«-i-(cos6 — tsinô)'»

cos/iO = —,

(cosO -+- t sinÔ)'» — (cos6 — t «in6)«

sin/i6 = tang/t6 =

(i-¥-i tang Q )^ ~ (1 — t tang Q ) « e[(i H- tlaiigO/*-H(i — t tangO)«j'

HO. La théorie de la division des polynômes ordonnés s'étend sans aucun changement aux polynômes à coefficients et à variables imaginaires, puisqu'elle est fondée uniquement sur des règles de calcul qui s'appliquent aussi bien aux nombres imaginaires qu'aux nombres réeU.

On appelle /onction rationnelle de z ou fraction rationnelle en v une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes en z. Les explications qui précèdent suffiront au lecteur pour étendre à ces fractions la plupart des propriétés qui ont été établies au Chapitre IV; il verra de suite, en particulier, comment, lorsque le dénominateur ne s'annule pas pour :; = o, on obtient des polynômes simples qui représentent, avec telle approximation que l'on veut, la fraction rationnelle; une fraction rationnelle est continue pour toute valeur de z qui n'annule pas le dénominateur. Si Zq est une valeur de z qui annule le dénominateur sans annuler le numérateur, la fonction est très grande en valeur absolue pour les valeurs de z suffisam-

éri'DE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLE IMAGINAIRES. 278

ment voisines de z^ ; il en est de même si Zq annule le numérateur comme le dénominateur, lorsque Zq est pour le dénominateur une racine d'ordre de multiplicité plus grand que pour le numérateur. On dit alors que la fonction est infinie pour z = 5o, et quezo est un pôle de cette fonction; Tordre de multiplicité du pôle est la différence des ordres de multiplicité de Zo considéré comme racine du dénominateur et du numérateur. Si Zq n'était racine que du dénominateur, l'ordre de multiplicité du pôle serait l'ordre de multiplicité de z^ considéré comme racine du dénominateur. Si l'ordre de multiplicité du pôle Zq était I, ce pôle ne devrait pas être regardé comme multiple, mais bien comme sim/zle.

Si Zq est un pôle d'ordre de multiplicité />, il existe un polynôme

en — - — » de degré/?, sans terme constant, et, par conséquent, de la

forme

{z-'Zo)f' {s — Zo)P-^ *'* z — Zo^

tel que la différence entre la fraction rationnelle et le poljnwme peut être regardée comme une fonction continue de z pour ^ == ^o ; ce polynôme en -— - — > qui est d'ailleurs unique, se calcule comme il a été

expliqué au n" Go. Je continuerai de le désigner comme la partie de la fraction qui devient infinie pour z = Zq, Le coefficient A^| du

La théorie de la décomposition en éléments simples d'une fraction

rationnelle de la forme "^ , i -r subsiste sans chan-

geraents.

Il en est de même pour les théories de la divisibilité des polynômes, du plus grand commun diviseur, du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs polynômes. Toutefois l'introduction des nombres imaginaires modifie profondément la notion de polynôme premier telle qu'elle a été présentée au n** 80.

On y considérait alors comme premier tout polynôme qui ne pouvait se décomposer en un produit de polynômes : tel était par exemple le polynôme a:^ 4- i , impossible à décomposer lorsqu'on ne considère que des polynômes à coefficients réels, qui est égal au produit des facteurs du premier degré x — i^ x -\- «, quand on introduit les T. i8

nombres imaginaires. On verra tout à Theure qu'au point de vue où nous sommes, les seuls polynômes indécomposables sonl les polynômes du premier degré.